MATEMATIKA LOGIKA HIMPUNAN OPERASI HIMPUNAN RELASI FUNGSI BILANGAN KARDINAL HIMPUNAN ORDE PARSIAL DAN TOTAL ALJABAR PROPOSISI ALJABAR BOOLE
HIMPUNAN • HIMPUNAN • NOTASI HIMPUNAN • HIMPUNAN TERBATAS DAN TAK TERBATAS • KESAMAAN HIMPUNAN • HIMPUNAN BAGIAN • HIMPUNAN BAGIAN SEBENARNYA • KETERBANDINGAN • KELUARGA HIMPUNAN • HIMPUNAN SEMESTA • HIMPUNAN KUASA • HIMPUNAN SALING LEPAS • DIAGRAM VENN-EULER • DIAGRAM GARIS
HIMPUNAN (SETS) • Daftar, koleksi, atau kelas dari obyek-obyek • Obyek-obyek ini disebut anggota atau elemen dari himpunan • Obyek-obyek ini bisa berupa benda apasaja: • angka, huruf, orang, kota,sungai, dll
Contoh-contoh himpunan • A1 : Angka-angka 1,3 7 dan 10 • A2 : Jawab-jawab dari persamaan x2-3x-2=0 • A3 : Huruf-huruf hidup a, e, i, o, dan u • A4 : Orang-orang yang tinggal di bumi • A5 : Mahasiswa Angga, Bambang, dan Chandra • A6: Mahasiswa-mahasiswa yang tidak masuk kelas • A7: Negara-negara Malaysia, Pilipina, Brunei • A8 : Ibukota-ibukota di Asia • A9 : Angka-angka 2, 4, 6, 8, ….A10 : Sungai-sungai di Indonesia
Pada contoh-contoh nomor ganjil : • Setiap elemen himpunan disebutkan • Pada contoh-contoh nomor genap : • Elemen-elemen himpunan dinyatakan dengan sifat-sifatnya
NOTASI HIMPUNAN • Himpunan dinyatakan dengan huruf besar A, B, X, Y, …… • Anggota/Elemen himpunan dinyatakan dengan huruf kecil a,b, x, y,…..
NOTASI HIMPUNAN • Bila x adalah anggota himpunan A, ditulis : X A • Bila y bukan anggota himpunan B y B
Tabular Form : • A1={1,3,7,10} • Set builder Form : • A10 {x|x adalah sungai-sungai dan x ada di Indonesia}
HIMPUNAN TERBATAS DAN HIMPUNAN TAK TERBATAS • Suatu himpunan dikatakan terbatas bila elemen-elemennya dihitung, maka proses penghitungan ini akan berakhir • Contoh : • M={x|x adalah nama-nama hari} A terbatas • N={2,4,6,8 …..} N tak terbatas • P={x|xadalah sungai-sungai di duniaP terbatas
KESAMAAN HIMPUNAN • Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B bila : • Setiap elemen himpunan A adalah juga elemen himpunan B demikian juga sebaliknya • Contoh : • A={1,2,3,4} B={3,1,4,2} A=B • C{5,6,5,7} D={7,5,7,6} C=D • E={x|x2 –3x=-2} F={2,1} G={1,2,2,1}E=F=G
HIMPUNAN KOSONG(NULL SETS) • Suatu himpunan dikatakan kosong bila elemen-elemennya tidak ada (tidak punya anggota) • Contoh : • A={x|x =orang yang umurnya >200 thn} A = • B={x|x2=4 dan x ganjil} B =
HIMPUNAN BAGIAN(SUBSETS) • Bila setiap elemen dari himpunan A adalah juga elemen dari himpunan B, maka dikatakan • bahwa A adalah himpunan bagian dari B, ditulis A B Dapat dikatakan juga B berisi A, ditulis BA ( B superset dari A) • dipandang sebagai himpunan bagian dari setiap himpunan • Bila AB, maka paling sedikit ada satu elemen A yang bukan elemen B
HIMPUNAN BAGIAN SEBENARNYA • (PROPERSUBSETS) • Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari dirinya sendiri B B • Himpunan B dikatakan proper subset dari A bila B A dan BA
KESAMAAN HIMPUNAN • Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika : • AB dan BA
