(25.1) Lemma: Sei V K-Vektorraum mit der geordneten Basis b = (b 1 , b 2 , ... ,b n ) .

1. § 25 Bilinearformen und spezielle Koordinaten Bekanntlich ist eine Linearform auf einem K-Vektorraum V eine lineare Abbildung f von V nach K . Wir beginnen mit Linearformen. Der Dualraum Hom(V,K) wird auch mit V* = Hom(V,K) bezeichnet. Als erstes wollen wir feststellen, dass Linearformen auf einem endlichdimensionalen K-Vektorraumes V sich – nach Festlegung einer geordneten Basis b – mittels des Produkts von Zeilenvektor mit Spaltenvektor beschreiben lassen. (25.1) Lemma: Sei V K-Vektorraum mit der geordneten Basis b = (b1, b2, ... ,bn) . Für f aus V* sei Y der Zeilenvektor mit den Komponenten Yj := f(b j) . Y ist (1,n)-Matrix und es gilt: wobei der letzte Term das Matrixprodukt von Y aus K1xn mit X aus Knx1 bezeichnet.

2. Damit ist Kapitel IV, §25 Diese Beschreibung der Linearformen entspricht der Festlegung einer geordneten Basis b* auf V* in der Weise, dass f aus V* die Komponenten Yj = f(bj) bezüglich der Basis b* hat: Komponente aufgefasst werden. Andere Schreibweise: (25.2) Definition: Unter der natürlichen Paarung zwischen V und V* versteht man die Abbildung

3. Kapitel IV, §25 (25.3) Definition: b* = (b*1,b*2, ... ,b*n) heißt die duale Basis zu b . Hinweis: In Geometrie und Physik ergeben sich Basen mit zugehöriger dualer Basis auf folgende Weise: Man geht aus von einer „Parametrisierung“ eines Bereiches U durch die Parameter q = (q1,q2, ... ,qn) aus Q . Dann liefert eine Basis des „Tangentialraumes“. Durch die „1-Formen“ wird die duale Basis gegeben. Nun zu den Bilinearformen:

4. Kapitel IV, §25 (25.4) Definition: Eine Bilinearform auf einem K-Vektorraum V ist eine Abbildung so dass für alle w aus V die beiden Abbildungen Linearformen sind. Die zugehörige quadratische Form ist q(v) := σ(v,v) . Das Nullstellengebilde von q ist dann eine Quadrik: q-1(0) . Eine allgemeine Quadrik in Kn ist definiert als wobei q quadratische Form, f Linearform und c Konstante aus K. Quadriken sind verallgemeinerte Kegelschnitte. Sie lassen sich entsprechende auf affinen Räumen definieren. Zu den wesentlichen Aufgabe der affinen Geometrie gehört die Klassifikation der Quadriken und ihre einfache Beschreibung.

5. mit einer eindeutig bestimmten (n,n)-Matrix Kapitel IV, §25 Wichtig ist hier die Relation von Bilinearformen zu Skalarprodukten. Bezüglich einer geordneten Basis b von V hat eine Bilinearform σ stets die Darstellung (25.5) Definition: Die Matrix σb heißt die Fundamentalmatrix von σ in Bezug auf b . Umgekehrt definiert jede (n,n)-Matrix eine Bilinearform. Ohne Bezug auf eine Basis definiert eine Bilinearform σ stets eine lineare Abbildung Diese hat bezüglich einer geordneten Basis b und der dualen Basis b* die Matrixdarstellung durch die Fundamentalmatrix:

6. 1o Der Nullraumist V0 := {v aus V : σ( ,v) = 0} , also der Kern von Kapitel IV, §25 (25.6) Definition: Sei σ eine Bilinearform auf V , dimV = n . 2o Der Rang rgσ von σ ist der Rang der Fundamentalmatrix. 3oσ heißt nicht ausgeartet, wenn rgσ = n. Offensichtlich ist Deshalb gilt: Eine Bilinearform σ heißt symmetrisch, wenn stets σ(v,w) = σ(w,v). σ ist daher symmetrisch, wenn σT = σ für die Matrix σ = σb. Erinnerung: (Vgl. 11.2) Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V ist eine symmetrische Bilinearform σ , zu der es eine Zerlegung von V der Form V = V+ + V– gibt mit: σ(v,v) > 0 für v aus V+\{0} und σ(v,v) < 0 für v aus V–\{0} .

