F ：天体ダスト ２００８年１２月１日

1. F：天体ダスト　 ２００８年１２月１日　 単位名 　　大学院：恒星物理学特論IV 教官名中田　好一　 １２月８日は休講です。 授業の内容は下のHPに掲載される。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html 成績は出席とレポートの双方により決めます。

2. 授業タイトル A：　赤色巨星をめぐって 　　　　　　　　　　　　２００８年１０月 ６日 Ｂ：　赤色巨星構造の追究　　　　　　　　　　　２００８年１０月２０日 Ｃ：　ハヤシライン　　　　　　　　　　　　　　　 　 ２００８年１０月２７日 Ｄ：　スペクトル分類　　　　　　　　　　 ２００８年１１月１０日 Ｅ：　ダスト光学　　　　　　　　　　　　　 ２００８年１１月 １７日 Ｆ：　天体ダスト　　　　　　　　　　　　　　 ２００８年１２月　１日 Ｇ：　赤外スペクトル　　　　　　　　　　　　　　　 ２００８年１２月１５日 Ｈ：　等級とカラー　 　　　　　　　　　　　２００８年１２月２２日 Ｉ：　　変光　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２００８年　１月１９日 Ｊ：　 銀河系・系外銀河の赤色巨星　　　 　２００８年　１月２６日

3. 積み残し Ｅ．３．　微小（ a＜＜λ ）粒子の光吸収 粒子半径が光の波長に比べ小さい時には、ミー解の初項のみが支配的となり、 この解は粒子を一つの電気双極子と見なしたことに相当している。これは、粒子の各部分が一様な電場を感じていると考えると、以下に述べるように自然に理解できる。 E．３．１．一様に分極した誘電体球 ρ＋＝Ｎ・ｑ ＋ ＝ ρ－＝－Ｎ・ｑ 分極した誘電体球（半径a）を、一様に正に帯電した球と負に帯電した球が r だけずれて重なっていると考える。

4. 全体の電位φは、φ＋とφーの和であるから、 球内部の電場: R<a 正電荷球の内部、中心からＲでの電場Ｅは 電位は中心でゼロとして、 ここはｘ、ｙ、ｚで考えると少し分かりやすいかも知れない。 　　＋電荷球の中心＝（０，０，０）、　ー電荷球の中心＝（０，０，－ｒ）　とする。 なので、 球内部では、分極密度 P により、Pと逆向きの一様な電場 E が生じている。

5. 全体の電位φは、 球外部の電場: R>a 正と負に一様に帯電した球が球の外に作るポテンシャル、φ＋とφーはそれぞれ ここの　　は球全体の双極子モーメントでE.3.1の最初に出てきた原子１個 の　　　　とは違うことに注意。 Ｅ＝－４πＰ/３ 球外部では、po=∑ｐatomによる双極子場が生じている。

6. φ φ＝φ＋＋φ－ ４πＰ/３ａ －ａ ａ Ｏ Ｒ -φ- φ＋ 球外部 球内部 球外部

7. E．３．２．一様な外部電場中の誘電体球 前節では外場Eo＝０で分極Pが独立に存在する状況を扱った。ここでは、球が誘電率εの物質から成り、外場Eoが分極Pを発生させる場合を考えよう。 球内部では、外場Ｅｏと球の分極Ｐにより生じる電場（－４πＰ/３）の和として、Ｅ＝Ｅｏ－４πＰ/３　の電場が生じている。 Ｅｏ －４πＰ/３ ー　－　－　－　－　－　－　－ ＋ ＝ Ｅ Ｐ Ｅｏ Ｅｏ ＋　＋　＋　＋　＋　＋　＋　＋ 一方、物質の誘電率＝εなので、　εE=E+4πP この２つの式をEとPについて解くと

8. 球の半径 a が小さい、ｘ＝２πa/λ＜＜１、場合は球全体を一つの電気双極子poと看做すことができる。 p p ＝ p p po p p p p 前ページで求めたPを使ってpoを表すと、 つまり、電気双極子　ｐ0=αE　のαは、 電気双極子の吸光断面積σは前回E.1.でやったように、 なので、　　　 この式はE.3.の最初に述べたミー吸収の初項と同じである。

