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第六章 IIR 数字滤波器设计 IIR Digital Filter Design PowerPoint Presentation
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第六章 IIR 数字滤波器设计 IIR Digital Filter Design

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第六章 IIR 数字滤波器设计 IIR Digital Filter Design

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  1. 第六章 IIR数字滤波器设计IIR Digital Filter Design

  2. 第一节 数字滤波器的基本概念 一、数字滤波器基本概念 数字滤波器: 输入输出均为数字信号,经过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对 比例或者滤除某些频率成分的器件。 优点: 精度高,稳定,体积小,重量轻,灵活,不 要求阻抗匹配,能实现模拟滤波器(AF)无法 实现的特殊滤波功能。 1. 数字滤波器的分类(回忆) 2.数字滤波器的技术要求 3. 数字滤波器设计方法概述

  3. 1、数字滤波器的分类 经典滤波器:即一般滤波器(输入信号中有用的频 率成分和希望滤除的频率成分各占有 不同的频带,通过以合适的选频滤波 器达到目的) 现代滤波器:如维纳滤波器,卡尔曼滤波器,自适 应滤波器等最佳滤波器(按随机信号 内部的统计分布规律,从干扰中最佳 提取信号)

  4. 经典滤波器的几种类型:

  5. 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类,可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为: IIR滤波器 FIR滤波器

  6. 2、数字滤波器的设计过程 • 按设计任务,确定滤波器性能要求,制定技术指标 • 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标 • 利用有限精度算法实现此系统函数:如运算结构、字长的选择等 • 实际技术实现:软件法、硬件法或DSP芯片法

  7. 3、数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示: 幅频特性|H(ej)|: 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。 相频特性(): 各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。

  8. 通带: • 阻带: • 过渡带: :通带截止频率 :阻带截止频率 :通带容限 :阻带容限 理想滤波器不可实现,只能以实际滤波器逼近

  9. 上式中, 归一化为1。 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示,通带内允许的最大衰减用p表示,阻带内允许的最小衰减用s表示, p和s分别定义为:

  10. 即为求滤波器的各系数: 4、IIR数字滤波器的设计方法 • 用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求: s平面逼近:模拟滤波器的设计 z平面逼近:数字滤波器的设计 • 先设计模拟滤波器,再转换为数字滤波器

  11. 第二节 模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,且有若干典型的模拟滤波器供我们选择,如: 1) 巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2) 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 3) 椭圆(Ellipse)滤波器 4) 贝塞尔(Bessel)滤波器 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。

  12. 1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, Ωp, s和Ωs。 Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率,  p是通带Ω(0~Ωp)中的最大衰减系数  s是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数

  13. Ωc称为3dB截止频率:

  14. 滤波器的技术指标给定后,需要设计一个传输函数Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s,一般滤波器的单位冲激响应为实数,有:

  15. 特点: 2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法 (1) 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2 用下式表示: N越大,越接近理想滤波器, N越大,滤波器的实现也越复杂。

  16. (2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成 将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数: 上式表明,极点sk用下式表示: 为形成稳定的滤波器,2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s),而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为

  17. 设N=3,极点有6个,它们分别为 取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s):

  18. (3) 频率归一化 由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化,归一化后的Ha(s)表示为 式中,s/Ωc=jΩ/Ωc。 令λ=Ω/Ωc,λ称为归一化频率;令 p = jλ= jΩ/Ωc, p =s/Ωc称为归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为

  19. 式中,pk为归一化极点,用下式表示: 带入Ha(p)表达式,得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式,用下式表示: 归一化的传输函数系数Ha (p) 的系数以及极点可以查表得到。

  20. 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数

  21. (4)阶数N的确定 阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度,它应该由技术指标确定。将=p代入幅度平方函数中:

  22. 将=s代入幅度平方函数中:

  23. 用上式求出的N可能有小数部分,应取大于等于N的最小整数。用上式求出的N可能有小数部分,应取大于等于N的最小整数。

  24. 关于3dB截止频率Ωc,如果技术指标中没有给出,可以按照下面两式求出: 通常是用一个算出Ωc,然后用另一个(反过来)来检验。

  25. 总结以上,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下:总结以上,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下: • 根据技术指标Ωp,p,Ωs, s,求出滤波器的阶数N。 (2) 求出归一化极点pk,得到归一化传输函数Ha(p)。 (3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p),得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。

