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Il metodo semiprobabilistico agli stati limite: il calcestruzzo armato

Il metodo semiprobabilistico agli stati limite: il calcestruzzo armato. IL METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI Il grado di sicurezza necessario per mantenere la struttura entro il campo elastico viene raggiunto ponendo dei limiti alle tensioni massime ( tensioni ammissibili ) fissati

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Il metodo semiprobabilistico agli stati limite: il calcestruzzo armato

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  1. Il metodo semiprobabilistico agli stati limite:il calcestruzzo armato

  2. IL METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI Il grado di sicurezza necessario per mantenere la struttura entro il campo elastico viene raggiunto ponendo dei limiti alle tensioni massime (tensioni ammissibili) fissati dalle normative, che possono verificarsi nell’elemento strutturale; queste tensioni vengono ottenute dividendo le tensioni di rottura σrper un coefficiente di sicurezza γ variabile da materiale a materiale: σ = σr / γ . Calcolate quindi le tensioni σ prodotte dalle azioni esterne sull’elemento strutturale, deve sempre risultare in ogni punto: σ< σ . _ _

  3. Questo procedimento, applicato da oltre 100 anni e ancora oggi applicato, è soggetto a numerose critiche, e precisamente: • i coefficienti di sicurezza γ sono sempre molto elevati, il che può far credere sempre di disporre di margini di sicurezza, maggiori di quelli effettivi; b) nella fase di calcolo il progettista assume grandezze in modo deterministico e non sempre aderenti alla realtà esecutiva, da cui dipende il comportamento della struttura in fase di esercizio, comportamento che costituisce quindi un fenomeno casuale, un fattore di incertezza non considerato; c) la verifica delle tensioni locali non sempre significa ottenere dimensioni ottimali di un elemento strutturale nei confronti della sicurezza a rottura; d) l’ipotesi del comportamento elastico di una struttura è valida per materiali quali l’acciaio, mentre è molto incerta per altri quali il calcestruzzo e inoltre non permette di considerare le risorse inelastiche dei materiali; e) non è possibile effettuare verifiche nei confronti di alcune eventualità, quali le fessurazioni, la corrosione o il comportamento al fuoco.

  4. Al contrario il metodo presenta alcuni importanti vantaggi: a) Possibilità di utilizzare il “principio della sovrapposizione degli effetti” potendo assumere come lineare il comportamento della struttura; b) Buona attendibilità delle sollecitazioni calcolate con tale metodo (almeno per azioni statiche); c) Buon comportamento mostrato dalle strutture progettate in passato col Metodo delle Tensioni Ammissibili.

  5. Il metodo semiprobabilistico agli stati limite Il metodo agli stati limite permette di progettare una struttura considerando tutte le condizioni del suo comportamento, eliminando, per quanto possibile, l’aspetto aleatorio nella misura delle grandezze utilizzando criteri probabilistici, ossia basati sul calcolo delle probabilità che un determinato evento possa verificarsi. La struttura viene pertanto progettata in modo da restare idonea, con accettabile probabilità e con un adeguato grado di sicurezza, all’utilizzo previsto, ossia per il suo normale uso, senza subire danni e dovrebbe sopportare eventi eccezionali, più gravosi di quelli normali, con adeguata capacità di resistenza senza giungere al crollo. Una struttura, o una sua parte, raggiunge uno “stato limite” quando non è più in grado di svolgere la sua funzione o non soddisfa più le condizioni per le quali è stata progettata, per cui viene considerata fuori servizio.