9. αatom＝原子分極率(atomic polarizability) E．３．３．光吸収の効率 上の左式は吸収断面積σが幾何学断面積 πａ２ のQ倍であることを示す。 上右式はQを書き下したものであるが、ｘ＝２πa/λに比例している。この式で粒子半径a、下がってｘを、小さくすると、 Ｑ０になる。 粒子が小さくなると吸収効率は低下するのだろうか？ 粒子の中にはＮ＝（４πａ３/３）n個の原子が含まれている。原子１個当たりの吸 収断面積σａｔｏｍ＝ σ/Ｎを求めてみよう。 ダストを構成する原子の一つ一つが双極子であると考える。この原子の双極子モーメントｐatomと原子に働く電場E１の間にｐatom＝αatomE１の関係を仮定する。 個々の原子は誘電体内の平均電場Ｅaveを受けているわけではない。なぜなら、Ｅaveには考えている原子自身による電場Ｅselfも含まれているからである。

10. 考えている原子のまわりに、原子一個分の球状の空洞を考える。空洞の壁に生じた分極電荷による電場はＥcav＝＋４πＰ/３だが、平均電場Ｅaveにこの空洞電場Ｅcavを加えたＥ1＝Ｅave＋Ｅcav　が原子に実際に働く電場である。すると、考えている原子のまわりに、原子一個分の球状の空洞を考える。空洞の壁に生じた分極電荷による電場はＥcav＝＋４πＰ/３だが、平均電場Ｅaveにこの空洞電場Ｅcavを加えたＥ1＝Ｅave＋Ｅcav　が原子に実際に働く電場である。すると、 個々の原子の双極子モーメント ｐatom は、 ｐatom＝αatomＥ１＝αatom（Ｅave＋Ｅcav） ＝αatom（Ｅave＋ ４πＰ/３ ） Ｅave ｐ P=N・p 従って、Ｐ＝Ｎ・ｐatom＝Ｎαatom（Ｅave＋ ４πＰ/３ ） 一方、誘電率εの定義から、ε・Eave=Eave+4πP この２つから、 したがって、

11. この式は、ａ＜＜λの時に原子１個当たりの吸収断面積は、一定値を取ることを示している。この式は、ａ＜＜λの時に原子１個当たりの吸収断面積は、一定値を取ることを示している。 その値はダストを構成する原子が単独でその原子分極率を持つガスとして存在する時の双極子吸収断面積に等しいことがわかる。 通常、宇宙空間ではガス中の原子が凝結してダストになると光吸収率が劇的に増加すると考えられている。したがって、この結果はいささか奇妙である。

12. Ｆ．１．固体の光学的性質 屈折率（refractive index） ｍ = ｍ１－ｉ・ｍ２ 誘電率(dielectric function) ε＝ε´＋ ｉ・ε´´＝ｍ２ 真空中での電磁波　　Ｅ＝Ｅｏ・ｅｘｐ（ －ｉ・2πｘ/λ＋ｉ・ωｔ) 屈折率ｍの媒質中 　Ｅ＝Ｅｏ・ｅｘｐ（－２πｋ・ｍ２ /λ)・ｅｘｐ（－ｉ・２πｍ１ ・ｘ/λ+ ｉωｔ) Ｆ．１．１．Ｌｏｒｅｎｔｚ　ｍｏｄｅｌ　（非電導性、例えば岩石） 　固体を双極子（光で揺すられるバネ）の集まりとみなす。 原子双極子ｐに働く電場をＥ１＝Ｅ０・ｅｘｐ（ｉωｔ）とする。 （Ａは質量） ここに、 ｐ（双極モーメント）＝ｑ・ｚ＝αａｔｏｍＥ１　より、

13. ここに、 はプラズマ角振動数である。 である。 ローレンツモデルでは、Ｅ１　とＥａｖｅ　を区別しない。したがって、 εＥ＝Ｅ＋４πＰ、　Ｐ＝ｎ・ｐ、ｐ＝αａｔｏｍＥ 　　　 （ ε－１）Ｅ＝ ４πｎ・ αａｔｏｍＥ　　　　　　　　　　　　　　

14. ローレンツモデルの誘電率と屈折率 ４ ε´ ε´ ´ ２ ３ ｋ １ ２ ｎ ０ １ ０ ωＯ ω ωＯ ω

15. ωＯは共鳴角振動数と呼ばれ、バルクな固体では吸収が最も強くなる箇所である。ωＯは共鳴角振動数と呼ばれ、バルクな固体では吸収が最も強くなる箇所である。 固体表面に垂直に入射する電磁波の反射率は、 で与えられるので、通常はω＝ ωＯの付近でＲ≒１となる。 例１ 多くの場合、紫外～可視域では、電子の詰まったエネルギーバンドから空のエネルギーバンドへの遷移に伴う吸収が起きる。 ｎ ２ ω＝ ωＯ ｋ １ ０ ωＯ ω ω＜ ωＯでは、ｎ≒一定で短波長（青）側に緩やかに増加し、ｋ＜＜１で透明となる。ガラスや水では可視域が、紫外域にある吸収帯の裾野にあたる。これらの物質は。可視で透明でかつ屈折率ｎがほぼ一定で、短波長側にやや大きくなっている。

