Análise Multiresolução em Detecção e Classificação de Sinais Transientes

1. Análise Multiresolução em Detecção e Classificação de Sinais Transientes Francisco M. Garcia Instituto de Sistemas e Robótica - Instituto Superior Técnico

2. Descrição do problema. Problema de detecção e classificação clássico; caso estacionário e não estacionário; decomposição de Karhunen-Loève. Esquema de processamento em tempo real. Transformada wavelet discreta; parametrização de filtros. Escolha das famílias de wavelets, componentes principais e intervalo de amostragem; redução da complexidade computacional mantendo a qualidade do processador, distância de Chernoff. Exemplo. Conclusões. Organização da apresentação

3. Caracterização do problema e objectivos • Sinais gaussianos de curta duração e passa-banda • Ruído gaussiano e ruído impulsivo • Ambiente multicaminho (acústica submarina) • Baixa relação sinal-ruído • Processadores em tempo real • Avaliação da complexidade computacional dos processadores • Avaliação de limites de desempenho

4. Ruído Sinal emitido por uma de entre várias fontes possíveis Sinal observado no receptor Canal + • Sinal determinístico ou estocástico • Canal conhecido ou desconhecido • Distribuição do ruído conhecida • Energia do sinal conhecida ou desconhecida

5. Classificador Bayesiano Dado um vector de observações X eum conjunto de hipóteses Hi , i=0,…,N-1, escolhe-se a hipótese Hk tal que P(Hk|X) > P(Hi|X), Caso de sinais gaussianos de média nula em ruído gaussiano: Hk > < Hi Em que depende apenas das probabilidades a-priori das hipóteses Hk e Hi e das respectivas matrizes de covâriancia. Para N hipóteses possíveis, existem combinações de testes para efectuar, embora seja apenas necessário efectuar N-1 cálculos quadráticos. De facto,

6. O processo X é em geral fortemente correlacionado e de elevada dimensão • A cada li0 pode-se aplicar uma transformação linear Mi (H0 ruído branco): • A transformação óptima no sentido de reduzir o número de coeficientes • é a decomposição de Karhunen-Loève • Os coeficientes obtidos pela DKL são incorrelacionados (matriz de • covariância diagonal) • Caso estacionário - a DKL é a série de Fourier • Caso não estacionário - DKL diferentes para cada classe de sinais diferentes

7. Td Ts Filtro Passa-baixo ideal Processo de observação Memória dim = Nd Decomposição linear Amostragem Redução de ordem Tt H1 < > H0 Rácio de verosimilhança Memória dim = Nc Decisão Limiar de comparação Teste de verosimilhança Diagrama de blocos do detector binário Nd - Comprimento dos vectores de decomposição Nc - Número de coeficientes de decomposição Ts - Intervalo de amostragem Td - Ritmo de decomposição Tt - Ritmo de execução dos testes de verosimilhança

8. 2 2 2 2 2 2 Decomposição wavelet discreta c1 c2 c0 H H H cJ G d1 G d2 G dJ H - Filtro passa-baixo G - Filtro passa-alto Propriedade de translação: seja TW[c0(n)] = [d1(n) d2(n) … dJ(n) cJ(n)]. Então, TW[c0(n-k2J) ] = [d1(n-k2(J-1)) d2(n-k2(J-2)) … dJ(n-k) cJ(n-k)]. Filtros equivalentes hjk e gjk cj(k) = <c0(n),hjk(n)> = <C0(W),Hjk(W)> dj(k) = <c0(n),gjk(n)> = <C0(W),Gjk(W)>

9. Desenho de filtros G e H de suporte compacto - H é Passa-baixo - G é Passa-alto - G e H são ortonormados HG*=0 - Condições de decomposição e reconstrução H*H + G*G = 1 - Outras restrições: regularidade, simetria, etc... => O desenho de filtros QMF com reconstrução perfeita (PR) para um determinado objectivo corresponde a um problema de minimização com restrições. Zou e Tewfik mostraram que todos os filtros de comprimento 2M são parametrizáveis por um conjunto livre de parâmetros qi, i=1,…,M-1.

10. Problema de optimização Objectivos: - Escolher o intervalo de amostragem, família de wavelets e no. de coeficientes de forma a reduzir ao máximo a complexidade computacional Restrições: - Garantir a qualidade do processador • Complexidade computacional reduzida se: • - Os Filtros de decomposição forem curtos • - O número de coeficientes fôr pequeno • - As matrizes de covariância forem esparsas • Qualidade do processador: • - Erro quadrático médio E[e2(t)]: Não é fiável • - Ideal: Probabilidade de erro (computacionalmente incomportável) • - Utilizada: Distância de Chernoff

11. Distância de Chernoff Válida para: - Matrizes definidas positivas - Processos decompostos na mesma base Permite obter limiares superior e inferior da probabilidade de erro:

12. Funcionais de optimização computacional da matriz de covariância i) Sejam E[(dij)2] os elementos da diagonal da matriz de covariância ii) Para uma determinada escala j: Seja Lij o instante médio do suporte de gij: em que

13. Algoritmo de optimização 1 - Encontrar Ts máximo (Tlim), tal que d(Cref,CTs) < e 2 - Para Ts < Tlim e para dim(G,H) = N0, calcular 3 - Com os parâmetros calculados em 2, calcular a matriz de coeficientes wavelets Cw equivalente a CTs 4 - Eliminar os termos menos importantes da diagonal de Cw, bem como os respectivos termos cruzados, enquanto d(Cref,Cw) < e 5 - Avaliar a complexidade computacional. se não fôr satisfatória, voltar a 2 e repetir para um valor diferente de dim(G,H).

14. Complexidade computacional Decomposição KL: - comprimento do sinal N - No. de vectores próprios P => (N+2)xP multiplicações no total (decomposição + forma quadrática) Transformada Wavelet: - Filtros G e H de comprimento L - Matriz com M elementos não nulos - Vector de coeficientes com K elementos - Decomposição entre as escalas J1 e J2 => Decomposição: multiplicações => Termo quadrático: M+K multiplicações Não é fácil optimizar os parâmetros directamente no número de multiplicações

15. Exemplo

21. Conclusões • Para sinais transientes, de curta duração, de banda larga, a transformada • wavelet traz vantagens computacionais comparativamente à • decomposição de Karhunen-Loève. • Os parâmetros do processador podem ser obtidos pela maximização • de funcionais que utilizam os termos da diagonal da matriz de • covariância • A escolha do intervalo de amostragem influencia fortemente a carga • computacional do processador. • A família de wavelets, de suporte compacto, pode ser escolhida numa • biblioteca de bases, ou optimizada através de uma parametrização • sem restrições. • A qualidade das aproximações efectuadas deve ser monitorizada. A • distância de Chernoff é a medida adequada em problemas de detecção.