  6. Il termine semi-probabilistico sta ad indicare che le aleatorietà comunemente presenti nella definizione del modello strutturale e delle azioni vengono parzialmente tenute in conto attraverso l’utilizzo di valori di resistenza e ad azioni detti “caratteristici”, ossia corrispondenti a determinate probabilità di occorrenza, fissate sulla base della probabilità di rovina che si vuole ottenere. Gli stati limite possono essere: • stati limite ultimi: corrispondono al collasso della struttura o altre forme di cedimento strutturale che mettono in pericolo l’incolumità delle persone; possono derivare da: a) perdita di equilibrio della struttura, o di una sua parte, considerata come un corpo rigido; b) rottura localizzata della sezione dovuta ad azioni statiche o per fatica; c) instabilità per eccessiva deformazione; d) deformazione elastica o plastica non ammissibile; e) degrado o corrosione; f ) trasformazione della struttura, o di una sua parte, in un meccanismo labile;

  7. • stati limite di esercizio: sono quelli che precludono il normale utilizzo della struttura, oltre i quali la struttura stessa non possiede più il grado di sicurezza previsto; sono dovuti a: a) deformazioni eccessive; b) fessurazioni premature o eccessive; c) degrado o corrosione dei materiali; d) spostamenti eccessivi che però non determinano una perdita di equilibrio; e) vibrazioni eccessive. Oltre questi stati limite, ve ne sono altri legati a eventi eccezionali (uragani, esplosioni, incendi, urti ecc.), nei confronti dei quali non vengono generalmente effettuate verifiche salvo casi specifici, però la struttura deve essere progettata e realizzata in modo da evitare danni con gravità sproporzionata all’evento.

  8. Uno stato limite può essere raggiunto a causa di numerosi fattori aleatori che si combinano fra loro, dovuti a incertezze relative: – ai valori di resistenza dei materiali considerati nel calcolo, ossia differenza fra i valori effettivi e quelli assunti dal progettista; – alla geometria della struttura (per esempio limitate differenze fra la sezione prevista di un elemento e quella realizzata); – ai carichi permanenti e sovraccarichi che difficilmente vengono mantenuti per tutta la vita della struttura; – alla differenza fra le tensioni effettive e quelle calcolate. Le verifiche devono essere effettuate sia nei confronti degli stati limite ultimi, sia di quelli di esercizio. Per il calcolo le norme di riferimento attuali sono: - D.M. 14/09/2006, Testo Unico Costruzioni; - Eurocodice 2. - …

  9. Deve tenere in conto il carattere aleatorio delle grandezze in gioco: • METODO PROBABILISTICO (O SEMI-PROBABILISTICO) • Deve prevedere verifiche sia in condizioni di esercizio che nei riguardi del collasso: • VERIFICHE AGLI STATI LIMITE • Stati limite ultimi: nei riguardi del collasso; • Stati limite di esercizio: per assicurare funzionalità sotto carichi di esercizio.

  10. METODO SEMI-PROBABILISTICO O METODO DEI COEFFICIENTI PARZIALI • Si definiscono le combinazioni di carico di progetto sulla base dei valori caratteristici (reali) delle azioni (in dettaglio nel seguito): I coefficienti parziali variano a seconda del tipo di stato limite -s.l.u. o s.l.s.e del tipo di situazione, es: Situazione persistente: normale uso; Situazione transitoria: condizioni temporanee (esecuzione e riparazione); Situazione eccezionale: es. incendio, impatto, etc.; Situazione sismiche: (atipica rispetto alle precedenti).

  11. 2) Si calcolano le sollecitazioni di progetto Sd(sovente con calcolo lineare). 3) Si calcolano i valori di progetto delle resistenze dei materiali sulla base dei valori caratteristici: Il coefficiente parziale γm dipende dal tipo di materiale, ad esempio: Calcestruzzo: γc = 1.6 (di norma), Acciaio: γs = 1.15, 4) Si calcolano le resistenze di progetto (es. momento ultimo) Rd: • 5) Si svolge la verifica: • Rd > Sd , probabilità di raggiungere una situazione limite molto piccola; Rd = Sd, Stato limite; • Rd < Sd , probabilità di raggiungere una situazione limite elevata. • Probabilità di crisi (convenzionale) : 10-5÷10-6 (s.l. ultimi), 10-2÷10-3 (s.l. servizio)