16. 例２　　赤外波長帯には、結晶格子の振動による吸収が起きる。例２　　赤外波長帯には、結晶格子の振動による吸収が起きる。 振動のモード毎に共鳴振動数は変わるので、物質の光学的性質は様々な共鳴振動子の集まりと考えられ、次のように表される。 ε´ 透明 透明 透明 透明 ε´´ ０ ０ ω１ ω２ ω３ ω

17. Ｆ．１．２．Ｄｒｕｄｅ　ｍｏｄｅｌ　（電導性、例えば金属）Ｆ．１．２．Ｄｒｕｄｅ　ｍｏｄｅｌ　（電導性、例えば金属） 金属では電磁波による自由電子の振動がその光学的性質を決めている。 Ｌｏｒｅｎｔｚ　ｍｏｄｅｌでＣ＝０（バネなし）とおいて、金属のεを求めると、 ２ ε´ ´ ０ γは電子の衝突間隔時間τと、 γ～１/τの関係にある。可視・紫外では、γ＜＜ωなので無視でき、 －２ －４ ε´ －６ ωＰ ω

18. 多くの場合ωＰ＝２－１５ｅＶである。ω＜ ωＰ（可視）ではｎ＜１、ｎ＜＜ｋとなり ω＞ωＰ（紫外）ではε´≒１、 ε´´≒０、つまりｎ≒１、 ｋ≒０、となり金属は透明になる(ultraviolet transparency)。 簡単なイメージとしては、周波数が低いと電磁波に対し金属内の電子が揃って動いて強い誘導電場を生み出して電磁波を遮断し反射する。周波数が高くなると電磁波による電場の速い動きに電子の質量がついて行けなくなり、金属内の誘導電場の応答が小さくなって透明になる。 後に述べるが、ω＜ ωＰにおいてε´＜０となる現象は固体微粒子の光吸収において大きな効果をもたらす。

19. Ｆ．２．微小ダストの共鳴吸収 を見ると、 ε＝－２付近でＱ＞＞１となることが分かる。そこで、 ε＝ε１＋ｉε２とおいてこの共鳴吸収の様子を調べてみる。 ε＝ε１＋ｉε２　面上でＡ＝一定の線、つまり吸収強度一定の線を引くと 下の式のようになる。 ε面上で、（ε１，ε２）＝（－２、０）は特異点で、（－２、 ε２＋０）でＡ∞　となる。 したがって、物質の複素誘電率が（－２、０）付近を通る時には共鳴吸収が起きて、ダストは非常に強い吸収を引き起こす。

20. 6 共鳴吸収領域 ε2 4 2 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ε1 Ａ＝Im [(ε－１ )/(ε＋２）]＝一定の軌跡 A=1/2 3/4 3/2 弱い吸収領域 3

21. Ｆ．３．星間減光 Ｄ Ｆ＝Ｌ / （４πＤ２） ｍ＝Ｍ＋５ｌｏｇ（Ｄ/１０ｐｃ） Ｄ Ｆ＝Ｌ ｅｘｐ（－τ）/ （４πＤ２） ｍ＝Ｍ＋５ｌｏｇ（Ｄ/１０ｐｃ）＋Ａ Ａ＝２．５（ｌｏｇｅ）τ＝１.０８６τ τ Ｆ．３．１．星間減光曲線 減光のない時 減光のある時 Ａ＝星間減光（Ｉｎｔｅｒｓｔｅｌｌａｒ　Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎ）と呼ばれ、星間空間中の微小な 　　　固体微粒子が原因と考えられている。

