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Unidade teórica 3

Unidade 3 Teoria de carteira 1 Modelo de Markowitz e a Fronteira eficiente 2. O Modelo simplificado de Sharpe (1963) 3. Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M. . Unidade teórica 3 . . O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios?

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Unidade teórica 3

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Presentation Transcript

  1. Unidade 3Teoria de carteira 1 Modelo de Markowitz e a Fronteira eficiente2. O Modelo simplificado de Sharpe (1963)3. Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  2. Unidade teórica 3 . O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios? . Como modelizar a eficiência ? . Razões de simplificação do modelo Economia Financeira MEMBF/MEIE

  3. Eugene F. Fama e Merton H. Miller The Theory of Finance (Hinsdale, Illinois: Dryden Press, 1972) Chapter 7. • Harry Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1. (Mar., 1952), pp. 77-91. • Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance 19(Sept. 1964): 425-42. • Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics 47(Feb. 1965): 13-37. • Black, Fisher, Machael C. Jensen, and Mayron S. Scholes (1972) The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Test. In Michael C. Jensen (ed.) • Studies in the Theory of Capital Markets. New York: Praeger. 79–121. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  4. Conceitos estatísticos de apoio à teoria de carteira • Rentabilidade do ativo j no estado de natureza S: rjs = (Ws – W0) / W0 • Variância do activo j : σ2j = ∑sαs[rjs- E(rj)]2 • Desvio padrão do activo j : σj = √σ2j • Covariancia da rentabilidade do activo i’ com a rentabilidade do activo j: Cov(ri, rj)= E[(ris- E(ri)) (rjs- E(rj))] =∑sαs[ris- E(ri)] [rjs- E(rj)] Economia Financeira MEMBF/MEIE

  5. Conceitos estatísticos de apoio à teoria de carteira • Correlação da rentabilidade do do activo i’ com a rentabilidade do activo j : ρij = Cov(ri, rj) / (σiσj) -1 ≤ ρij ≤ 1 Quando ρij = 1 => i e j têm uma correlação perfeita e positiva When ρij = -1 => i e j têm uma correlação perfeita e negativa. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  6. MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MODELO DE MARKOWITZ (1959) • HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ: • HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O retorno de um activo financeiro para um período futuro é consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal. H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de uma forma independente uns de outros. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  7. Hipóteses relativas ao comportamento dos investidores • H3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos) • H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas. • H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só período. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  8. FRONTEIRA EFICIENTE • 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes) • 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do investidor. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  9. Segunda Fase • Temos de ter em conta as funções de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença) • A fronteira de eficiência (dado objectivo) • Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  10. Fronteira de eficiência • A fronteira de eficiência deriva da maximização de um retorno esperado dado um determinado risco. • Se não existir nenhum activo sem risco , a fornteira de eficiência será a metade mais elevada da fronteira com um mínimo de variância. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  11. Fronteira do Portefolio R Retornos do portfolio : wT R Variância do Portfolio : wT Ω w 3 2 6 1 4 5 Economia Financeira MEMBF/MEIE

  12. Matematicamente, a técnica de Markowitzpara o cálculodafronteira de eficiência, resultanamaximização do declive (rácio de Sharpe) dalinha de transformaçãosujeito a umarestriçãoque a soma dos ponderadores é igual a um. • Assim, escolher um óptimo de Xi de modo a • SubstituíndoporRp e p o problemaresultaemescolher Xi de modo a Economia Financeira MEMBF/MEIE