  12. Combinazioni di carico (Azioni di calcolo) “Le azioni sulla costruzione devono essere cumulate in modo da determinare condizioni di carico tali da risultare più sfavorevoli ai fini delle singole verifiche, tenendo conto della probabilità ridotta di intervento simultaneo di tutte le azioni con i rispettivi valori più sfavorevoli“. Stati limite ultimi: Fd=γg Gk + γp Pk+γq ( Q1q+∑ψ0iQik ), Gk il valore caratteristico delle azioni permanenti; Pk il valore caratteristico della forza di precompressione; Q1kil valore caratteristico dell’azione di base di ogni combinazione; Qiki valori caratteristici delle azioni variabili tra loro indipendenti; γg= 1,4 (1,0 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γp= 0,9 (1,2 se il suo contributo diminuisce la sicurezza); γq= 1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza); ψ0i= coefficiente di combinazione allo stato limite ultimo (minori di 1).

  13. Stati limite di esercizio I coefficienti di combinazione dipendono dalla frequenza prevista per tale combinazione di carico. Combinazioni rare: Fd= Gk + Pk+( Q1q+∑ψ0iQik ), Combinazioni frequenti: Fd= Gk + Pk+ψ11Q1q+(∑ψ2i Qik ), Combinazioni quasi permanenti: Fd = Gk + Pk+( ∑ψ2iQik ), Azione ψ0 ψ1 ψ2 Carichi variabili per:abitazioni 0,7 0,5 0,2 uffici, negozi, scuole 0,7 0,6 0,3 Autorimesse 0,7 0,7 0,6 Vento, neve 0,7 0,2 0 γg= γp = γq= 1

  14. PROCEDIMENTO DI VERIFICA (flessione semplice) • Assegnati i Carichi caratteristici • Gk , Qk1 ,Qki • Calcolare • Combinazioni Carichi progetto Fd • Calcolo della struttura • Calcolo effetti delle azioni • Es. Mom. flettente Msd • Verifica della sezione • Msd≤Mrd Caratteristiche geometriche e Proprietà caratteristiche dei Materiali fck,fyk, εyk Proprietàdei Materiali di progetto fcd,fyd, εyd Calcolo Resistenze Es. Mom. Resistente di progetto Mrd

  15. DETERMINAZIONE DELLE SOLLECITAZIONI ULTIME (PER TENSIONI NORMALI) Comportamento del calcestruzzo compresso all’aumentare del livello tensionale IPOTESI ALLA BASE DELLA TEORIA DELLE SEZIONI IN C.A. (PRESSO) INFLESSE: 1) Sezioni rette restano piane dopo la deformazione; 2) Perfetta aderenza acciaio-calcestruzzo; 3) Trascurabile la resistenza a trazione del calcestruzzo; 4) Comportamento di calcestruzzo ed acciaio definito da assegnati legami costitutivi (non lineari); 5) Stati limite definiti da prefissati livelli di deformazione ultime per calcestruzzo (crisi lato cls) ed acciaio (crisi lato acciaio). Analoghe alle tensioni ammissibili Caratteristiche degli s.l.u.

  16. CONVERSIONE RESISTENZA SU PROVINI CUBICI IN RESISTENZA SU PROVINI CILINDRICI: fck= 0.83 Rck , CARICHI DI LUNGA DURATA: Un provino soggetto nel tempo ad uno carico assiale superiore all’85% del carico di rottura PERVIENE A ROTTURA in un tempo finito. • RESISTENZA DI PROGETTO PER IL CALCESTRUZZO: • fcd = 0.85 fck / γc = 0.85 0.83 Rck / γc = 0.44 Rck , (per γc = 1.6). • ESEMPIO: adottando un Rck = 30 N/mm2 si ha fcd = 13.2 N/mm2 . • Se la sezione è sollecitata a sforzo normale centrato, la normativa italiana prevede che • il coefficiente γcdebba essere maggiorato del 25%, ossia: γc = 1.6 · 1.25 = 2.

