1. TRANSFORMASI LAPLACE ref: Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig by: Karohika, I Made Gatot 2014

2. Introduction Transformasi Laplace adalahsuatumetodeuntukmenyelesaikanpersamaandiferensialdarimasalahnilaiawalsertanilaibatas. Prosespenyelesaiannyaterdiridari 3 langkahutama: Langkah ke-1 : Persamaan “rumit” yang diketahuiditransformasikanmenjadipersamaan “sederhana”[persamaanpembantu] Langkah ke-2 : Persamaanpembantudiselesaikansemata-matadenganmanipulasialjabar. Langkah ke-3 : Penyelesaianpersamaanpembantuadalahdenganmentransformasikankembaliuntukmemperolehpenyelesaiandarimasalah yang diberikan. Dalamcaraini T Laplace mengubahsoalpersamaandiferensialmenjadisoalaljabar. Langkahketigalebihmudahdenganadanyatabel. T Laplace banyakdigunakansecaraluasdalambidangmatematikateknik, terutamabergunabagimasalahdimanagayagerak [mekanisataupunlistrik] memilikidiskontinuitas, misalnyabekerjahanyadalamwaktu yang singkatatausecaraperiodik, tetapibukansemata-matamerupakanfungsi sinus ataupuncosinus

3. T. laplacedapatmenyelesaikansuatumasalahsecaralangsung, tentusajamasalahnilaiawaldapatdiselesaikantanpaterlebihdahuluharusmenentukanpenyelesaianumumnya. Persamaanpersamaantakhomogendapatdiselesaikantanpaterlebihdahuluharusmenyelesaikanpersamaanhomogennya.

4. Transformasi Laplace Andaikan f(t) adalahfungsi yang diberikandandidefinisikanuntuksemuawaktu t lebihbesardarinol (t ≥ 0). Fungsi f(t) dikalikandengane-stdandiintegrasikanterhadap t darinolhinggatakhingga. Lalujikahasilintegralnyaada, danmerupakanfungsidaris,katakanlah F(s), maka, disebuttransformasi Laplace darifungsi original f(t) danakandinotasikandengan £(f). Jadi, Operasi yang baruditunjukkan, yang menghasilkan F(s) darifungsi f(t) yang diberikan, disebuttransformasi Laplace.

5. TransformasiInvers Selanjutnyafungsi original f(t) dalampersamaan (1) disebuttransformasiinvers dari F(s) danakandinotasikandengan £-1(F) sehinggadapatdituliskan, Padaumumnyafungsi original dinyatakandenganhurufkecildantransformasinyadenganhurufkapital yang samasehingga F(s) menyatakantransformasidari f(t) dan Y(s) menyatakantransformasidari y(t), dansebagainya. CONTOH 1. Jika f(t) = 1 untuk t ≥ 0, tentukanlah F(s). Penyelesaian: Denganmenggunakanpersamaan (1) dapatdiperoleh,

6. Selangintegrasidalampersamaan (1) adalahtakhinggadan integral semacam inidisebut integral takwajar. Olehkarenaitumenurutdefisnisiharusdihitungdengan aturan, Makapenulisan yang tepatadalah, Jadi,

7. CONTOH 2. Jika f(t) = eat untuk t ≥ 0, dimana a adalahkonstanta, tentukan F(s). Penyelesaian: Sekalilagi, denganmenggunakanpersamaan (1) dapatdiperoleh, F(s) = £ (f) = £ (eat) Olehkarenaitu, jika s–a > 0, maka Kita tidakharusmendapatkantransformasi Laplace dengancaralangsungdari definisidalampersamaan (1) karenatransformasi Laplace mempunyaibanyaksifat umum yang bergunauntuktujuandiatas.

8. LinearitasTransformasi Laplace Salahsatusifat yang sangatpentingdaritransformasi Laplace adalahsifatlinearitasseperti yang dimilikidiferensiasidanintegrasi. Transformasi Laplace adalahoperasi linear untuksebarangfungsi f(t) dan g(t) yang transformasiLaplacenyaadadansebarangkonstanta a dan b, £{a f(t) + b g(t)} = a £{f(t)} + b £{g(t)} .............................….…….(3) CONTOH 3. Jikaf(t) = cosh at = ½(eat + e-at), tentukanlah F(s). Penyelesaian: Dari sifatlinearitasdan CONTOH 2, diperoleh, F(s) = £{f(t)} = £ (cosh at) = ½ £ (eat) + ½ £ (e-at) = ½ [1/(s–a) + 1/(s+a)] yaitu jika s > a (a ≥ 0). Jadi,

9. CONTOH 4. Tentukanlahtransformasi Laplace darifungsiberikut: Denganmenggunakanpersamaan (1), didapatkantransformasi Laplace,

10. CONTOH 5. Jika f(t) = cosh at = ½(eat + e-at), tentukanlah F(s). Penyelesaian: Dari sifatlinearitasdan CONTOH 2, diperoleh, F(s) = £ {f(t)} = £ (cosh at) = ½ £ (eat) + ½ £ (e-at) = ½ [1/(s–a) + 1/(s+a)] yaitu jika s > a (a ≥ 0). Jadi,

11. CONTOH 6. Tentukanlahtransformasiinvers Laplace darifungsi Penyelesaian: Penyebutfungsi F(s), dapatdifaktorkanmenjadi (s – 3)(s – 2) danfungsi F(s) dapat diubah ke dalam bentuk, Fungsi F(s) harusdipisahkanmenjadi, dengan A dan B adalahkonstanta, sehingga,

12. Konstanta A dan B dapatditentukandenganmempertimbangkankesamaan, 3s – 7 = (A + B)s – (2A + 3B) maka, A + B = 3 2A + 3B = 7, dan didapatkan A = 2 dan B = 1. Dari CONTOH 1 akhirnyakitaperolehtransformasiinvers Laplace,

13. Beberapafungsielementerf(t) dantransformasiLaplacenyadisajikandalamTabel 1. Formula 1, 2 dan 3 dalamTabelmerupakankasuskhusus. Formula 4 mengikuti formula 5 danГ(n+1) = n! dimana n adalahbilanganbulattaknegatif. Formula 5 dapatdibuktikandenganmengerjakannyadaridefinisi. Formula 6 dibuktikandengan CONTOH 2. Formula 7 dan 8 dibuktikandenganmemasukkan a = iωkedalam formula 6. Formula 9 dibuktikandalam CONTOH 3 dan formula 10 dapatdibuktikandengancaraserupa.

14. SOAL-SOAL Tentukanlahtransformasi Laplace dari fungsiberikut (a, b, adalahkonstanta). 1. 3t + 4 2. at + b 3. t2 + at + b 4. (a + bt)2 Tentukanlah f(t) bila F(s) = £(f) diketahuisebagaiberikut: 5. 6. 7 8.