  13. Dá-nos N condições de 1ª ordem • Desdequeosretornos, variâncias e co-variânciassejamconhecidas, as condições de 1ª ordempodemsercalculadasemóptimasproporções de Zi e entãoparaponderaçõesóptimas de Xi. Zi é a quantidadeinvestidaemactivos com risco. Se Zi é inferior á unidade (1- Zi)seráinvestidonosactivossemrisco (lenders). • Se Zi é maiorque a unidade (1- Zi)seráinvestido no activosemrisco (borrowers). • Uma vezque as ponderaçõesóptimassãoconhecidas, o retornoesperado e o risco do portefólioóptimopodemsercalculados • O rácio de Sharpe para o portfolio P podeigualmentesercalculado. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  14. Cuthbertson eNitzsche (2001) reescrevem a equação (3) em forma matricial. Assumindo haver três activos : • Onde  é a matriz das variâncias-covariâncias dos retornos dos activos, z é um vector coluna de proporções óptimas e e um vector coluna do excesso dos retornos. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  15. A solução é dada por • As ponderações óptimas , Xi, são calculadas como atrás. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  16. Eficiênciasegundo Markowitz – baseadonamédia e navariância Considere N activos num portfolio e as seguintes notações : w=[w1 . . . wN] Vector de ponderações Matriz das variâncias-covariâncias Ω R=[R1 . . . RN] Vector de retornos 1=[11 . . . 1N] Vector unitário wT Ω w Variância do portfólio wT R Retorno do portfólio Economia Financeira MEMBF/MEIE

  17. Efficiencia segundo Markowitz (Média-Var) Para encontrar a fronteira de eficiência s.a. 1=1T w min wT Ω w r=RT w w Optimização : 1 min wT Ω w + (1-1T w) + (r-RT w) 2 w Economia Financeira MEMBF/MEIE

  18. FOC : Eq. 1 : Ωw=1 + R Eq. 1a :w=Ω-11 + Ω-1 R Multiplicando equação 1 por 1T e RT : Eq. 1b :1=a  +b  Eq. 1c : r=b  +c  onde : a=1T Ω-11, b=1T Ω-1R, c=RT Ω-1R Economia Financeira MEMBF/MEIE

  19. Resolvendo em ordem a  e  nas equações 1b e 1c, e substituindo na eq 1a, obtem-se : w=v1+v2 r V1 e v2 são dois vectores fixos. Por outro lado, qualquer combinação convexa de portfolios eficientes é também um portfolio eficiente. O portfolio de mercado não é mais do que uma combinação ponderada de portfólios, e que,por sua vez também é eficiente. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  20. Modelo simplificado de Sharpe • Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959) • Conhecimento da matriz das co-varâncias • Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente: • Ři = αi + βiĨ + ũi • Ĩ = αn+1+ vn+1 Economia Financeira MEMBF/MEIE

  21. O papel do activo sem risco no modelo • O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de representação porque diferentes investidores têm assumpções diferentes quanto ao risco. A introdução do activo sem risco resolve esta ambiguidade. • O activo sem risco reduz o número potencial de portfolios eficientes a um único portfolio. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  22. mp rp rf sp sp Economia Financeira MEMBF/MEIE

  23. Fronteira de eficiência onde existe um activo sem risco • Capital Market Line: • A fronteira de eficiência é encontrada pelo ponto de tangência da recta que passa pelo activo sem risco e a fronteira. Retorno B A FEM RF Risco Economia Financeira MEMBF/MEIE

  24. Dentro deste equilíbrio, existe apenas um portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão ao risco pode ser retratado no modelo através de uma combinação de um portfolio simples e eficiente e um emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending) à taxa sem risco. • Considerando que o “portfolio índice” é o portfolio de mercado eficiente, ter-se-á: Economia Financeira MEMBF/MEIE

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  27. Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T. • Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe) • SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado. • CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line. • APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos activos financeiros são função lineares de mais do que um factor Economia Financeira MEMBF/MEIE

  28. Versões do CAPM E[Zi]=i + ßi (E[Zm]) Sharpe-Lintner : Este activo assume a presença de um Activo sem risco E[Ri]= i + ßi (E[Rm]) Black : Este modelo trata a taxa sem risco como uma variável aleatória Economia Financeira MEMBF/MEIE

  29. Problema de minimização • Black version • Sharpe-Lintner (com activo sem risco) Economia Financeira MEMBF/MEIE

  30. Sharpe Model • Regressão de Zit sobre Zmt • Hipótese nula : Versão de Black • Regressão • Hipótese nula α = (i-β)γ Economia Financeira MEMBF/MEIE