7. Kapitel IV, §25 23.01.02  Der nächste Satz klärt, welche Bilinearformen Skalarprodukte sind: (25.7) Satz: (Hauptachsentransformation, schwache Form) Sei σ eine symmetrische Bilinearform auf V , dimV = n , und sei charK > 2 . Dann existieren eine geordnete Basis d = (d1,d2, ... , dn) von V und Elemente s1,s2, ... , sn aus K, so dass die Fundamental-matrix von σ in Bezug auf d die Gestalt diag(s1,s2, ... , sn) hat. Dabei ist diag(s1,s2, ... , sn) die Matrix (δijsj) . d und s können so gewählt werden, dass . Beweis durch Induktion nach n . (25.8) Korollar: Sei σ symmetrische Bilinearform auf V , dimV = n , und sei K = R. σ ist genau dann Skalarprodukt, wenn σ nicht ausge-artet ist. Die Wahl von d und s kann so getroffen werden, dass

8. Kapitel IV, §25 j = j(σ) heißt der Index von σ . Im Falle j(σ) = n handelt es sich um ein euklidisches Skalarprodukt. (25.9) Korollar: Sei σ eine symmetrische Bilinearform auf V , dimV = n , und sei K = C . Die von Null verschiedenen sj können alle als 1 gewählt werden. (25.10) Klassifikation der Quadriken: Über dem Körper R = K der reellen Zahlen haben die quadratischen Formen bei geeigneter Koordinatenwahl die folgenden Normalformen: Dabei ist r = rgσ .  21.01.02 Wir kommen abschließend zur Beschreibung von speziellen Koor-dinaten und Bezugssystemen mit ihrem Transformationsverhalten:

9. Wir schreiben deshalb auch für diese Fundamentalmatrix. Kapitel IV, §25 Für den Rest des Paragrafen sei K = R . Und es sei σ ein Skalarprodukt auf dem n-dimensionalen R-Vektorraum V . Aufgrund der vorangehenden Resultate gibt es eine geordnete basis b von V , für die die Fundamentalmatrix σ = σb die Form σ = diag(1,1, ... , 1,–1, ... , –1) hat, - mit p = j(σ) Einträgen gleich 1 und n – p Einträgen gleich –1 in der Diagonalen. (25.11) Definition: Eine solche Basis heißt Orthonormalsystem bezüglich des Skalarprodukts. Es gilt Wie kann man die Menge aller Orthonormalsysteme beschreiben?

10. Zu einem weiteren Orthonormalsystem d findet man wie zuvor eine Transformationsmatrix B aus Rnxnmit Aus ergibt sich σ = BTσB für die Matrix Kapitel IV, §25 (25.12) Definition: Eine lineare Abbildung f aus Hom(V,V) heiße invariant bezüglich der Bilinearform σ , wenn für alle X,Y aus V σ(X,Y) = σ(f(X),f(Y)) gilt. Die σ-invarianten linearen Abbildungen sind automatisch bijektiv. Wenn die Matrix A aus Rnxndie Abbildung darstellt bezüglich der Basis b, so bedeutet die Invarianz wegen σ(X,Y) = XTσY und σ(f(X),f(Y)) = σ(AX,AY) = XTATσAY gerade σ = ATσA . (25.13) Satz: Orthonormalbasen werden durch σ-invariante Abbildungen ineinander transformiert. Die Menge der Matrizen

11. Kapitel IV, §25 beschreibt diese Transformationen, parametrisiert also die Orthonormalbasen. O(p,q,R) ist eine Gruppe, die orthogonale Gruppe. O(n,R) = O(n,0,R) ist die orthogonale Gruppe. O(3,1,R) oder O(1,3,R) ist die Lorentzgruppe. Eineuklidischer Raum ist bekanntlich (siehe 11.7) ein affiner Raum (A,V,g) über R zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt auf dem R-Vektorraum V der Translationen. (25.14) Definition: Ein kartesisches Koordinatensystem eines euklidischen Raumes ist ein affines Bezugssystem O,b , wobei b Orthonormalsystem ist. (25.15) Satz: Die Transformationen, die die kartesischen Koordina-tensysteme ineinander überführen sind genau die Transformationen der Form T = B + w , mit B aus O(n,R) und w aus Rn . Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte euklidische Gruppe E(n) .

12. Kapitel IV, §25 Die euklidische Gruppe E(4) ist eine wichtige Untergruppe der Galileigruppe, der Invarianzgruppe der klassischen Mechanik. Zur Komposition in E(n) : Die euklidischen Transformationen sind Paare (B,w) , die man auch als Blockmatrizen darstellen kann. Die Gruppenoperation schreibt sich dann als Matrixprodukt: Diese Notation gibt natürlich auch schon für die im letzten Paragrafen eingeführte affine Gruppe Sinn, wie auch für die Lorentzkoordinaten, die durch die affine Version der Lorentzgruppe parametrisiert werden. Bemerkung: Orientierungserhaltende Transformationen werden später behandelt.