数据结构与算法 Data Structure Algorithms 烟台南山学院信息科技学院 数据结构与算法教学组

1. 数据结构与算法Data Structure Algorithms 烟台南山学院信息科技学院 数据结构与算法教学组

2. 6.4 树和森林 1. 树和森林与二叉树的转换 2. 树和森林的存储方式 3. 树和森林的遍历

3. 1. 树和森林与二叉树的转换 讨论1：树如何转为二叉树？ 转换步骤： step1: 将树中同一结点的兄弟相连; step2: 保留结点的最左孩子连线，删除其它孩子连线； step3: 将同一孩子的连线绕左孩子旋转45度角。 加线 抹线 旋转

4. 根结点肯定没有右孩子！ a a b b i c c d i d e e f h g g f h 树转二叉树举例： 方法：加线—抹线—旋转 兄弟相连 长兄为父 孩子靠左

5. a b c d i a e b i c f d e g h h g f 讨论2：二叉树怎样还原为树？ 要点：把所有右孩子变为兄弟！

6. 即F={T1, T2, …,Tm} B={root, LB, RB} 讨论3：森林如何转为二叉树？ 法一： ① 各森林先各自转为二叉树； ② 依次连到前一个二叉树的右子树上。 法二：森林直接变兄弟，再转为二叉树 （参见教材P138图6.17，两种方法都有转换示意图）

7. A B E C F G D H A A G G E E I B B H H C C D D I I F F J J J 森林转二叉树举例：（法二） A 兄弟相连 长兄为父 孩子靠左 头根为根

8. 即B={root, LB, RB} F={T1, T2, …,Tm} A A B B E E C F C G F G D H A G E D H I I B H C D I F J J J 讨论4：二叉树如何还原为森林？ 要点：把最右边的子树变为森林，其余右子树变为兄弟

9. parents data data parents 1 结点结构 2 3 n 树结构 2. 树和森林的存储方式 树有三种常用存储方式： ①双亲表示法 ②孩子表示法 ③孩子兄弟表示法 1、用双亲表示法来存储 思路：用一组连续空间来存储树的结点，同时在每个结点中附设一个指示器，指示其双亲结点在链表中的位置。

10. A B C G F D E H I 例1: 双亲表示法 -1 0 0 1 缺点：求结点的孩子时需要遍历整个结构。

11. 1 c a b e b 2 d c 3 a d 4 b c g e 5 h f d e f 6 g 7 h g f h 8 2、用孩子表示法来存储 思路：将每个结点的孩子排列起来，形成一个带表头（装父结点）的线性表（n个结点要设立n个链表）； 再将n个表头用数组存放起来，这样就形成一个混合结构。 例如：

12. firstchild data nextsibling 3、用孩子兄弟表示法来存储 思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个指针域含义不同。 左指针指向该结点的第一个孩子； 右指针指向该结点的下一个兄弟结点。 指向右兄弟 指向左孩子

13. a d a b c b c d e e h g f f g h 例如： 问：树转二叉树的“连线—抹线—旋转” 如何由计算机自动实现？ 答：用“左孩子右兄弟”表示法来存储即可。 存储的过程就是转换的过程！

14. A G E B H C D I F J 森林的遍历 • 先序遍历 • 若森林为空，返回； • 访问森林中第一棵树的根结点； • 先序遍历第一棵树中根结点的子树森林； • 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 • 中序遍历 • 若森林为空，返回； • 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林； • 访问第一棵树的根结点； • 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。

15. a c b g f e d 6.5 Huffman树及其应用 一、最优二叉树（霍夫曼树） 预备知识：若干术语 路 径： 路径长度： 树的路径长度： 带权路径长度： 树的带权路径长度： 霍 夫 曼 树： 由一结点到另一结点间的分支所构成 a→e的路径长度＝ 路径上的分支数目 2 从树根到每一结点的路径长度之和。 树长度＝ 10 结点到根的路径长度与结点上权的乘积 树中所有叶子结点的带权路径长度之和 带权路径长度最小的树。

16. Weighted Path Length n WPL = wklk k=1 7 2 c a 5 4 2 4 7 5 b c d d b a 2 4 5 7 (a) b c d a (b) (c) Huffman树简介： 树的带权路径长度如何计算？ 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。 经典之例： Huffman树 WPL= 35 WPL=36 WPL=46

17. 构造霍夫曼树的基本思想： 权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）： (1)由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2)重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： ① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之和。 ② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。 先举例！

18. 例1：设有4个字符d,i,a,n，出现的频度分别为7,5,2, 4，怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？ 法1：等长编码。例如用二进制编码来实现。 取 d=00，i=01，a=10，n=11 法2：不等长编码，例如用哈夫曼编码来实现。 取 d=0; i=10, a=110, n=111 最快的编码是哪个？ 是非等长的Huffman码！ 怎样实现Huffman编码？ 先要构造Huffman树！