  17. DIAGRAMMI DI PROGETTO (DESIGN) Legge costitutiva del calcestruzzo

  18. Legge costitutiva dell’acciaio  SLU: gms = 1.15, SLE : gms = 1.0.  10%o fyd/Es

  19. Per una sezione in calcestruzzo armato l’importante è definire correttamente RISULTANTE e POSIZIONE DELLA RISULTANTE. deformazioni tensioni e risultanti A’s F’s λyc yc Fc Fs

  20. Verifica allo SLU Deve risultare: MSd≤ MRd(Nsd), Dove: MSd è il momento prodotto dai carichi di progetto (per la condizione di carico esaminata); MRd è il momento resistente ultimo della sezione in funzione dello sforzo normale agente NSd; La verifica della sezione coincide con il calcolo del suo momento ultimo MRd (capacità) in corrispondenza del collasso.

  21. SLU Il collasso di una sezione convenzionalmente è determinato dal raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo e/o nell’acciaio. Cioè, la deformazione di: Calcestruzzo compresso: Acciaio teso: εcu= 0.002, (compressione); εsl = 0.010. εcu= 0.0035, (flessione).

  22. c1 cu 3/7 h (2) (1) h (3) (4) (5) O sl sy b • Il diagramma definisce 5 campi di rottura: • Piccola eccentricità (Trazione); • Sezione debolmente armata; • Sezione normalmente armata; • Sezione fortemente armata; • Piccola eccentricità (Compressione).

  23. Campo 1: I possibili diagrammi di deformazione sono definiti dal fascio di rette uscenti dal punto O, corrispondente allo stato limite ultimo per trazione nell’acciaio con un allungamento unitario εs= 10‰; il calcestruzzo non fornisce alcun contributo alla resistenza della sezione che è totalmente tesa. L’asse neutro è esterno alla sezione, che risulta quindi soggetta a trazione semplice o con piccola eccentricità. La crisi della sezione avviene per il cedimento dell’acciaio teso. c1 cu 3/7 h (2) (1) h (3) (4) (5) O sl sy b

  24. Campo 2: I diagrammi di deformazione possibili sono definiti dal fascio di rette con origine in O. L’asse neutro è interno alla sezione, per cui la sezione è in parte tesa e in parte compressa e quindi è soggetta a flessione semplice o flessione composta (presso-flessione). La resistenza del calcestruzzo non è completamente sfruttata (salvo al limite per εcu= − 3,5‰), mentre l’acciaio viene completamente utilizzato e quando raggiunge il suo allungamento limite avviene la crisi della sezione (rottura di tipo “duttile”). c1 cu 3/7 h (2) (1) h (3) (4) (5) O sl sy b

  25. Campo 3: I diagrammi di deformazione possibili sono individuati dal fascio di rette uscenti dal punto O’. Questo campo è caratterizzato dalle possibilità di massimo accorciamento del calcestruzzo (εc= − 3,5‰) e di massimo allungamento dell’acciaio (εs = 10‰); si ha il massimo sfruttamento dei due materiali. L’asse neutro è interno alla sezione che è in parte tesa e in parte compressa ed è sollecitata a flessione semplice o composta. c1 O’ cu 3/7 h (2) (1) h (3) (4) (5) O sl sy b

  26. Campo 4: Il fascio di rette che individua i vari diagrammi ha origine in O’. L’asse neutro è interno alla sezione che risulta in parte compressa e in parte tesa, ed è soggetta a flessione semplice o composta. L’allungamento dell’acciaio è compreso fra εsy(tensione allo snervamento) ed εs= 0; la tensione dell’acciaio in zona tesa si mantiene, in situazione di rottura, inferiore al limite di snervamento, per cui l’acciaio risulta poco utilizzato, mentre il calcestruzzo arriva al suo massimo accorciamento (εcu= − 3,5‰), per cui la rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo (rottura fragile). c1 O’ cu 3/7 h (2) (1) h (3) (4) (5) O sl sy b

