Download
1 / 33
330 likes | 415 Vues
Műszaki Térinformatika 2013/2014. tanév szakirányú továbbképzés tavaszi félév. Matematika I. 2. heti előadás. Deák Ottó mestertanár. Mi az a Maple ?. Általános célú számítógép-algebrai rendszer Windows alapú kezelőfelület Interaktív kezelési mód Programozható
E N D
Műszaki Térinformatika 2013/2014. tanév szakirányú továbbképzés tavaszi félév Matematika I. 2. heti előadás Deák Ottó mestertanár
Mi az a Maple? • Általános célú számítógép-algebrai rendszer • Windows alapú kezelőfelület • Interaktív kezelési mód • Programozható • Problémamegoldásra alkalmas eszközrendszer • Elméletileg teljesen megalapozott algoritmusok • Könnyű kezelhetőség
1. lecke Feladat:Bizonyítsuk be, hogy ha egy negyedfokú polinom négy valós gyöke számtani soro-zatot alkot, akkor ugyanez igaz a derivált-jára is! • Értelmezés: • Egy negyedfokú polinomnak 4 gyöke van; • A számtani sorozat négy egymást követő tagja: • a, a+d, a+2·d, a+3·d: • A polinom felírható gyöktényezős alakban: • p(x)=(x-x1) ·(x-x2) ·(x-x3) ·(x-x4); • A p’(x) polinomnak 3 gyöke lesz; • Kérdés: Ezek számtani sorozatot alkotnak?
Mit tanultunk a Maple-ből? • A parancsokat pontosvesszővel zárjuk le. Egy pa-rancs több sorból is állhat és egy sorban több pa-rancs is megadható. Több soros parancsnál az Enter billentyűvel lépünk az újabb sorba. • Az értékadás operátora a := jelsorozat. • A diff(f,x) parancs az f kifejezés x szerinti deri-váltját állítja elő. • A solve(f=0,x) parancs az f=0 egyenletet oldja meg x-re. • Sorozat a Maple-ben: olyan adattípus, ami a Maple objektumok vesszővel elválasztott sorozatából áll. Elemeire index segítségével hivatkozhatunk.
Az 1. lecke gyakorló feladatai 1.feladat: Keressük meg az alábbi egyenletek gyö-keit! a) x3 - 5 ·x2 - 4 ·x + 2 = 0 b) 3 ·x3 - 5 ·x2 + x - 6 = 0 c) a ·x2 + b ·x + c = 0 2.feladat: Tekintsük az f(x) = x3 - 3 · x2 függvényt,és a belőle származtatott y(x)=x·f(x-1) negyedfokú polinomot. Mutassuk meg, hogy az y deriváltjának gyökei mértani sorozatot alkotnak!
A 2. lecke Feladat:Tekintsük az f=4·x4+4·x3-13·x2-7·x+8 po-linomot! a) Határozzuk meg az f összes valós gyökét! b) Rajzoljuk fel f-et olyan intervallumban, ami az összes gyököt tartalmazza! Törekedjünk arra, hogy szép ábrát kapjunk! c) Határozzuk meg az f érintőjének egyenletét az x=0 pontban, és rajzoljuk fel ugyanarra az ábrára az f-et és az érintőt!
Mit tanultunk a Maple-ből (I.)? • A solve eljárás elfogad egyenlet helyett kifejezést is, és ekkor a kifejezés=0 egyenletet oldja meg. • A max és a min eljárás a paraméterként megadott sorozat legnagyobb illetve legkisebb elemét hatá-rozza meg. • A plot eljárás legegyszerűbb hívása: plot(kifejezés,x=a..b). Ennek hatására a kifejezés által meghatározott görbét a rendszer az [a,b] zárt intervallumon ábrázolja. • Ha a plot eljárásnak kifejezések halmazát adjuk meg, akkor a görbéket a rendszer egy ábrán jeleníti meg, különböző színekkel.