  26. 例: 已知通带截止频率fp=5kHz,通带最大衰减p=2dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减s=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解: (1) 确定阶数N:

  27. (2) 求极点: 归一化传输函数为

  28. 上式分母可以展开成为五阶多项式,或者将共轭极点放在一起,形成因式分解形式。不如直接查表简单,由N=5,直接查表得到: 极点:-0.3090±j0.9511、-0.8090±j0.5878、 -1.0000 其中: b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361

  29. (3) 为将Ha(p)去归一化,先求3dB截止频率Ωc。 检验: 可以看出,满足s=30dB 的真实fs在10.525kHz处,与12kHz比,还有富裕量。 将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到:

  30. Matlab的实现 • 调用的函数见教材P160 : buttap, buttord, butter • 设计程序见教材P161

  31. 第三节 用脉冲响应不变法 设计IIR数字低通滤波器 利用模拟滤波器来设计数字滤波器,就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。 因此,它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换,这个变换通常是复变函数的映射变换,为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求,这个映射变换必须满足以下两条基本要求。

  32. 两条基本要求: • 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器,仍 • 是因果稳定的。即 S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频 响,s平面的虚轴映射为z平面的单位圆,相应的频率之间成线性关系。 工程上常用的转换方法:脉冲响应不变法和双线性变换法

  33. 一、脉冲响应不变法的转换原理 核心原理: 通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)。令h(n)= ha(nT) ,T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。 转换步骤:

  34. 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点,且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次,将Ha(s)用部分分式表示: 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t):

  35. 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样,采样间隔为T,得到: 对上式进行Z变换,得到数字滤波器的系统函数H(z):

  36. 设ha(t)的采样信号用 表示, 二、S平面和Z平面之间的映射关系 拉氏变换:

  37. 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示:

  38. j  jIm[z]  Re[z] =0 (s平面虚轴) r=1 (z平面单位圆)<0 (s左半平面) r<1 (z平面单位圆内部)>0 (s右半平面) r>1 (z平面单位圆外部) S平面 Z平面 ① r与的关系

  39. j  jIm[z] 3/T /T  Re[z] -/T -3/T Z平面 S平面 ② 与的关系: = T =0 (s平面实轴) =0 (z平面正实轴) = 0 =0T (s平面平行于实轴的直线) (z平面始于原点,辐角为0T的辐射线) :从 -/T ~ /T:从 - ~ (s平面为2/T的一个水平带) (z平面辐角转了一周,覆盖整个z平面) 多值映射

  40. 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足: • 存在的问题:混叠失真 将s=jΩ代入上式,得

  41. |ω|<π 数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。 只有当模拟滤波器的频率响应是限带的,且带限于折叠频率以内时,才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应,而不产生混叠失真。即:

  42. 但是,任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的(非理想), 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠,即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响,而是有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时,变换后频率响应混叠失真就越小。这时,采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

  43. 脉冲响应不变法的频率混叠现象

  44. 优点: • 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完 全模仿模拟滤波器的单位冲激响应,也就是时域逼 近良好。 • 模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。 因而,一个线性相位的模拟滤波器(例如贝塞尔滤 波器)通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性 相位的数字滤波器。

  45. 缺点: • 有频率响应的混叠效应。 所以, 脉冲响应不变 法只适用于限带的模拟滤波器(例如,衰减特性 很好的低通或带通滤波器),而且高频衰减越快 ,混叠效应越小。 • 对于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分 不衰减, 因此会产生混叠现象。

  46. 第四节 用双线性变换法 设计IIR数字低通滤波器 一、变换原理 了解决上一节的混叠问题,我们应想办法让S到Z域的映射为单值映射。 方法: 先采用线性压缩的方法,将模拟角频率压缩至折叠频率以内。即: 若:: -∞ ~ 0 ~ ∞, 压缩后得到1 1:-π/T ~ 0 ~ π/T

  47. S S1 S1 Z 非线性压缩 单值映射

  48. 找Z与S的关系: