INVETIGACION DE OPERACIONES I HANDY A. TAHA

1. INVETIGACION DE OPERACIONES I HANDY A. TAHA INGENIERO ISRAEL CASTAÑEDA israel.arroyos@gmail.com

2. INVESTIGACION DE OPERACIONES I • OBJETIVOS GENERAL(ES) • Formulara y aplicará modelos lineas a situaciones reales • Identificara las posibilidades de cambios en sus sistemas productivos con base a análisis de sensibilidad. • Optimizara los recursos empleados en la organizaciòn usandotécnicas de programación lineal (PL) y ente. • UNIDAD I : Metodología de la investigación de operaciones (I.O) y formulación de modelos. • 1.1-.definision, desarrollo y tipos de modelos de la I.O. • 1.2-.Fases de estudio de la investigación de operaciones. • 1.3-.Pricipales aplicaciones de investigación de operaciones. • 1.4-.Formulacion de Problemas lineales. • 1.5-.Formulacion de problemas mas comunes , Dieta,Inversion, Transporte, Recorte etc…….

3. INVESTIGACION DE OPERACIONES • UNIDAD II : El método Simplex. • 2.1-. Solucióngráfica de un problema lineal • 2.2-. Teoria del metodo Simplex. • 2.3-. Forma tabular del método simplex. • 2.4-. El mètodo de las dos fases. • 2.5-. El mètodo simplex revisado. • 2.6-. Casos especiales. • UNUDAD III :Transporte y asgnaciòn. • 3.1-. Definiciòn del problema de transporte. • 3.2-. El mètodo de aproximaciòn de Vogel. • 3.3-. Mètodo MODI. • 3.4-. Procedimiento de Optimizaciòn. • 3.5-. Definiciòn del problema de asignaciòn. • 3.6-. Mètodo Hungaro.

4. INVESTIGACION DE OPERACIONES I Las raíces de la investigación de operaciones se remonta a cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial.La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. Una de las principales razones de la existencia de grupos de investigación de operaciones es que la mayor parte de los problemas de negocios tienen múltiples aspectos es perfectamente razonable que las fases individuales de un problema se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento necesario en los campos apropiados.

5. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? • La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones optimas que mejor sirvan a los objetivos de la organización. • Aspectos a rescatar de la definición: • Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. • La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.

6. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? • La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. • ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

7. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES 1. Definición del problema. • Implica definir el alcance del problema que se investiga. Es una función que debe hacer el equipo de I.O. Su resultado final será identificar tres elementos principales del problema de decisión que son. 1-. La descripción de las alternativas de decisión. 2-. La determinación del objetivo del estudio. 3-. La especificación de las limitaciones bajo las cuales funciona el sistema modelado. 2. Construcción del Modelo. • La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución

8. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES 3-.La solución del modelo. • Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. • La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática;b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo. • Un aspecto importante de la fase de solución del modelo es el análisis de sensibilidad, esto tiene que ver con la obtención de información adicional sobre el comportamiento de la solución OPTIMA.

9. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES 4. Validación del modelo Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de modelo se comporten de una manera factible. Al principio el equipo de I.O se debe de convencer que el resultado no incluya “SORPRESAS” . En otras palabras , ¿tiene sentido la solución? 5. Implantación de la solución El paso final se inicia con el proceso de "vender"los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. De la solución del modelo validado implica la traducción de los resultados a instrucciones de operación, emitidas en forma comprensible para las personas que administraran el sistema recomendado.

10. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES • NORMAS PARA LOGRAR ÉXITO EN LA I de O. • El éxito del empleo de la I de O es el de un enfoque de solución de problemas y no una colección asociada de métodos cuantitativos. • La I de O es relativamente costosa, lo que significa que no debe emplearse en todos los problemas, sino tan sólo en aquellos en que las ganancias sea mayores. • Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias. º LIMITACIONES DE LA I de O 1-.Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y tener una solución.

11. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES 2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples. 3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales. 4. Rara vez se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se ven superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo

12. Organización Naturaleza de la aplicación Año de publicación* Capítulos Relacionados Ŧ Ahorros anuales ŧ The Netherlands Rijkswaterstatt Desarrollo de política nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operación y costeo. 1985 2-8, 13, 21 $ 15 millones Monsanto Corp. Optimización de operaciones de producción para cumplir metas con un costo mínimo. 1985 2, 12 $ 2 millones Weyerhauser Co. Optimización del corte de árboles en productos de madera para maximizar su producción. 1986 2, 10 $ 15 millones Electrobras/CEPAL, Brasil Asignación óptima de recursos hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía. 1986 10 $ 43 millones METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES • Aplicaciones de la Investigación de operaciones

13. United Airlines Programación de turnos de trabajo en las oficinas de reservaciones y en los aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo. 1986 2-9, 12, 15, 16, 18 $ 6 millones Citgo Petroleum Corp. Optimización de las operaciones de refinación y de la oferta, distribución y comercialización de productos. 1987 2-9, 18 $ 70 millones SANTOS, Ltd., Australia Optimización de inversiones de capital para producir gas natural durante 25 años. 1987 2-6, 13, 21 $ 3 millones San Francisco police Department Optimización de la programación y asignación de oficiales de patrulla con un sistema computarizado. 1989 2-4, 12, 18 $ 11 millones Electric Power Research Institute Administración de inventarios de petróleo y carbón para el servicio eléctrico con el fin de equilibrar los costos de inventario y los riesgos de faltantes. 1989 17, 21 $ 59 millones Texaco, Inc. Optimización de la mezcla de ingredientes disponibles para que los productos de gasolina cumplieran con los requerimientos de ventas y calidad. 1989 2, 13 $ 30 millones METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES T

14. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES • MODELOS ESPECÍFICOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES . • Planeación de Producción • Asignación de personal • Transporte • Inventarios • Dietas • Mercado • Estrategias de Inversión   Etc.

15. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • La Programación Lineal se aplica a modelos de OPTIMIZACION en los que las funciones objetivo y las restricciones son estrictamente Lineales- • El problema general es asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima). • Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas . • El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo. Z = Es el valor Optimo (Max. / Min.) o sea la función Objetivo. Xj = Son la variables de decisión j (para j = 1,2,...,n) Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m) aij = cantidad del recurso i a consumir.

16. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • Estructura de un modelo de PL. • Función objetivo.Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza. • Variables de decisión.Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular. • Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc. • Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.

17. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • La programación lineal es una técnica de modelado (construcción de modelos). • La programación lineal (PL) es una técnica matemática de optimización, es decir, un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo. • Función objetivo: La función por optimizar (maximizar o minimizar) • Restricciones: Representan condiciones que es preciso satisfacer. Sistema de igualdades y desigualdades (≤ Ó≥ ) • Maximizar Z = X1 + 1.2X2 Funciòn Objetivo • 2X1 + X2 ≤ 180 • X1 + 3X2 ≤ 300 RESTRICCIONES • X1≤ 0 • X2≤ 0 • TIPOS DE RESTRICCIONES. • DE NO NEGATIVIDAD -.Garantizan que ninguna variable de Decisión sea negativa. • ESTRUCTURALES-. Reflejan factores como la limitación de recursos y otras condiciones que Impone la situación del problema.

18. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • Z(X) = C1X1 + C2X2 + C3X3 +. .... ....+ CnXn • Sujeta a un sistema de inecuaciones o ecuaciones lineales. • a11X1 + a12X2 + a13X3 a1nXn ≤ b1 • a21X1 + a22X2 + a23X3 a2nXn ≤ b2 • . . . • . . . • . . . • . . . • am1X1 + am2X2 + am3X3 + amnXn ≤bn • En donde las variables Xi (i = 1,2,3 n) son no negativas. • Para aplicar la programación lineal en la elaboración de las raciones para vacas lecheras, partimos de una ración hipotética en la cual intervienen los siguientes datos:- Dos alimentos : un Concentrado (X1) y un Forraje (X2)- Tres nutrientes :    Proteína Cruda PC   Energía Neta de lactancia ENI   Fibra Cruda FC- El precio por Kilogramo de cada uno de los alimentos- Necesidades nutritivas de las vacas lecheras.

19. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2).  ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

20. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • Solución: Sea x el número de píldoras de la marca A y sea y el número de píldoras de la marca B por comprar. El costo Zc min, medido en centavos, está dado por • Zc min= 6x+ 8y ,que representa la función objetivo por minimizar. • La cantidad de hierro contenida en x píldoras de la marca A , y el número de píldoras de la marca B está dada por 40x+10y  mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg. Esto se traduce en la desigualdad. • 40x+10y ≥ 2400  • Consideraciones similares con los requisitos mínimos de vitaminas B-1 y B-2 conducen a las desigualdades:  • 10x+15y ≥ 2100 5x+15y ≥ 1500  respectivamente. Así el problema en este caso consiste en minimizar Zc min=6x+8y sujeta a  • 40x+10y ≥ 2400 • 10x+15y ≥ 2100 • 5x+15y ≥ 1500 • x ≥ 0, y ≥ 0   

21. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • Vértice Z c min=6x + 8y • A (0,240) 1920 • B(30,120) 1140 • C(120,60) 1200 • D(300,0) 1800

22. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

23. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • El granjero López tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados los márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados. ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima? • Maíz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs  por hrs. • Trigo: Utilidad:  $30 por hrs. Trabajo: 1hs  por hrs. • HASTA AQUÍ LA PRIMERA EVALUACION

24. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES • EL METODO SIMPLEX-. fuecreado en 1947 por el matemático George Dantzig . • El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. • El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. • Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. • Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

25. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES • OBJETIVOS ESPECIFICOS • • Construir la primera tabla del simplex. • • Hallar la primera solución factible de los problemas de programación lineal. • • Entender las iteraciones que se deben establecer para mejorar la función objetivo de los problemas y poder hallar el óptimo. • • Entender el significado de cada uno de los resultados de las tablas del simplex. • • Hallar la respuesta óptima a los ejercicios propuestos. • • Comprender los procedimientos generales del método simplex. • METODOLOGIA: • Se sugiere que este taller sea desarrollado en forma individual y sea apoyado por la bibliografía suministrada por el profesor de la materia. • CONCEPTOS PREVIOS: • Quizás la mejor forma de comprender • lo que es el método simplex es recordar cual es la base del método gráfico, para así extrapolar estos conocimientos al método simplex.

26. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES • EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL • Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. • El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

27. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • SOLUCIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX • Primer paso: Convertir las inecuaciones en ecuaciones (agregar las variables de holgura • necesarias) • F.O.: Max Z = 100X1 + 200X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 • S.A.: 4X2 + 2X2 + S2 = 16 (Ecuación 1) • 8X1 + 8X1 + S1= 16 (Ecuación 2) • 2X2 + S3 = 10 (Ecuación 3) • X1, X2, 0S1, 0S2, 0S3 ≥ 0 2

28. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL • Cuarto paso: Elección de la columna pivote (variable que entra). • El coeficiente de Z más negativo = Columna X2 • Quinto paso: Elección de la fila pivote (variable que sale). • Razón = Solución / Coeficiente columna pivote = 16/8= 2 • Razón Menor = Fila perteneciente a S1.

29. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES • b. Nueva filas = Fila Anterior – (Coeficiente de la Columna Pivote x Fila Pivote) -200

30. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES • NOTA: No hay más iteraciones debido a que no existen coeficientes de Z negativos en la • nueva tabla. • R/ El valor máximo se alcanza para un X2 = 2, con un Z = 400.

31. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12

32. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Solución: X1 = 200 , X2 = 100 , X3 = 0 , X4 = 0 , X5 = 20 , Z = 33000

33. INVESTIGACION DE OPERACIONES I Solución: X1 = 12 , X2 = 0 , X3 = 0 , X4 = 1 , Z = 60

34. INVESTIGACION DE OPERACIONES I Solución: X1 = 85/4 , X2 = 0 , X3 = 75/10 , X4 = 425/2 , X5 = 0 , X6 = 0 , Z = 3025/2

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