Energiebänder im Festkörper

Energiebänder im Festkörper

Inhalt Klassisch: • Energieniveaus eines freien Atoms Quantenmechanik: • Elektronen eines Metalls: quantenmechanische Gesamtheit • Das Bändermodell für • Isolator • Halbleiter • Leiter

Freies Atom • Energieniveaus eines freien Atoms nach dem Bohrschen Atommodell • Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms

Energie der Elektronen Abstand vom Kern mal 0,0529 [nm] M, n=3 L, n=2 Bindungsenergie K, n=1

Energieaufspaltung bei Annäherung von zwei Atomen M, n=3 L, n=2 K, n=1

Kristalline Festkörper Link zu einem Periodensystem mit Information zur Struktur:: http://www.chemicool.com/

Elektronen in kristallinen Materialien Die Elektronen der dicht gepackten Atome werden als ein einziger „gebundener Zustand“ aufgefasst • Anstelle der lokalisierten Elektronen treten stehende Wellen im „Kasten“ • Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten Kastenlänge • Anstelle der Energie der Elektronen in Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential

Wellenzahl und Energie • Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ? Folgt aus der Lösung der Schrödingergleichung für das „Kastenpotential“

W4=16 W3=9 W2=4 W1=1 Wellenfunktionen für k=1,2,3,4 Energie En Quantenzahl n Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons in einem Kasten für n=1,2,3,4. Die Farbstärke ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in Bereich der Abszisse anzutreffen Umrechnung der Einheiten des Modells auf atomare Größen: x = 4  0,17 nm, W = 1  13,6 eV

Das „Elektronengas“ Der Kristall bildet den „Kasten“, die Elektronen im Kristall werden als Wellen darin untergebracht

Eigenschaften der Elektronen im Kristall • Es gilt die de Broglie-Beziehung: Eine Welle mit Wellenzahl kentspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k • Elektronen sind „Fermionen“: Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden Daraus folgt das Bauprinzip: • Der Festkörper (zunächst: „lineare Kette“) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen • Man beginnt mit der Wellenzahl k1 = π/Lund ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu • Man erhöhe die Wellenzahl bis kN = N·π/L

Energie der Elektronen im freien He-Atom Energie W L Energie-niveau des freien Atoms K

Energie der Elektronen bei Annäherung von zwei Helium Atomen Energie W L 2-fach Aufspaltung durch Kopplung an die Elektronen des Nachbar-Atoms Energie-niveau des freien Atoms K

Energie der Elektronen im Helium Kristall aus vier Zellen Energie W L 4-fach Aufspaltung durch Kopplung an 4 Atome im Kristallgitter Energie-niveau des freien Atoms K

Elektronen Dichte Wellen im Helium Kristall aus vier Zellen Energie W L Wellenzahl n Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt 4 3 K 2 1

Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen: Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen Kristall aus He-Atomen Kristall aus Li-Atomen Besetzung mit Atomen Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen 5,6,7,8

Energie der Elektronen im freien Li-Atom Energie W L K

Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen 8 Band L ist mit N Zuständen halb besetzt Energie W 7 L 6 5 Wellenzahl n Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt 4 3 K 2 1

Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen „Energetisch optimiert“ 8 Band L ist mit N Zuständen halb besetzt Energie W 7 L 6 5 Wellenzahl n Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt 4 3 K 2 1

Freie Energieniveaus im Lithium Kristall aus vier Zellen 8 Band L ist mit N Zuständen halb besetzt Energie W 7 Diese Elektronen können Energie aufnehmen: metallische Leitung L 6 5 Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt 4 3 K 2 1

Bei vielen Zellen bilden die N (Anzahl der Zellen) Niveaus praktisch ein Kontinuum Energie W n=2 n=1

Zusammenfassung • In dicht gepackten Kristallen erscheinen die Valenzelektronen aufgrund ihrer dichten Packung als quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet • Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im „Kasten“ • Elektronen sind Fermionen: Jeder Zustand kann nur einmal vergeben werden • Ein „Band“ enthält 2 N Zustände, N ist die Anzahl der Elementarzellen im Kristall

finis Energie W n=2 n=1

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