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TEMA 5: problemas de redes y grafos

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Olivia
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TEMA 5: problemas de redes y grafos

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    1. 1 TEMA 5: problemas de redes y grafos

    2. 2

    3. 3 Ejemplos de redes En los casos en los que existe una magnitud fsica asociada, a los grafos se les refiere con el nombre de redes y ms especficamente con el nombre de redes de transporte. Flujo denotar la cantidad por unidad de tiempo que atraviesa un arco (vehculos por hora, viajes diarios, etc)

    4. 4 Ejemplos

    5. 5 Ejemplos

    6. 6 Ejemplos

    7. 7 Teora de redes y grafos Se define con el nombre grafo, denotado por G, al conjunto de elementos N = {1,2,,l} y al de pares de elementos de N, L ={1,2,,l} N se denomina nodos L se denomina arcos Los arcos se representan por las parejas de nodos que conectan:(i,j) o (j,i) , siendo i y j los dos nodos conectados.

    8. 8 Teora de redes y grafos En la figura se representa un grafo compuesto por 5 nodos y 6 arcos.

    9. 9 Teora de redes y grafos: definiciones Lazo: Arco que conecta un nodo consigo mismo, (i,i) Ejemplo: arco (3,3)

    10. 10 Teora de redes y grafos Matriz de incidencia: Matriz M = [mij], donde

    11. 11 Teora de redes y grafos Cadena: Una sucesin ordenada de arcos. un nodo de cada arco es el mismo que un nodo del arco precedente: (i,a1),(a1,a2),(a3,a2),,(j,ar)

    12. 12 Teora de redes y grafos Ciclo: Todo cadena que une un nodo consigo mismo.

    13. 13 Teora de redes y grafos Grafo conexo. Todo grafo en el que sus nodos se encuentran interconectadas por una cadena como mnimo.

    14. 14 Teora de redes y grafos Grafo parcial: De un grafo [N,L], es otro grafo [N,L] donde L es un subconjunto de L en este ejemplo se ha obtenido un grafo parcial de otro grafo borrando unos arcos.

    15. 15 Teora de redes y grafos Subgrafo: De un grafo [N,L], es otro grafo [N,L] donde N y L son un subconjuntos de N y L y donde L solo conecta nodos de N Un subgrafo se obtiene borrando nodos y arcos que los relacionan.

    16. 16 Teora de redes y grafos Grafo completo: Todo grafo en el que existe al menos un arco conectando dos nodos distintos cualesquiera:

    17. 17 Teora de redes y grafos Grafo bipartito: Todo grafo cuyo conjunto de nodos N puede ser particionando en dos subconjuntos, tales que:

    18. 18 Teora de redes y grafos rbol: Es un grafo parcial sin ciclos que contiene a todos los nodos del grafo original conectados por arcos.

    19. 19 Teora de redes y grafos Arco orientado: Todo arco (i,j) que se inicie en el nodo i y finalice en el nodo j: En nodo i se denomina origen y el nodo j destino.

    20. 20 Teora de redes y grafos Grafo orientado: Cualquier grafo en el que sus arcos sean arcos orientados, tal y como se ve en el siguiente figura:

    21. 21 Grafos Orientados

    22. 22 Grafos orientados Para grafos orientados, los siguientes conceptos y definiciones son de inters. Ruta: Toda sucesin de arcos orientados en el que el nodo inicial de cada arco es el mismo que el nodo terminal del arco precedente:

    23. 23 Grafos orientados Circuito: Ruta en la que el nodo inicial final coinciden:

    24. 24 Grafos orientados Si se prescinde de la orientacin de todos a algunos de los arcos, se podr definir una cadena o un ciclo.

    25. 25 Grafos orientados Cortadura: Dado un grafo conexo orientado, si se descompone el conjunto de nodos N en dos subconjuntos X y , tales que , al subconjunto de arcos tales que:

    26. 26 Grafos orientados, no orientados y mixtos En un grafo no orientado, los conceptos de ciclo y circuitos coinciden, tambin los de cadenas u rutas. En estudios de redes de transporte, los arcos no orientados pueden ser considerados como dos arcos orientados en sentido opuesto. Grafos mixtos son aquellos en los que existe arcos orientados y no orientados. Para estudiarlos hay que transformarlos en grafos orientados.

    27. 27 Arcos de entrada y salida Dado un nodo genrico j, el conjunto de arcos que tienen su destino en j se denomina arcos de entrada en j

    28. 28 Nodos de entrada y de salida Un nodo e se dice que es de entrada cuando no existen arcos con orgenes en el: In nodo s se dice que es de salida cuando no existen arcos con destinos en l:

    29. 29 Nodos origen y destino A(j) es el conjunto de nodos unidos al nodo j por arcos con destino en j: A de arrivals, o sea, A(j)=nodos que llegan al nodo j D(j) es el conjunto de nodos unidos al nodo j por arcos con origen en j: D de departures, o sea, D(j)=nodos que salen del nodo j

    30. 30 Matriz de incidencia La matriz de incidencia de un grafo orientado es la matriz A de dimensiones n*l donde n es el nmero de nodos del grafo y l el de arcos, cuyas columnas se representan por [aij] La columna [aij] es la correspondiente al arco que une el nodo i con el j y se tiene que: [aij]=ei-ej donde ei es in vector unitario definido en En, con un 1 en la posicin i-sima.

    31. 31 Resumen Grafo, conjunto de elementos N y al de pares de elementos de N, L (N = nodos, L = arcos) Grafos: Lazo, Matriz de incidencia, Cadena, Ciclo Grafo conexo, Grafo parcial, Subgrafo, Grafo completo, Grafo bipartito rbol, Arco orientado, Grafo orientado Grafos Orientados: Ruta, Circuito, Nodos conectados y accesibles, Cortadura Grafos orientados, no orientados y mixtos Arcos de entrada y salida Nodos de entrada y salida Matriz de incidencia

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