  27. Campo 5: Il fascio di rette ruota attorno al punto O” e l’asse neutro è esterno alla sezione, salvo il caso limite dove l’asse neutro coincide con il lembo inferiore della sezione. La sezione è compressa e l’armatura metallica è compressa e quindi subisce un accorciamento; la sezione è sollecitata a flessione composta. La rottura della sezione avviene per schiacciamento del calcestruzzo compresso quando viene raggiunto εcu= − 3,5‰ o quando è uniformemente compresso con deformazione c1=0.002.. c1 O’ cu (2) 3/7 h (1) O” h (3) (4) (5) O sl sy b

  28. I campi di interesse sono i campi 2 e 3. • In questa situazione si ha: • L’acciaio teso è sempre snervato (σs = fyd); • La sezione ha rottura duttile. A’s c1 cu 3/7 h (2) (1) h (3) (4) As (5) O sl sy b

  29. SEZIONE RETTANGOLARE LEGAME COSTITUTIVO F’s d’ A’s A’s Fc h ● G As d” Fs b deformazioni tensioni e risultanti • EQUILIBRIO: • Traslazione: Nsd = Fc + F’s - Fs = 0.8 b yc fcd + A’s σ’s - As fyd , • Rotazione attorno al baricentro G : • MRd (Nsd) = Fc(h/2 - 0,4 yc) + F’s(h/2 - d’) + Fs(h/2 - d”) ; • MRd (Nsd) = 0,8 b yc fcd (0,5h - 0,4 yc) + A’s σ’s (0,5h - d’) + As fyd (0,5h - d”) .

  30. CONGRUENZA: Ipotesi di sezione piana: date le deformazioni εc e εs la posizione dell’asse neutro risulta: .

  31. yc ε’s la deformazione nell’acciaio compresso ε’s risulta: E’ possibile così valutare la tensione nell’acciaio compresso σ’s : se ε’s < ε’sy allora σ’s = Esε’s , se ε’s ≥ ε’sy allora σ’s = fyd .

  32. Campo 2 c1 cu (2) 3/7 h (1) h (3) (4) (5) O sl sy b • Equazioni di equilibrio (funzioni di εc!): • Traslazione: Nsd = 0.8 b fcd + A’s E’s[ ]- As fyd , • Rotazione (G) : MRd (Nsd) = 0,8 b fcd (0,5h - 0,4 ) • + A’s E’s [ ](0,5h - d’) + As fyd (0,5h - d”) .

  33. 0.0035 Campo 3: 0.002 c1 O’ cu (2) 3/7 h (1) h L’acciaio compresso è sempre snervato essendo fyd/Es =εyd= 0.002. (3) (4) (5) O sl sy b • Equazioni di equilibrio (funzioni di εs!): • Traslazione: Nsd = Fc + F’s - Fs = 0.8 b fcd + A’s σ’s - As fyd , • Rotazione attorno al baricentro G : • MRd (Nsd) = Fc(h/2 - 0,4 yc) + F’s(h/2 - d’) + Fs(h/2 - d”) ; • MRd (Nsd) = 0,8b fcd(h/2 - 0,4 )+A’s σ’s(h/2 - d’) + As fyd(h/2 - d”) .

  34. Dominio di rottura Variando εc e εs , si possono ottenere diverse coppie: (Nsd, MRd(Nsd)) . Si possono diagrammare, eventualmente normalizzando: nsd = Nsd/ bdfd, mRd = MRd / bd2fd . _ _ mrd msd nsd

  35. Pressoflessione Retta: Determinazione del campo di rottura Il campo di rottura associato ad una determinata sezione dipende oltre che dalla quantità di armatura (come succede nella flessione semplice) anche dall’entità dello sforzo normale N. All’aumentare di N si passa da sezioni duttili a sezioni fragili fino a schiacciamento per compressione uniforme. Come per il caso di flessione, è utile poter determinare a priori il campo di rottura associato ad una determinata armatura e sforzo normale. A tale scopo è sufficiente determinare il valore di N che corrisponde alle linee di separazione tra i diversi campi di rottura e confrontare il valore di calcolo Nd con i vari N prima calcolati per individuare in quale intervallo ci si colloca.

