MATEMÁTICAS A. CS II

1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema 10 * Integrales definidas Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

2. REGLA DE BARROW Tema 10.2 * 2º BCS Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

3. TEOREMA DE LA MEDIA • Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] , entonces existe un punto c perteneciente al intervalo (a , b) tal que: • b • ∫ f(x) dx = f(c). (b – a) • a • El valor f(x) se denomina altura media o valor medio de la función en el intervalo [a , b], y puede venir determinado por varios puntos. • Si f(x ) es integrable en [a,b], la función • t • F(t) = ∫ f(x) dx , con t perteneciente a [a,b] • 0 • Recibe el nombre de función integral a c b Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

4. TEOREMA DE LA MEDIA • EJEMPLO • Sea f(x) = (1/3).x + 4/3 una función continua en un intervalo [0’5 , 3`5] , entonces existe un punto c=2 perteneciente al intervalo (0’5 , 3’5) tal que: • 3,5 • ∫ f(x) dx = f(2). (3’5 – 0,5) • 0,5 • Hallamos f(2): • f(2)= (1/3).2 + 4/3 = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2 • El área que se origina entre f(x), x=0’5, x=3,5 y el eje de las x ( un trapecio rectángulo) es, según el Teorema de la Media: • A = f(2).(3,5 – 0,5) = 2.2 = 4 u2 • Al ser un trapecio lo podemos comprobar: • A=(B+b).h/2 = (2’5+1’5).2 / 2 = 2,5+1,5 = 4 f(x)=(1/3).x+4/3 0,5 2 3,5 x Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO • Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x)≥0, y F está definida en dicho intervalo de forma que mide el área sombreada; entonces la función F es derivable y verifica que F’(x) = f(x) para cualquier x de [a, b]. Y f(x) F(x) 0 a b X Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

6. TEOREMA FUNDAMENTAL • EJEMPLO • Sea f(x) = (1/3).x + 4/3 una función continua en un intervalo [0’5 , 3`5] , entonces existe una función y = F(x) que nos da en todo momento el área entre f(x) y el eje de abscisas, y tal que: • F(x) es derivable y cumple F’(x) = f(x) • F(x) será una primitiva de f(x) y tal que: • F(x)= ∫ f(x) dx = ∫ [(1/3).x + 4/3]dx = • = (1/3).∫ xdx + (4/3).∫ dx = • = (1/3).x2 / 2 + (4/3).x + C • F(x) es la llamada función integral. • F(x) = (1/6).x2 + (4/3).x f(x)=(1/3).x+4/3 y = F(x) 0,5 2 3,5 x Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

7. Regla de BARROW • Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y supongamos obtenida una primitiva y = F(x) de dicha función. El área que alberga y=f(x) con el eje de abscisas y las coordenadas x= a , x=b, es : • Área = F(b) - F(a) • Es decir: • b b • ∫ f(x) dx = F(b) - F(a) = [ F(x) ] • a a • EJEMPLO 1 • 5 3 4 5 4 4 • ∫ 4 .x dx = F(5) - F(2) = [ x ] = 5 - 2 = 625 – 16 = 609 u2. • 2 2 Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

8. Regla de BARROW • EJEMPLO 2 • ππ • ∫ cos x dx = F(π ) - F(0) = [ sen x ] = sen π – sen 0 = 1 – 0 = 1 u2. • 0 0 • EJEMPLO 3 • 2 x x 2 2 1 • ∫ e dx = F(2) - F(1) = [ e ] = e – e = 7,3890 – 2,7182 = 4,6708 u2. • 1 1 • EJEMPLO 4 • 55 • ∫ (1/x) dx = F(5) - F(2) = [ ln x ] = ln 5 – ln 1 = 1,6094 – 0 = 1,6094 u2. • 1 1 Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

9. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL D. • 1.- Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y a < c < b • Se cumple: • b c b • ∫ f(x) dx = ∫ f(x) + ∫ f(x) • a a c • 2.-Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a, b] • Se cumple: • b b b • ∫ [ f(x) + g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx • a a a • 3.- Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y ‘k’ un nº real. • Se cumple: • b b • ∫ k. f(x) dx = k . ∫ f(x) dx • a a Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

10. TEOREMA DE BOLZANO y • Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b] y es: • Continua en [a, b] • Toma valores de distinto signo en a y en b • Entonces: • Existe al menos un punto c del intervalo abierto (a,b) tal que f(c)=0 • El cumplimiento de este teorema es importantísimo, por ejemplo, para calcular áreas mediante integración de funciones que cumplen con las premisas del Teorema de Bolzano f(b) >0 y=f(x) f(c) =0 x a c b f(a) <0 Nota: Ya se utilizaba para factorizar funciones polinómicas ( que son siempre continuas en todo R ), por Rufinni, cuando alguna de las raíces no era entera. Matemáticas 2º Bachillerato C.S.