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Calcolo combinatorio . Una trattazione elementare. Definizione. Oggetto del calcolo combinatorio è quello di determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere raggruppati, secondo prefissate regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi.
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Calcolo combinatorio Una trattazione elementare
Definizione Oggetto del calcolo combinatorio è quello di determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere raggruppati, secondo prefissate regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi. Il problema, all’apparenza, sembra banale: ciò è vero se il numero degli elementi presi in considerazione è piccolo, ma quando questo numero è elevato si presentano delle difficoltà nel formare tutti i raggruppamenti possibili, con e senza considerare ripetizioni. Ci si può, per esempio, chiedere:
Esempi • In quanti modi diversi si possono scegliere tre libri da una libreria che ne contiene 12? • Quante parole di 5 lettere posso formare con un alfabeto formato da 21? • Nel menù di un ristorante si può scegliere tra cinque primi piatti, sei secondi e sette dessert: quanti tipi di pasti, con almeno una portata diversa, può somministrare il ristoratore?
Diapositiva sommario • Disposizioni semplici • Disposizioni con Ripetizione • Permutazioni semplici • Permutazioni con oggetti identici • Combinazioni Semplici • Combinazioni con Ripetizione
Premessa Calcolo Combinatorio • Consideriamo un insieme di n oggetti: G={a1,a2,a3,…an} con nÎÀ0, di natura qualunque ma perfettamente distinguibili l’uno dall’altro in base a qualche caratteristica, ad esempio palline di diverso colore; lettere dell’alfabeto; numeri diversi; ecc. . • Il “calcolo combinatorio” ha per scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti che, secondo un’assegnata definizione, si possono formare con una prefissata quantità degli n oggetti di G.
Disposizioni semplici Quante parole di 5 lettere posso formare con un alfabeto formato da 21 (senza ripetere mai la stessa lettera in ogni parola)? - Se cambia una lettera cambia la parola - Ordine diverso delle lettere -> parola diversa! D21,5 = D21,5 = 21*20*19*18*17*…….*6 = 2.441.880
Disposizioni con ripetizione Quante parole di 5 lettere posso formare con un alfabeto formato da 21 (ripetendo anche più volte la stessa lettera in ogni parola)? - Se cambia una lettera cambia la parola - Ordine diverso delle lettere -> parola diversa! - Stesse lettere ma con numero di ripetizioni diverse (es. aaabb e aabbb sono diverse) D21,5 = 215 D21,5 =21*21*21*21*21=4084101 ovviamente sono più del caso senza ripetizioni!
Esercizi • In quanti modi diversi 7 persone si possono sedere su 5 poltrone allineate di un cinema? con o senza ripetizioni??? [D(7,5)] • Quanti numeri di tre cifre, anche uguali tra loro, si possono costruire con i primi cinque numeri naturali? con o senza ripetizioni??? [D’(5,3)] • Quante colonne d diverse si possono compilare nel gioco del totocalcio? con o senza ripetizioni??? [D’(3,13)] • Se volessi giocare un sistema tenendo 4 fisse e 9 doppie, quante colonne verrebbero fuori?
RICAPITOLAZIONE! DISPOSIZIONI SEMPLICI 1) Senza ripetizioni; 2) Ordine diverso = raggruppamento diverso Dn,k= DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI 1) Con ripetizioni (sono presenti più volte gli stessi elementi) 2) Ordine diverso = raggruppamento diverso D1n,k=nk
PERMUTAZIONI SEMPLICI 1) Numero max di elementi (n) 2) differiscono solo per l’ordine: ordine diverso = raggruppamento diverso 3) TUTTI GLI ELEMENTI SONO DIVERSI TRA LORO Pn = n! PERMUTAZIONI CON ELEMENTI COINCIDENTI 1) Con ripetizioni (sono presenti più volte gli stessi elementi) 2) Ordine diverso = raggruppamento diverso
RICAPITOLAZIONE! COMBINAZIONI SEMPLICI 1) Senza ripetizioni; 2) Ordine diverso = stesso raggruppamento Dn,k== COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI 1) Con ripetizioni (sono presenti più volte gli stessi elementi) 2) Ordine diverso = raggruppamento diverso cioè