22. 　Ａｖ＝１に規格化された標準減光曲線 λ　　　Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） 7 0.020 5 0.027 3.4 0.051 2.2 0.108 1.65 0.176 1.25 0.282 0.9 0.479 0.7 0.749 0.55 1.00 0.44 1.31 0.365 1.56 0.33 1.65 λ　　　Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） 0.28 1.94 0.26 2.15 0.24 2.54 0.218 3.18 0.20 2.84 0.18 2.52 0.15 2.66 0.13 3.12 0.12 3.58 • λ　　　Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） • 250 0.00042 • 0.0012 • 60 0.002 • 35 0.0037 • 25 0.014 • 20 0.021 • 18 0.023 • 15 0.015 • 12 0.028 • 10 0.054 • 9.7 0.059 • 9.0 0.042

23. Log(Ａλ/Ａｖ) 星間減光曲線 0 星間吸収曲線 2200ÅHump -1 Ａ（λ） ～ １/λ -2 ９.７μ、１８μ吸収帯 -3 -1 0 1 log(λ) 2

24. ε１ 1 0 ωｐ -1 -2 -3 表面プラズモン 0 ωｐ ω Ｆ．３．２．星間減光曲線の特徴 （１）　紫外域の減光のこぶ グラファイト（やメタル）では固体内自由電子によって、 ε＝１－ (ωｐ/ω)2となり。 ε＝－２で吸収のピークが生まれるのではないか？

25. グラファイトの誘電率ε1とε２ Ｅ（ｅＶ） ０ １０ １５ ５

29. 半径ａ＝０．１μｍのグラファイト球のＱを下に示す。半径ａ＝０．１μｍのグラファイト球のＱを下に示す。 横軸はー１．５＜logλ（μ）＜０．５、　縦軸は－１＜logQ<2　である。

30. （２）　Ｒ＝Ａｖ/（ＡＢ－Ａｖ）　（the total to selective absorption ） Ｒ=３．１　場所より　２．７～５ （３）　可視域では　Ａｖ ～ １/λ （４）　９.７μ、１８μ吸収帯 　　　　　９．７μ：　Ｓｉ－Ｏ　のＳｔｒｅｔｃｈｉｎｇ　Ｍｏｄｅ 　　　　　１８μ　：　Ｓｉ－Ｏ－Ｓｉ　のＢｅｎｄｉｎｇ　Ｍｏｄｅ 　　　　　吸収帯には細かい構造が欠けている。 　　　　　鉱物種を特定できない。 （５）　星間ダスト成分 以上から炭素系とシリケイト系のダストが存在する　　　　ことが分かる。

31. 星間減光の簡単なモデル 前ページで述べたように、星間ダストはメタル系のダストと誘電体的なダストが混在しているらしい。そこで、メタル物質の誘電率をεＧ、誘電体物質の誘電率をεＳとし、 とする。この式を波数ｋ＝１/λ＝２πｃ/ωで書き直し。 モデルに以下の数値を入れて計算を進めた。

34. Ｆ．４．星間ダストモデル Ｏｐｔｉｃａｌ　Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｒｓｔｅｌｌａｒ　Ｇｒａｐｈｉｔｅ　ａｎｄ　Ｓｉｌｉｃａｔｅ　Ｇｒａｉｎｓ Ｂ．Ｔ．Ｄｒａｉｎｅ，　Ｈ．Ｍ．Ｌｅｅ １９８４，　ＡｐＪ，２８５，８９－１０８。 星間ダストのモデル＝グラファイト＋シリケイ グラファイトの誘電率 グラファイトは下図のように平らな層が重なっている。 ε॥とε⊥のそれぞれについて、 （１） ε＝ ε１＋ｉ・ε２のε２データ収集 （２）　Kramers-Kronig関係でε１決定 ε॥ = 層に垂直な軸に平行な誘電率 ε⊥= 層に平行な誘電率

35. ε２データ収集 ｉ）　ε⊥、２（ω）　＝　結晶軸に垂直方向の誘電率ε⊥の虚数部　　 　　　非常に多くの実験があるが。一致は良くない。 ε⊥＝１＋δε⊥ｂ＋δε⊥ｆ　（Ｐｈｉｌｉｐｐ　１９７７）　　δεｂ＝バンド間, 　　　　　とおいて（δεｆ＝自由電子成分）、δεｂを決める方法をとる。 ここに、プラズマ振動数、ｈωＰ＝０．４４ｅＶ δεｂはまず、δεｂ２を下の引き算で決定し、 　　　　　　Ｉｍ（δεｂ）＝ε⊥、２―　Ｉｍ（δεｆ　） 次にクラマースクローニッヒの式でδεｂ１を定めるという方法をとる。 ε⊥、２データの収集　　　　　　　　 　エネルギー ０．００１ｅＶ＜ℏω＜１ｅＶ　　Ｐｈｉｌｉｐｐ　１９７７ １ｅＶ＜ℏω＜２ｅＶ　　Ｔｏｓａｔｔｉ．Ｂａｓｓａｎｉ　１９７０　＋　Ｐｈｉｌｉｐｐ　１９７７ ２ｅＶ＜ℏω＜３３ｅＶ　　Ｔｏｓａｔｔｉ．Ｂａｓｓａｎｉ　１９７０の４－６ｅＶに変更 ２２００Ａのフィットを良くした。 ３３ｅＶ＜ℏω　　　　　　　　Ｈａｇｅｍａｎｎ，Ｇｕｄａｔ，Ｋｕｎｚ　１９７４，１９７５