  36. Campo 1: c1 cu (2) 3/7 h (1) h (3) (4) (5) O sl sy b

  37. Campo 2: c1 cu (2) 3/7 h (1) h (3) (4) (5) O sl sy b

  38. Campo 3: c1 O’ cu (2) 3/7 h (1) h (3) (4) (5) O sl sy b

  39. Campo 4: c1 cu 3/7 h (2) (1) h (3) (4) O (5) sl sy O’ b

  40. Campo 5: c1 cu 3/7 h (2) (1) O” h (3) (4) (5) O sl sy O’ b

  41. Per la verifica Si controlla che: MSd < MRd(Nsd); Cioè la coppia: (Nsd, MSd), deve essere interna al dominio di rottura. Se la coppia (Nsd, MSd), è esterna al dominio di rottura, la verifica non è soddisfatta. ● (nsd,msd)

  42. Determinazione del Momento Ultimo nel caso di flessione semplice • Per la determinazione del Momento Ultimo della sezione considerata occorre seguire in sequenza i seguenti due passi: • Determinazione della posizione dell’asse neutro • Determinazione del valore del Momento Ultimo • Vediamo di individuare una espressione del Momento Ultimo in relazione al • campo di rottura precedentemente determinato.

  43. Fs’ yc E’ un caso particolare, con NSd = 0; L’equazione di equilibrio alla rotazione fornisce un unico momento resistente MRd ; L equazione di congruenza rimane la stessa. Fc Fs Equazioni di equilibrio Alla traslazione: Alla rotazione attorno al punto di applicazione della risultante delle compressioni del calcestruzzo: MRd = A’sσ’s(0.4yc - d’) + fydAs(d - 0.4yc).

  44. Nella flessione, nel caso di sola armatura tesa(A’s = 0), le equazioni di equilibrio sono: * Alla traslazione * Alla rotazione MRd = Asfyd (d - 0.4yc). Dalla prima si ricava l’asse neutro: yc = (Asfyd/0.8bfcd ); sostituendo nella seconda, si ottiene il momento resistente: Asfyd MRd = Asfyd d (1 - ———) . 2 bd fcd

  45. Introducendo la percentuale meccanica di armatura ms: Asfyd μs = —— . bd fcd L’asse neutro risulta: yc=d (μs/ 0,8). Il momentoresistente è dato anche dalla:

  46. Per la congruenza, si ha: Quindi si può scrivere: cioè esiste un legame fra la percentuale meccanica di armatura e le deformazioni del calcestruzzo e dell’acciaio.

  47. Nel Campo 2: c1 cu 3/7 h (2) (1) h (3) (4) (5) ● ● ● sl sy b La percentuale meccanica di armatura ms varia fra: ms= 0, ms = 0.8 (0.0035/(0.0035+0.01) ) = 0.207, che è la percentuale meccanica di armatura msdi separazione fra sezioni debolmente e normalmente armate.

  48. Nel Campo 3: c1 cu 3/7 h (2) (1) h (3) (4) (5) ● ● ● sl sy b La percentuale meccanica di armatura ms varia fra: ms= 0.207, ms = 0.8 (0.0035/(0.0035+fyd/Es) ) ≈ 0.52, che è la percentuale meccanica di armatura ms bilanciata(cioè rottura del cls allo snervamento delle barre).

  49. Sezioni con percentuale meccanica di armatura ms: μs≥ μs,bilanciata, hanno un comportamento tipicamente fragile e sono non opportune. Le deformazioni sono funzionedella percentuale meccanica di armatura ms: Nelle sezioni debolmente armate: εc = 0.01μs /(0.8 - μs) ≤ 0.0035, Nelle sezioni normalmente armate:εs = 0.0035 (0.8 – μs)/ μs≤ 0.01 .

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