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TEMA 9 * 3º ESO

TEMA 9 * 3º ESO. POLIEDROS. TEMA 9.2 * 3º ESO. ÁREAS DE POLIEDROS REGULARES. DESARROLLO DEL TETRAEDRO. ÁREA La suma de las áreas de sus cuatro caras. La altura en un triángulo equilátero es: h = a.√3 / 2 El área de cada cara: A= b.h / 2 Luego el área total es:

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TEMA 9 * 3º ESO

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Presentation Transcript

  1. TEMA 9 * 3º ESO POLIEDROS Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  2. TEMA 9.2 * 3º ESO ÁREAS DE POLIEDROS REGULARES Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  3. DESARROLLO DEL TETRAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus cuatro caras. La altura en un triángulo equilátero es: h = a.√3 / 2 El área de cada cara: A= b.h / 2 Luego el área total es: At = 4. a . (a.√3/2) / 2 = = 4. a2 .√3 / 4 At = a2 .√3 h a Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  4. Ejemplos • Ejemplo 1 • Hallar el área de un tetraedro de 4 cm de arista. • A=a2.√3 =42.√3 = 16.1,7320 = 27,71 cm2 • Ejemplo 2 • Hallar el área de un tetraedro cuya altura de una cara mide 4 cm. • Como h = a.√3 / 2  4 = a.√3 / 2  8 = a.√3 • Finalmente a = 8 / √3 = 8 / 1,7320 = 4,62 cm • A=a2.√3 = 4,622.√3 = 21,33.1,7320 = 36,95 cm2 • Ejemplo 3 • Hallar la arista de un tetraedro de 40 cm2 de área. • Acara = A / 4 = 40 / 4 = 10 cm2 ; Acara = a2.√3 / 4 • Operando: 10 = a2 .√3 / 4  a2 = 40 /√3  a = √23 = 4,81 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  5. DESARROLLO DEL EXAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus seis caras. El área de cada cara: A= l2 Luego el área total es: At = 6.l2 l Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  6. Ejemplos • Ejemplo 4 • Hallar el área de un exaedro de 4 cm de arista. • A=6.a2 =6.42 = 6.16 = 96 cm2 • Ejemplo 5 • Hallar el área de un exaedro cuya diagonal de una cara mide 4 cm. • Como d = a.√2 por el Teorema de Pitágoras • Despejando la arista: a = d / √2 = 4 / 1,4142 = 2,8284 cm • A=6.a2 = 6.2,82842 = 6.8 = 48 cm2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  7. Ejemplos • Ejemplo 6 • Hallar el área de un exaedro de 4 cm de diagonal. • Por el Teorema de Pitágoras: • d2 = a2 + a2 , en una cara. • Por el Teorema de Pitágoras: • D2 = d2 + a2 , en el cubo. • Luego: • D2 = a2 + a2 + a2 = 3.a2 • Despejando la arista: • a2 = D2 / 3 = 42 / 3 = 16 / 3 • De donde a = √(16/3) = 2,31 cm • A=6.a2 = 6.2,312 = 32 cm2 D a d Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  8. DESARROLLO DEL OCTAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus ocho caras. La altura en un triángulo equilátero es: h = a.√3 / 2 Luego el área total es: At = 8. a . (a.√3/2) / 2 = = 8. a2 .√3 / 4 At = 2.a2 .√3 h a Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  9. Ejemplos • Ejemplo 7 • Hallar el área de un octaedro de 4 cm de arista. • A=2.a2.√3 = 2.42 .1,7320 = 2.16.1,7320 = 55,424 cm2 • Ejemplo 8 • Hallar el área de un octaedro cuya altura de una cara mide 4 cm. • Como h = a.√3 / 2  4 = a.√3 / 2  8 = a.√3 • Finalmente a = 8 / √3 = 8 / 1,7320 = 4,62 cm • A=2.a2.√3 = 2.4,622.√3 = 2.21,33.1,7320 = 73,90 cm2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  10. ÁREA La suma de las áreas de sus doce caras. El área de cada cara: A= P.apo / 2 Luego el área total es: At = 12.5.a.apo / 2 At = 30.a.apo DESARROLLO DEL DODECAEDRO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  11. Ejemplos • Ejemplo 9 • Hallar el área de un dodecaedro de 4 cm de arista y 2,75 cm de apotema. • A=30.a.apo = 30.4.2,75 = 330,33 cm2 • Ejemplo 10 • Hallar el área de un dodecaedro cuya suma de sus aristas vale 80 cm y tiene 2,75 cm de apotema. • Como presenta 20 aristas, 20.a = 80 a = 80 / 20 = 4 cm • A=30.a.apo = 30.4.2,75 = 330,33 cm2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  12. ¿Dónde está la errata? • El área total de un pentaedro es 36 cm2. Hallar la suma de sus aristas, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 3 cm • El área de cada cara es: • 36 / 12 = 3 cm2 • Como el área del pentágono es: • A = 5. a.apo / 2 • Sustituyendo valores • 3 = 5.a.3 / 2 • De donde a = 6 / 15 = 2 / 5 = 0,4 cm • Como tiene 20 aristas, resulta: • 20.a = 20. 0,4 = 8 cm apo a Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  13. ÁREA La suma de las áreas de sus veinte caras. El área de cada cara: A= a.h / 2 , siendo h = a.√3 / 2 Luego el área total es: At = 20. a . (a.√3/2) / 2 = 20. a2 .√3 / 4  At = 5.a2 .√3 h DESARROLLO DEL ICOSAEDRO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  14. Ejemplos • Ejemplo 11 • Hallar el área de un icosaedro de 4 cm de arista. • A=5.a2.√3 = 5.42 .1,7320 = 5.16.1,7320 = 138,56 cm2 • Ejemplo 12 • Hallar el área de un icosaedro cuya altura de su cara es 4 cm. • Como h = a.√3 / 2  4 = a.√3 / 2  8 = a.√3 • Finalmente a = 8 / √3 = 8 / 1,7320 = 4,62 cm • A=5.a2.√3 = 5.4,622.√3 = 5.21,33.1,7320 = 184,75 cm2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

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