36. ｉi）　ε॥ 、２（ω）　＝　結晶軸に平行方向の誘電率ε॥ の虚数部 ε ॥ 、２データの収集　　　　　　　　 　　　　エネルギー 　　０．０１５ｅＶ＜ℏω＜０．５ｅＶＶｅｎｇｈａｕｓ　１９７７　Ｄｒｕｄｅにフィット　δε‖ｆ ーー＞　ｈωＰ＝０．１０１ｅＶ、τ＝１．４・１０－１４ｓ 　　０．１ｅＶ＜ℏω＜３ｅＶ　　　　　　Ｖｅｎｇｈａｕｓ　１９７７（１ｅＶ＜ℏω）につなぐ。 　　３ｅＶ＜ℏω＜６ｅＶ　　　　　　Ｖｅｎｇｈａｕｓ　１９７７ 　　６ｅＶ＜ℏω＜６．５ｅＶ　　　　　　つなぎ 　　６．５ｅＶ＜ℏω＜２１ｅＶ　　　　　　Ｔｏｓａｔｔｉ．Ｂａｓｓａｎｉ　１９７０ ２１ｅＶ＜ℏω＜２５ｅＶ　　　　　　つなぎ 　　２５ｅＶ＜ℏω　　　　　　　　　　　　Ｈａｇｅｍａｎｎ，Ｇｕｄａｔ，Ｋｕｎｚ　１９７４，１９７５ ε1の計算 ε⊥ 、ε॥のどちらに対しても、δεｂのクラマース・クロニッヒの関係式を用いてδε２ｂからδε１ｂを計算する。 結果を次ページのグラフに示す。

37. ｈν＜１ｅＶ ε2 ε1 ｈν＞１ｅＶ

38. シリケイトの誘電率 ε(ｈν ＜０．２０７ｅＶ、６μｍ＜λ)＝３１振動子 ε(０．２０７ｅＶ＜ｈν)＝２．４＋０．１・ｉ　　　（ただし、下図を見ると相当改変） ε２（４．５＜ｈν＜１６ｅＶ）＜――　結晶オリビン　Ｈｕｆfman,Stapp　１９７３ ε２（１６ｅＶ＜ｈν）＜――　Ａｌ２Ｏ３　（Ｈａｇｅｍａｎ，Ｇｕｄａｔ，Ｋｕｎｚ、１９７４） Ｋ－Ｋ関係式を用いて、 ε２ ε１　を決定する。結果は下の図。 ε2 ε1

40. 減光効率Ｑａｂｓ グラファイト シリケイト

41. 星間減光曲線 可視ーＵＶ波長域 赤外波長域

42. Ｆ．５．天体ダストモデルの問題点 ２２００Ａ　Ｈｕｍｐ グラファイト説の最大の根拠は「２２００Ａのこぶ」と言われる吸収バンドである。このバンドはグラファイトが面方向に動く自由電子のプラズマ振動によって、 Ｒｅ（ε）＝－２付近を通ることが原因とされる。 これは共鳴吸収なため、実際の誘電率ε面内での軌跡、粒子の大きさ、形状により吸収曲線が大きく変動する。 また、実験室でグラファイト微粒子による２２００Ａ　Ｈｕｍｐを再現した報告もない。 宇宙空間で純粋のグラファイト片が実際にできるのかという疑問もある。 １０μ　バンド こちらはシリケイトダストの根拠となっている。 このバンドの大きな特徴は形が滑らかで構造（バンドの突起や溝）が見られないことである。そこで、シリケイトと言っても地上の鉱物のような結晶質ではなく、非結晶シリケイトではないかとされている。ただし、ＩＳＯ衛星以来結晶を示す吸収バンドの観測も報告されている。

43. ３．４．ＰＡＨ