Mit tanultunk a Maple-ből (II.)? • Kifejezések helyettesítési értékét a subs eljárással állíthatjuk elő. Ennek legegyszerűbb formája a subs(változó=kifejezés1,kifejezés2). Hatására a változó minden egyes kifejezés2-beli előfordulása a kifejezés1 értékével helyettesítődik. Figyelem: a helyettesítés a kifejezés2-t nem változtatja meg! • A halmaz adattípus MAPLE objektumok kapcsos zárójelbe zárt sorozata, mely elemeinek rende-zetlen összessége. A halmazokkal műveletek is végezhetők: union, intersect és minus.
A 2. lecke gyakorló feladatai 3.feladat:Rajzoljuk fel a következő függvényeket különböző intervallumokon! a) x4 -2 ·x3 - 7 ·x2 + 8 ·x + 12 b) x3 + 5 ·x2 - 4 ·x - 20 4.feladat:Tekintsük az f=4·x4+4·x3-13·x2-7·x+8 polinomot! a) Határozzuk meg az f összes valós gyökét! b) Rajzoljuk fel f-et olyan intervallumban, ami az összes gyököt tartalmazza! Törekedjünk arra, hogy szép ábrát kapjunk! c) Határozzuk meg az f érintőjének egyenletét az x=1.2 pontban, és rajzoljuk fel ugyanarra az ábrára az f-et és az érintőt!
A 3. lecke Feladat:Készítsük el az f=(x5+8*x2-2*x-6)/(x5+1) függvény ábráját úgy, hogy az jól mutassa az f viselkedését! Kérdés: Mi jellemzi egy függvény „viselkedését”? Válasz: Zérushelyek Szélsőértékek Határértékek (véges és végtelen)
Mit tanultunk a Maple-ből (I.)? • Az fsolve eljárás megadja a függvények gyökeinek valós közelítését. Polinom esetében fsolve az összes gyököt; minden más esetben egy gyököt közelít. Az fsolve-nak opcióként megadható, hogy a gyököt milyen intervallumban keresse: fsolve(f,x,x=a..b). • A numer eljárás a paraméterként adott tört vagy törtfüggvény számlálóját adja. A nevező a denom eljárással állítható elő. • A realroot egyváltozós polinomok gyökeit izolál-ja. Outputja [[a1..b1],…[an..bn]] alakú, ahol az [ai..bi] intervallumok mindegyike egy-egy gyököt tartalmaz.
Mit tanultunk a Maple-ből (II.)? • A realroot egyéb könyvtári eljárás, amit a readlib(realroot) utasítással kell elérhetővé tenni. • Az f kifejezés i-dik deriváltját a diff(f,x$i) parancs közvetlenül előállítja. • A limit eljárás függvények végesben és végtelenben vett határértékeit határozza meg. Tehát limit(f,x=a) nem más, mint az f határértéke, miközben x tart az a-hoz. • A plot eljárásban harmadik paraméternek op-cióként megadhatjuk a függvényértékek ábrázolási tartományát. Tehát a plot szintaxisa: plot(f,x=a..b,y=c..d);
A 3. lecke gyakorló feladatai 5.feladat:Izoláljuk az alábbi polinomok gyökeit, és adjuk meg mindegyik intervallumra a gyököt! a) x3 -3 ·x2 - 1 b) x4 - x - 1 c) x3 -7 ·x2 - 2 ·x - 1 d) x4 + x2 - 1 6.feladat:Határozzuk meg az alábbi határértékeket! a) limit(sin(x)/x,x=0) b) limit(n/(3 · n2+1),n=infinity) c) limit((n2+1)/(2 · n+1)-(3 ·n2 + 1)/(6 ·n+2),n=infinity) 7.feladat:Vizsgáljuk meg az alábbi függvények szélső-érték helyeit és rajzoljuk fel egy ábrába az első és a második deriváltakat! a) f = x5- 5 ·x4 + 5 ·x3 + 7 b) f = sin(x) + x ·cos2(x)