  31. Modelo de Sharpe-Lintner • A solução de Sharpe-Lintner é uma fronteira de eficiência. • Esta fronteira de eficiência combina uma posição longa no portfolio de mercado com um activo sem risco adquirido em situação de “lending” ou “borrowing” Economia Financeira MEMBF/MEIE

  32. Black CAPM Economia Financeira MEMBF/MEIE

  33. Como testar o CAPM? • A intercepção é zero • Beta captura completamente a variação dos retornos em excesso. • O prémio de mercado é positivo. Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo de excesso de retorno Economia Financeira MEMBF/MEIE

  34. Testes sobre a “intercept” Sharpe-Lintner : E[Zi]= i + ßi (E[Zm]) Testar se i = 0 Black : E[Ri]= i + ßi (E[Rm]) Testar se i = (1-ßi) E[R0] Economia Financeira MEMBF/MEIE

  35. Zero-Beta CAPM Economia Financeira MEMBF/MEIE

  36. Rácio de Sharpe Dada uma tangente a, e um portfolio de mercado m : A diferença ra - rm dá-nos uma medida da ineficiência de m a m rf Economia Financeira MEMBF/MEIE

  37. Exemplo Economia Financeira MEMBF/MEIE

  38. Precisamos de calcular as co variãncias ij=iji j. • Substituimos os valores nas três equ (3) que traduzem as condições de 1ª ordem. • Obtemos • Var AIB covar AIB BOI covar AIB CRH • Var BOI covarboi CRH • Var CRH Economia Financeira MEMBF/MEIE

  39. (7) • Lewis (1998) no “ NBER Working Paper No. 6351” assume que • A utilidade do investidor depende do retorno esperado e do risco . • Os investidores maximizam a sua utilidade sujeita à linha de transformação óptima. • A solução óptima é o ponto de tangência das curvas de indiferença do investidor a linha de trasnformação e pode-se interpretar as proporções óptimas, z, como a quantidade de fundos investidos nos activos com risco. • A solução será • Onde RRA é o coeficiente de aversão relativa ao risco. • Quanto menor uma pessoa for avessa ao risco, mais longe é o ponto de intersecção da linha de transformação com a curva de indiferença do investidor no seu ponto de tangência, i.e. z é maior. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  40. Medidas de Performance baseadas no APT • Modelo de dois factores • Nota:A medida é semelhante ao índice de Jensen Index: • .αj= Ri- (rf+βiM(RM-rf)) Economia Financeira MEMBF/MEIE

  41. Em forma de matriz (7) fica Economia Financeira MEMBF/MEIE

  42. Suponha que A tem um coeficiente RRA=1 então as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a Zi como • Suponha que o investidor B tem menos aversão ao risco e tem um coeficiente de RRA=0.2 então as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a Zi como Economia Financeira MEMBF/MEIE

  43. Se ambos os investidores tiverem as mesmas expectativas sobre os retornos esperados, desvios padrão dos retornos e correlações entre os retornos, então as mesmas condições de 1ª ordem podem podem ser resolvidas para as mesmas ponderações óptimas Xi. Economia Financeira MEMBF/MEIE

  44. O valor esperado do retorno é dado por Economia Financeira MEMBF/MEIE

  45. O risco esperado é dado por Economia Financeira MEMBF/MEIE

  46. A equação da linha de transnformação que passa pelo portfolio P é dado por Economia Financeira MEMBF/MEIE

  47. Os retornos esperados dos portfolios A e B são dados por Economia Financeira MEMBF/MEIE

  48. Graficamente Returno P 14.67% 5% Risco 5.82% • Onde se localizam os portfolios A e B? Economia Financeira MEMBF/MEIE

  49. O risco esperado dos portfolios A e B é dado por Economia Financeira MEMBF/MEIE

  50. Graficamente Retorno 18.81% B(-43%,143%) P 14.67% 7.76% A(71%,29%) 5% Risco 1.66% 5.82% 8.29% • A é menos avesso ao risco que B. Economia Financeira MEMBF/MEIE

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