KELUARGA HIMPUNAN • (Family of sets= Set of sets) • Himpunan A disebut keluarga himpunan bila semuaanggotanya berupa himpunan • A={{2,3}, {2}, {5,6}} • B = {2,{1,3}, 4, {2,5}}Bbukan keluarga himpunan
HIMPUNAN SEMESTA • (Universal sets) • Semua himpunan yang sedang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan ynag lebih besar yang disebut sebagai himpunan semesta • Dalam studi mengenai populasi penduduk maka anggota himpunan semestanyaadalah semua orang didunia
HIMPUNAN KUASA • (Power sets) • Himpunan kuasa 2S adalah keluarga himpunan dari semua himpunan bagian dari himpunan S • M ={4,7,8} jumlah anggota n = 3 • 2M={{4}, {7},{8},{4,7},{4,8},{7,8},{4,7,8},} Jumlah anggota himpunan kuasa = 23=8
HIMPUNAN SALING LEPAS • (Disjoint sets) • Bila himpunan A dan B tidak mempunyai anggota yang sama dikatakan : A dan B adalah himpunan saling lepas • A={1,3,7,8} B ={2,4,7,9} • A dan B disjoint sets Jumlah anggota himpunan kuasa = 23=8
DIAGRAM VENN • (Venn-Euler Diagrams) • Cara yang sederhana untuk melihat hubungan antar himpunan adalah dengan diagram Venn A={a,b,c,d} B={c,d,e,f} a c b d e f A B
A dan B comparable B A A B B A A B
A dan B not comparable B B A A A dan B disjoint Adan B not disjoint
DIAGRAM GARIS • (lINE Diagrams) • Cara lain untuk melihat hubungan antar himpunan adalah dengan diagram garis • A B A B dan B C C B B A A
A={a} B={b} C={a,b} C B A • X={x} Y={x,y} Z={x,y,z} W={w,x,y} Z W Y X
CONTOH-CONTOH SOAL • Soal 1.1 • Diketahui himpunan-himpunan A, B, C D dan E A{r,s,t,u,v,w}B= {u,v,w,x,y,z} C={s,u,y,z} D={u,v} E={s,u} • Tentukan himpunan X yang sesuai bila • XAdan X B • XB dan XC • X A dan X C • X B dan XC • Soal 1.1 • Diketahui himpunan-himpunan A, B, C D dan E A={r,s,t,u,v,w}B= {u,v,w,x,y,z} C={s,u,y,z} D={u,v} E={s,u} • Tentukan himpunan X yang sesuai bila • XAdan X B • XB dan XC • X A dan X C • X B dan XC
A{r,s,t,u,v,w}B= {u,v,w,x,y,z} C={s,u,y,z} D={u,v} E={s,u} a) XAdan X B X= D
A{r,s,t,u,v,w}B= {u,v,w,x,y,z} C={s,u,y,z} D={u,v} E={s,u} b) XB dan XC X=C, E dan F
A{r,s,t,u,v,w}B= {u,v,w,x,y,z} C={s,u,y,z} D={u,v} E={s,u} c)X A dan X C X=B
A{r,s,t,u,v,w}B= {u,v,w,x,y,z} C={s,u,y,z} D={u,v} E={s,u} d)X B dan X C X=B dan D
Soal 1.2 • Diketahui himpunan-himpunan A, B, C D dan E A={1,2,3……,,8,9}B= {2,4,6,8} C={1,3,5,7,9} D={3,4,5} E={3,5} • Tentukan himpunan X yang sesuai bila • Xdan B saling lepas X=C dan E • X D dan X B X=D dan E • X A dan X C X=A, B dan D • X C dan XA tidak ada
Kuis 1 • Diketahui diagram garis dari A,B,C dan D A B C D • Buat diagram Venn-nya
A B C D B D A C
A B C D B D A C
Kuis 2 • Diketahui diagram Venn dari P,Q,R dan S Q R P S • Buat diagram garisnya
Q R Q P S P R S
Kuis 3 • Diketahui himpunan-himpunan A, B, C D dan E A={1,2,3……,,8,9}B= {2,4,6,8} C={1,3,5,7,9} D={3,4,5} E={3,5} • Buat diagram Venn dan diagram garisnya
A={1,2,3……,,8,9}B= {2,4,6,8} C={1,3,5,7,9} D={3,4,5} E={3,5} A B C A B D D C E E
