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MATEMÁTICAS A. CS II

MATEMÁTICAS A. CS II. Tema II Matrices. OPERACIONES: SUMA DE MATRICES. TEMA 2.2 * 2º BCS. SUMA DE MATRICES.

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  1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema II Matrices Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  2. OPERACIONES:SUMA DE MATRICES TEMA 2.2 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  3. SUMA DE MATRICES • Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. • PROPIEDADES • Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C. • El resultado de las operaciones indicadas es el mismo. • Es conmutativa: A+B = B+A • El orden de los sumandos no altera el resultado. • Tiene elemento neutro (La matriz nula). • La suma de una matriz con la matriz nula es la misma matriz. • Toda matriz tiene su matriz opuesta. • Aquella que sumada a la matriz dada da por resultado la matriz nula. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  4. SUMA DE MATRICES EJEMPLOS 1 2 4 5 1 7 + 2 8 1+1 2+7 = 4+2 5+8 2 9 = 6 13 1 -2 -4 5 1 -7 + 2 -8 1+1 -2-7 = -4+2 5-8 2 -9 = -2 -3 -1 2 4 -5 1 -2 + -4 5 -1+1 2-2 = 4-4 -5+5 0 0 = 0 0 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  5. SUMA DE MATRICES EJEMPLOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 + -2 0 1 3 -6 1 1+0 2+0 3+0 = 4-2 5+0 6+1 7+3 8-6 9+1 1 2 3 = 2 5 7 10 2 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 - 0 1 0 1 0 1 1-1 0-0 0-1 = 0-0 1-1 0-0 0-1 0-0 1-1 0 0 -1 = 0 0 0 -1 0 0 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  6. SUMA DE MATRICES OBSERVAR: Una matriz + su transpuesta = Matriz simétrica 1 2 4 5 1 4 + 2 5 1+1 2+4 = 4+2 5+5 2 6 = 6 10 1 2 4 5 1 4 - 2 5 1-1 2-4 = 4-2 5-5 0 -2 = 2 0 1 2 3 4 -5 -6 -7 8 9 1 4 -7 + 2 -5 8 3 -6 9 1+1 2+4 3-7 = 4+2 -5-5 -6+8 -7+3 8-6 9+9 2 6 -4 = 6 -10 2 -4 2 18 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  7. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ • Dada la matriz A=(aij) y el número real k llamado escala, se llama matriz producto k.A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número. • PROPIEDADES • Es distributiva respecto a la suma de matrices: • k.(A+B)=k.A+k.B • Es distributiva respecto a la suma de escalas: • (k1+k2).A=k1.A+k2.A • Es asociativa: k1.(k2.A) = (k1.k2).A • Tiene elemento unidad: 1.A = A a11 a12 a21 a22 k.a11 k.a12 = k.a21 k.a22 k. A = k. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  8. PRODUCTO DE k.A EJEMPLOS 1/2 -1 3 -1/6 2 -5 -1 2 -6 = 1/3 - 4 10 (-2) . A = (-2) . 1 4 7 . -2 5 -8 3 -6 9 3 12 21 = -6 15 -24 9 -18 27 3 . A = 3 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  9. PROPIEDADES EJEMPLO DE k.(A+B)=k.A+k.B 1 2 3. 4 5 1 7 + 2 8 1 2 = 3. 4 5 1 7 + 3. 2 8 2 9 3. 6 13 3 21 + 6 24 3 6 = 12 15 6 27 18 39 6 27 = 18 39 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  10. PROPIEDADES EJEMPLO DE (k1+k2).A=k1.A+k2.A (5 – 2). 1 -3 2 0 1 -3 = 5. 2 0 1 -3 - 2. 2 0 3. 1 -3 2 0 5 -15 = 10 0 2 -6 - 4 0 3 -9 6 0 5-2 -15-(-6) = 10-4 0-0  3 -9 6 0 3 -9 = 6 0 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  11. PROPIEDADES EJEMPLO DE k1.(k2.A) = (k1.k2).A 5. (– 2). 1 -3 2 0 = 5.(-2). 1 -3 2 0 5. -2 6 -4 0 = - 10 1 -3 - 2 0 -10 30 -20 0 -10 30 = -20 0 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  12. PROPIEDADES MATRIZ TRANSPUESTA • ORDEN DE UNA MATRIZ CUADRADA • Una matriz cuadrada es de orden 2, 3, 4, etc si presenta 2, 3, 4, etc filas o columnas. • IGUALDAD DE MATRICES • Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxn y pxq son iguales si, en primer lugar: m=p , n =q ; y en segundo lugar aij=bij para cualquier par i,j • PROPIEDADES DE LA M. TRASPUESTA • La traspuesta de la traspuesta es la matriz dada. • t t t • (A.B)=B . A • t t t • (A+B) =A + B • t t • (k.A) =k. A Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  13. Ejemplos • (At)t = A • Sea A = 2 -1 3 • -1 2 4 • At = 2 -1 • -1 2 • 3 4 • (At)t = 2 -1 3 • -1 2 4 • Vemos que se cumple dicha propiedad. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  14. Ejemplos • (A.B) t = B t . A t • -3 • Sea A = 2 -1 3 y B = 5 • 2 • A.B= 2.(-3)+ (-1).5+3.2 = - 5 • (A.B) t = - 5 • 2 • B t . A t = -3 5 2 . - 1 = -3.2 + 5.(-1)+2.3 = -5 • 3 • Vemos que se cumple la propiedad. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  15. Ejemplos • (A+B) t = A t + B t • Sea A = 2 -1 y B = 5 - 3 • 3 4 1 6 • A+B= 2+5 -1-3 = 7 - 4 (A+B) t = 7 4 • 3+1 4+6 4 10 - 4 10 • At = 2 3 y Bt = 5 1 • -1 4 -3 6 • At + Bt = 2+5 3+1 = 7 4 • -1-3 4+6 -4 10 • Vemos que se cumple la propiedad. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  16. Ejemplos • (k.A)t =k. At • Sea A = 2 -5 7 y k = 3 • -1 6 4 • 6 - 3 • k.A= 3.A = 6 -15 21  (3.A)t = -15 18 • -3 18 12 21 12 • 2 -1 6 -3 • k. At = 3.At = 3 . -5 6 = -15 18 • 7 4 21 12 • Vemos que se cumple dicha propiedad. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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