1. 1. Persamaandiferensialordepertama Persamaandiferensial linear PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR Dengan f(t) fungsiwaktu, dan x(0) diketahui Kalikandengan y(t) padakeduasisipersamaan :

2. Integralkankeduasisipersamaan: Untuk t = 0 , diperoleh y(0) = e0 = 1 Kita dapatmengintegralkanpersamaanantarabatasterendah (0) danbatastertinggi (t)

3. Subtitusi y(t) padapersamaandiatas, diperoleh: Soal: Sebuahrangkaian RC sepertipadagambar, hitungtegangandikapasitor, bila E = 100 Volt, dan v(0) =5 Volt

4. Penyelesaian : Menggunakanhukumkirchofftegangan : Bagikeduasisipersamaandengan 0,2 diperoleh: Penyelesaianpersamaandiferensial linear:

5. Jadinilaitegangandikapasitordiperoleh:

6. 1. Persamaandiferensialordetinggi Persamaandiferensial linear dengankoefisienkontandanordeke-n dapatdituliskandengannotasi operator : Persamaan linear homogendengankoefisoenakar –akar r : Akar-akar polynomial sebanyak n, makapenyelesaiannya :

7. untuksetiapakarriil yang berbeda, tetapkanfungsiert . • untuksetiapakarriilrangkapsebanyak p-rangkap, tetapkanfungsi-fungsiert ,tert , tp-1ert. • untuksetiappasanganakarkompleks yang berbedaa  jb, tetapkanfungsi-fungsieatcosbt, daneatsinbt. • untuksetiappasanganakarkompleksrangkapa  jb, sebanyak p-rangkap, tetapkanfungsi-fungsieatcosbt, eatsinbt, teatsinbt,…, tp--1eatcos bt, tp--1eatsin bt

8. Soal: 1. Tentukanpenyelesaianpersamaandiferensialhomogenberikut: Penyelesaian: Tentukan D(p) daripersamaandiatas, diperoleh : Nilaiakar-akarpersamaandiperoleh : r1 = -2 dan r2 = -3 + j4, r3 = -3 –j4 Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :

9. 1. Tentukanpenyelesaianpersamaandiferensialhomogenberikut: Tentukan D(p) daripersamaandiatas, diperoleh : r1 = -2 dan r2 = -2, r3 = -3 Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :

10. Integral Tertentu Persamaandiferensialmenggunakannotasi operator : yp(t) = integral tertentuuntukfungsi u(t): Jika input berupaforcing function : Turunan dari fungsi ini diperoleh dengan hanya mengalikan dengan s Maka integral tertentuuntukpersamaandiferensial linear dinyatakan: Sehingga :

11. Untukmasukan u(t) gelombangsinusoida, ketikanilai s berupabilangankompleks : Re adalahbagianriil /nyata Kita dapatmenggantifungsi sinus denganeksponensial Asstdengans =j Soal : Tentukany(t)

12. Penyelesaian : Menggunakan operator p, diperoleh : Padapersamaansistemdiketahui s = -3, makaganti p dengan -3, diperoleh: Sehinggadiperolehhasilkeluaran :

13. Complete Solution • Penyelesaiansecaralengkappersamaandiferensial linear merupakanjumlahpenyelesaianfungsikomplementer (yc(t)) dan particular integral (yp(t)) denganmemperhatikankondisiawalsistem.

14. Soal: Tentukanpenyelesaianpersamaandiferensialberikut: Kondisiawalsistem Tentukanpenyelesaianlengkapdaripersamaandiatas ! Penyelesaian: Nilaiakar-akarpersamaandiperoleh : r1 = -2 dan r2 = -3 + j4, r3 = -3 –j4 Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :

15. Sebelumnyatelahdiperolehpenyelesaian particular integral : Sehinggapenyelesaian y (t) : Denganmemperhatikankondisi-kondisiawal, diperoleh : (Persamaan 1) (Persamaan 2) (Persamaan 3) Subtitusiketigapersamaan (1,2, dan 3), diperoleh :

16. Jadipenyelesaianakhirpersamaan linear diferensialdiperoleh :

17. Solusipersamaandiferensial linear sistemwaktudiskret Persamaansistemdiskretdapatdinyatakan: Secarasederhanadapatdituliskanmenjadi:

18. Complementary solution : • untuksetiapakarriilsederhana, tetapkanfungsiyki = rik . • untuksetiapakarriilrangkapsebanyak m-rangkap, tetapkanbarisanbersuku m, = rik , irik. . ., im-1rik • untuksetiappasanganakarkompleksa  jb, tetapkanbarisan (a + jb)i dan(a - jb)ibarisaninibiasanyaditulisdalambentuk polar i cosidan i sini, dengan  = (a2+ b2 )½ dan tan  = tan-1 (b/a) • untuksetiappasanganakarkompleksrangkapa  jb, sebanyak m-rangkap, tetapkanbarisan i cosi , i sini; iicosi , iisini ; . . . ; im-1i cosi , im-1i sini

19. Examples:

20. Particular solution / Penyelesaiankhusus