Tema 5 * 3º ESO

1. Tema 5 * 3º ESO Ecuaciones Apuntes de Matemáticas 3º ESO

2. Tema 5.4 * 3º ESO PROBLEMAS Ecuaciones lineales Apuntes de Matemáticas 3º ESO

3. Lenguaje en los problemas • TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE ALGEBRAICO A ECUACIÓN • “Hace cinco años tenía 20 años” • Si x es la edad actual: x – 5 = 20 • “Dentro de siete años tendré 34 años” • Si x es la edad actual: x + 7 = 34 • “Hace tres años tenía la mitad que ahora” • Si x es la edad actual: x – 3 = x / 2 • “Dentro de cinco años tendré el doble que hace tres años” • Si x es la edad actual: x + 5 = 2.( x – 3 ) Apuntes de Matemáticas 3º ESO

4. LENGUAJE ALGEBRAICO Y ECUACIONES • Observar bien el siguiente ejemplo. • Son cuatro frases muy semejantes que dan lugar a cuatro ecuaciones muy diferentes. Ojo con los detalles para resolver problemas de álgebra. • “El cuadrado de la mitad de un número, más cinco” • Si x es el número: (x / 2)2 + 5 • “El cuadrado de la mitad de la suma de un número más cinco” • Si x es el número: [(x + 5) / 2)2 • “La suma del cuadrado de la mitad de un número más cinco” • Si x es el número: (x / 2)2 + 5 • “La suma de la mitad del cuadrado de un número más cinco” • Si x es el número: [ x2 / 2 ] + 5 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

5. PROBLEMAS DE ALGEBRA • Para resolver un Problema hay que seguir los siguientes pasos: • 1.- COMPRENSIÓN.- • Leer detenidamente y entender el enunciado. • 2.- DESIGNAR.- • Designar una letra a la incógnita. • La incógnita no es siempre el dato que se pide, sino el dato desconocido que permita resolver el problema. • 3.- PLANTEAR.- • Una vez designada la incógnita, se traduce a lenguaje algebraico el enunciado, resultando una o varias ecuaciones. • 4.- RESOLUCIÓN.- • Se despeja la incógnita de la ecuación, se halla su valor y luego el valor de los datos pedidos. • 5.- COMPROBACIÓN.- • Se comprueba si la solución cumple condiciones del enunciado. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

6. PROBLEMAS RESUELTOS • EJEMPLO_1 • “Quiero saber la edad que tenía hace 3 años. Sé que hace cinco años tenía la tercera parte de la edad que tendré dentro de 7 años.” • 1.- COMPRENSIÓN.- Leo detenidamente el enunciado. • 2.- DESIGNAR.- Sea x = la edad actual que tengo, aunque no sea ese el dato que me piden. • 3.- PLANTEAR.- Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: • Hace 5 años tenía x – 5 • Dentro de 7 años tendré x +7 • Luego: (x – 5) = ( x + 7 ) / 3 • 4.- RESOLUCIÓN.- Despejo la x aplicando las reglas: • 3(x-5) = 3 [ (x+7) / 3]  3.x – 15 = x + 7  2.x = 22  x = 11 • Solución x – 3 = 11 – 3 = 8  Solución: Tenía 8 años. • 5.- COMPROBACIÓN.- • Si ahora tengo 11 años, hace cinco tenía 6 años, y dentro de 7 años tendré 18 años. Efectivamente 6 es la tercer parte de 18. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

7. EJEMPLO_2 • “Mi padre se pasó la cuarta parte de su vida en el colegio, la sexta parte buscando trabajo, la mitad de su vida trabajando y cuatro años jubilado. ¿Qué edad tenía cuando falleció?. • 1.- COMPRENSIÓN.- Leo detenidamente el enunciado. • 2.- DESIGNAR.- Sea x = años que tenía. • 3.-PLANTEAR.- Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: • x x x • ---- + ----- + ----- + 4 = x • 4 6 2 • Pues la suma de todos los periodos será los años totales vividos. • 4.- RESOLUCIÓN.- Primero hago el MCM, que es 12 • 3.x 2.x 6.x 48 12.x • ---- + ----- + ------- + ---- = --------- • 12 12 12 12 12 • 11.x + 48 = 12.x  48 = 12.x – 11.x  48 = x • Solución: Tenía 48 años. • 5.- COMPROBACIÓN.- Se debe cumplir que: • 48/4 + 48/6 + 48/2 + 4 = 48 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

8. EJEMPLO_3 • “Un rectángulo tiene de altura 4 cm más que de base. Sabiendo que su perímetro es de 40 cm, calcular las dimensiones del rectángulo. • 1.- COMPRENSIÓN.- Leo detenidamente el enunciado. • 2.- DESIGNAR.- Sea x = la medida de la base. • 3.-PLANTEAR.- Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: • La altura mide: h = x + 4 • El perímetro es: P = 2.x+2.h • 3.- RESOLUCIÓN.- Sustituyo h por x + 4 y P por 40 • 40 = 2.x + 2.(x + 4) • Opero convenientemente • 40 = 2.x + 2.x + 8  40 – 8 = 4.x  32 = 4.x  x = 32 / 4 = 8 • x=8 • Luego la altura vale h = x + 4 = 8 + 4 = 12 • h=12 • 4.- COMPROBACIÓN.- Se debe cumplir que: • 40 = 2.8 + 2.12  40 = 16+24 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

9. Cuento de álgebra • Blancanieves ordena a los 7 enanitos por altura, del más bajito al más alto, para repartir entre ellos 77 champiñones que han recogido. • Da unos cuantos al más bajito y uno más que el anterior a cada uno de los demás. • ¿Cuántos champiñones corresponde a cada enanito?. • Sea x los champiñones del más bajito. • Tenemos que la suma total es 77, luego: • x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)= 77x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6= 77 • 7.x+21 =77 • 7x = 77 – 21  7.x = 56  x = 56 / 7  x = 8 • Al más bajito le corresponden 8 champiñones. • A los demás les toca: • 9, 10, 11, 12, 13 y 14 champiñones. • Podemos comprobar la suma: 8+9+10+11+12+13+14 = 77 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

10. Acertijo ” – 3” • Piensa un número. • (Cada alumno pensará un número y lo anotará) • (El profesor adivinará todos los números que habéis pensado). • Súmale 6 unidades. • El resultado lo divides entre 2. • Al nuevo resultado le restas 5 unidades. • Al nuevo resultado lo multiplicas por 2. • Al nuevo resultado sumas 7 unidades. • ¿Qué te ha dado la última operación?. • (Cada alumno, por orden dirá lo que le ha dado al final) • Solución:¿A que el último resultado obtenido – 3 es el número que pensaste?. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

11. Acertijo ”+2” • Piensa un número. • (Cada alumno pensará un número y lo anotará) • (El profesor adivinará todos los números que habéis pensado). • Súmale 3 unidades. • El resultado lo elevas al cuadrado. • Al nuevo resultado le restas 9 unidades. • Al nuevo resultado le divides por el número que pensaste. • Al nuevo resultado le quitas 8 unidades. • ¿Qué te ha dado la última operación?. • (Cada alumno, por orden dirá lo que le ha dado al final) • Solución:¿A que el último resultado obtenido + 2 es el número que pensaste?. Apuntes de Matemáticas 3º ESO