NUMERI COMPLESSI E INTERPOLAZIONE TRIGONOMETRICA

SEMINARI DI METODI MATEMATICI PER L’OTTIMIZZAZIONE A.A 2011/2012 NUMERI COMPLESSI E INTERPOLAZIONE TRIGONOMETRICA PARTE I I NUMERI COMPLESSI SANTAMARIA DANIELE VENTURA MARCO

Contenuti • Nascita dei numeri complessi. • Rappresentazioni dei numeri complessi. • Potenza n-esima. • Radici n-esima. • Radici n-esima dell’unità. • Formule di Eulero Esercizi !

Perché i numeri complessi • Niccolò Fontana detto Tartaglia (1500-1559) li utilizzò come «artifici algebrici» per risolvere equazioni di terzo grado (pubblicati da Cardano). • Rafael Bombelli (1526-1572) si occupò del caso irriducibile delle equazioni di terzo grado, formulando le leggi formali di calcolo «complesso».

La Soluzione di Cardano: x3+px=q Ma se è negativo ?

Bombelli prese in esame le «quantità silvestri» ( le radici immaginarie) introducendo i termini «più di meno» (+i) e «meno di meno (-i) e formulò le seguenti regole ( algebra dei «quaternioni») : Successivamente (nel Seicento) Cartesio chiamò i «nuovi numeri» numeri immaginarie solo nell’Ottocento i numeri non immaginari furono chiamati reali. Nel Settecento si sviluppò la parte teorica dei numeri complessi, fino ad allora utilizzati come «artifizi». (+1)· (+i) = +i (–1)· (+i) = –i (+1)· (–i) = –i (–1)· (–i) = +i (+i)· (+i) = –1 (+i)· (–i) = +1 (–i)· (+i) = +1 (–i)· (–i) = –1

I numeri complessi sono nati, quindi, per risolvere un ampia classe di problemi non risolvibili in R . Un numero complesso nella forma z=x+iy È costituito da una parte reale x E una immaginaria iy dove y è il coefficiente della parte immaginaria . Per y=0 si ottiene l’insieme dei numeri reali, per cui

Indicheremo complesso coniugato come il numero complesso che ha la stessa parte reale di ma parte immaginaria opposta. Si definisce modulo di il numero Definiamo inverso di il numero complesso:

Addizione • Proprietà associativa. • Proprietà commutativa. • z ammette –z simmetrico rispetto all’addizione (opposto) tale che

Moltiplicazione • Proprietà associativa e commutativa. • z ammette il reciproco: • Vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto l’addizione vale sia a destra che a sinistra:

A volte la rappresentazione algebrica dei numeri complessi può rilevarsi scomoda per alcune operazioni. • È possibile, tuttavia, fare ricorso ad altre rappresentazioni. • Rappresentazione Vettoriale. • Rappresentazione Geometrica. • Rappresentazione Trigonometrica ( o polare) • Rappresentazione Esponenziale.

Rappresentazione Vettoriale Chiamiamo piano vettoriale un piano in cui si fissa: • Un’origine O; • Un vettore unitario (vettore non nullo); • Il verso positivo delle rotazioni attorno O. Definiamo un numero complesso di modulo ρ (numero reale non negativo) e argomento θ ( in radianti) un operatore che associa ad ogni vettore un vettore vettore ottenuto nel seguente modo.

Si moltiplica per ρ e si ottiene . • Si ruota attorno all’origine O di θ. • Due numeri complessi si dicono uguali se hanno moduli uguali e argomenti che differiscono per un multiplo di 2π

Somma di numeri complessi (legge del parallelogramma). • Prodotto di numeri complessi (prodotto dei moduli e somma degli argomenti). Il prodotto (scalare) di due vettori è uno scalare. Il prodotto di un vettore per uno scalare è un vettore. In C il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso.

Rappresentazione Geometrica Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dato un numero complesso z=x+iy , i suoi numeri reali x e y possono essere interpretati come coordinate cartesiane del punto P

Rappresentazione Trigonometrica • y . Da cui • =ρ= • z=ρ() • , Si definisce il prodotto di due numeri complessi z=)) ( applicando le formule di addizione del sen e cos)

La Divisione z = )) (applicando le formule di sottrazione del sen e cos) • La potenza n-esima ( formula di De Moivre) (indotta dalla moltiplicazione) Ammette una ed una sola soluzione.

Utilizzando De Moivre si dimostra che per ogni z non nullo e esistono n radici n-esime di z tali che Con Date dalla formula k=0,..n-1

Si ha che esiste un unico tali che: Per cui le radici distinte sono n ( quelle per cui k=0,1,..n-1 ) Tali punti rappresentano nel piano complesso i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di centro O e raggio .

Nel caso z=1 si ottengono le radici n-esime dell’unità per k=0,..,n-1.

Inoltre vale: ma non vale Poiché . Analogamente: • {}

In generale: La radice n-esima ( con n pari) di un numero positivo dà sempre due radici reali e le altre complesse. La radice n-esima ( con n dispari) di un numero positivo dà sempre una radice reale e le altre complesse. Sia N un numero qualunque, sia x una qualsiasi delle sue radice n-esime (),allora i numeri Sono tutti numeri distinti perché distinti sono i beta, inoltre si ha: Le radici di z non sono “allineate” alle radice dell’unità.

Si dimostra, grazie ai numeri complessi, il teorema fondamentale dell’algebra (generalizzazione): Dato un Polinomio di grado n ++..++ , Esso ha n radici in C, ciascuna contata con la dovuta molteplicità (ad es. per n=5 si può avere x=2 soluzione doppia, x=3 soluzione semplice, x=4 doppia, per cui n=5).

Rappresentazione Esponenziale Un numero complesso z=x+iy si può rappresentare come: (formula di Eulero) Per un numero complesso di modulo unitario si ha:

Tali formule sono ottenute a partire dalla forma trigonometrica z=ρ() sfruttando lo sviluppo in serie del seno, coseno e , infatti:

Mediante tali relazioni e posto si ha: Moltiplicando e ordinando si ha: = Per lo sviluppo in serie di con si ha

Analogamente alle altre forme si ha, dato il numero complesso z:

Formula di De Moivre: Radice n-esima: Potenza:

Eulero introdusse anche le seguenti formule iperboliche: = = In particolare, se si ha: =

Dato i numeri complessi e possiamo dare un significato geometrico al prodotto : = = ovvero una rotazione in senso antiorario del vettore .

Dalle formule di Eulero si ottiene anche l’identità: +1=0 In generale valgono le seguenti identità: -i=0 +i=0 -1=0

Campi di Applicazione • Teoria dei numeri • Integrali impropri • Equazioni differenziali • Frattali • Dinamica dei fluidi • Meccanica Quantistica • Relatività

PARTE I FINE

NUMERI COMPLESSI E INTERPOLAZIONE TRIGONOMETRICA