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1.5 状态矢量的线性变换. 如前所述，一个 n 阶系统必有 n 个状态变量。然而，这 n 个状态变量的选择却不是唯一的，但它们之间存在着线性变换关系。. 1. 定义：状态 与 的变换，称为状态的线性变换． 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：. 1.5.1 状态空间表达式的非唯一性. 多 输入 多 输出 系统. 可见，满足上述条件的变换矩阵 T 有无穷多个，故状态变量不是唯一的。.
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1.5 状态矢量的线性变换 如前所述，一个n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的，但它们之间存在着线性变换关系。 1.定义：状态 与 的变换，称为状态的线性变换． 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：
1.5.1 状态空间表达式的非唯一性 多输入 多输出 系统 可见，满足上述条件的变换矩阵T有无穷多个，故状态变量不是唯一的。
1.系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。有关特征值的概念是从线性代数中提出的。 1.5.2 特征值的不变性与不变量 定义：
2 系统的不变量与特征值的不变性 不变量
例：求 的特征值，取变换阵 验证不变性 解：
例：求 的特征值和特征向量。 解：
1.5.3 状态空间变换为标准型 必存在一非奇异矩阵T，可以通过线性变换，使A阵化为标准形。 无重根 对角线标准型
有重根 约当标准型 当重特征根对应的独立向量的个数等于重数，A阵可化为对角线标准型。
1、A阵为任意形式 （1）无重根时 例1-10
[例]变换系统为对角线标准型。 [解]: 1)求其特征值: 2)确定变换矩阵T
对角线标准型为： 3）求
时有q个独立的实特征向量 互异实特征值对应的实特征向量 ， 满足： （2）A有q重实特征值 ，其余为n-q个互异实特征值 。求解 非奇异线性变换矩阵
[例]已知系统矩阵A，将其 变换为标准型。 [解]: 特征值1对应两个 独立的特征向量
[例]已知系统矩阵A，将其 变换为标准型。 [解]: 特征值4对应一个 独立的特征向量
仍可以化为对角阵！ 用上述方法运算例1-11
（3）A为任意形式的方阵，有q重实特征值 ，其余为n-q个互异实特征值 。求解 为广义实特征向量，满足： 时只有1个独立的实特征向量
互异实特征值对应的实特征向量 ， 满足： 非奇异线性变换矩阵 q阶 约当块 约当块（若干） 对角线元素
（二重根）时的特征矢量为： 时特征矢量： [例]：试将下列状态方程化为标准型： [解]：求特征值： 另一广义的特征矢量：
（1）有n个互异实特征值 ，其变换阵是一个范德蒙德矩阵 2、A阵为标准型（友矩阵） 范德蒙 矩阵 非奇异线性变换矩阵
[例]：已知系统矩阵A，将其 变换为对角线矩阵。 [解]:
3、系统的并联型实现 留数 1、互异极点 选取 状态变量 对角标准型1
对角标准型1 系统模拟结构图：
三、系统的并联型实现 留数 1、互异极点 选取 状态变量 对角标准型2
对角标准型2 系统模拟结构图：
例：求以下系统的对角标准型状态空间表达式。例：求以下系统的对角标准型状态空间表达式。 解： 注意符号 不变 对角标准型1
例：求以下系统的对角标准型状态空间表达式。例：求以下系统的对角标准型状态空间表达式。 解： 对角标准型2
2、n重极点 状态变量
例：求以下系统的约当标准型状态空间表达式。例：求以下系统的约当标准型状态空间表达式。 解：
约当块 对角块
1.6 由状态空间表达式求传递函数矩阵 一、定义及表达式 零初始条件下，输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏 变换之间的传递关系——传递函数矩阵。
例：已知系统的状态方程，求传递函数矩阵。 解： 传递函数 组成的矩阵！
例：机械位移系统 设系统原处于静止状态。 输入：F1,F2 输出：Y1,Y2 求传递矩阵。
解：写微分方程 设初始条件为零，取拉氏变换： 写成矩阵形式：
耦合关系 第 个输入与第 个输出之间的传递函数。 根据矩阵求逆公式：
唯一性 线性变换 同一系统，传递函数阵是唯一的！
二、各种连接时的传递函数矩阵 1、并联连接（书P46） 2、串联连接 3、反馈连接
作业 1-9（1）