19. 构造Huffman树的步骤： 操作要点1：对权值的合并、删除与替换 ——在权值集合{7,5,2,4}中，总是合并当前值最小的两个权 注：方框表示外结点（叶子，字符对应的权值）， 圆框表示内结点（合并后的权值）。

20. 0 1 d 0 1 i 1 0 a n 操作要点2：按左0右1对Huffman树的所有分支编号！ ——将 Huffman树 与 Huffman编码 挂钩 Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111 WPL=1bit×7＋2bit×5+3bit(2+4)=35 特点：每一码都不是另一码的前缀，绝不会错译! 称为前缀码

21. 例2（严题集6.26③）：假设用于通信的电文仅由8个字母 {a, b, c, d, e, f, g, h} 构成，它们在电文中出现的概率分别为{ 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10}，试为这8个字母设计哈夫曼编码。如果用0～7的二进制编码方案又如何？ 霍夫曼编码的基本思想是：概率大的字符用短码，概率小的用长码。由于霍夫曼树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最少。这种编码已广泛应用于网络通信中。 解：先将概率放大100倍，以方便构造哈夫曼树。权值集合 w={7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10}， 按哈夫曼树构造规则（合并、删除、替换），可得到哈夫曼树。

22. × × × × 100 × × × × 60 × × 32 × × 40 × × 19 21 g e b 2 3 7 10 a d h f c 为清晰起见，重新排序为:w={2, 3, 6, 7, 10, 19, 21, 32} w1={5, 6, 7, 10, 19, 21, 32} w2={7, 10, 11, 19, 21, 32} w3={11, 17, 19, 21, 32} w4={19, 21, 28, 32} 28 w5={28,32,40} w6={40,60} 17 11 w7={100} 6 5 哈夫曼树

23. 100 60 1 0 28 32 0 0 1 1 17 11 40 0 1 6 5 0 1 0 1 19 21 g e b 1 0 2 3 7 10 a d h f c 对应的哈夫曼编码（左0右1）： Huffman码的WPL＝2(0.19+0.32+0.21) + 4(0.07+0.06+0.10) +5(0.02+0.03) =1.44+0.92+0.25=2.61 WPL＝3(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+0.03)=3 二进制码

24. 另一种结果表示：

25. 字符 空格 a b c d e f g h i 频度 186 64 13 22 32 103 21 15 47 57 字符 j k l m n o p q r s 频度 1 5 32 20 57 63 15 1 48 51 字符 t u v w y z x 频度 80 23 8 18 1 16 1 例3（实验二方案3）：设字符集为26个英文字母，其出现频度如下表所示。 要求编程实现： 先建哈夫曼树，再利用此树对报文“This program is my favorite”进行编码和译码。 注：若圆满实现了此方案，平时成绩将以满分计。

26. 提示1：霍夫曼树中各结点的结构可以定义为如下5个分量：提示1：霍夫曼树中各结点的结构可以定义为如下5个分量： 提示2：霍夫曼树的存储结构可采用顺序存储结构： 将整个霍夫曼树的结点存储在一个数组中：HT[1..n]; 将结点的编码存储在HC[1..n]中。 提示3：霍夫曼树如何构造？构造好之后又如何求得各结点对应的霍夫曼编码？——算法参见教材P147。 参考资料 实验二补充材料中的方案二程序； 喻信星空FTP网站上的“数据结构”演示程序

27. 树 顺序结构 二叉链表 链式结构 二叉树 三叉链表 森林 先序遍历 中序遍历 后序遍历 先序线索树 中序线索树 后序线索树 霍夫曼树 二叉树小结 1、定义和性质 2、存储结构 3、遍历 4、线索化：线索树 霍夫曼编码

28. 附：中序遍历迭代算法(利用堆栈) void iter_inorder(tree_pointer node) { int top= -1; /* initialize stack */ tree_pointer stack[MAX_STACK_SIZE]; for (;;) { for (; node; node=node->left_child) add(&top, node);/* add to stack */ node= delete(&top); /* delete from stack */ if (!node) break; /* empty stack */ printf(“%D”, node->data); node = node->right_child; } } 时间复杂度O(n)

29. 附：层序遍历算法(利用队列) void level_order(tree_pointer ptr) /* level order tree traversal */ { int front = rear = 0; tree_pointer queue[MAX_QUEUE_SIZE]; if (!ptr) return; /* empty queue */ addq(front, &rear, ptr); for (;;) { ptr = deleteq(&front, rear); + * E * D / C A B