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ENGENHARIA ECONÔMICA E ANÁLISE MULTICRITERIAL

ENGENHARIA ECONÔMICA E ANÁLISE MULTICRITERIAL. Francisco José Kliemann Neto, Dr. Departamento de Engenharia de Produção e Transportes - DEPROT Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS. JUROS E TAXA DE JUROS. Fatores de Produção: Fatores de Remuneração:

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ENGENHARIA ECONÔMICA E ANÁLISE MULTICRITERIAL

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Presentation Transcript

  1. ENGENHARIA ECONÔMICAE ANÁLISE MULTICRITERIAL Francisco José Kliemann Neto, Dr. Departamento de Engenharia de Produção e Transportes - DEPROT Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS

  2. JUROS E TAXA DE JUROS Fatores de Produção: Fatores de Remuneração: Trabalho Salário Terra Aluguel Capital Não considerar o efeito dos juros em uma análise pode levar o decisor a cometer erros representativos e a tomar decisões inadequadas! Juros

  3. JUROS E TAXA DE JUROS “Uma soma de dinheiro pode ser equivalente a outra, diferente, mas num ponto diferente no tempo. O que proporciona a equivalência é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro: os JUROS”. Enfim, o juro é quem cria o valor do dinheiro no tempo! O juro deve-se, entre outros fatores de menor importância, a: • Oportunidade; • Inflação; • Risco.

  4. JUROS E TAXA DE JUROS “Um real recebido hoje não será equivalente a um real recebido dentro de t anos” • Conceito de Juros: • Pagamento pela oportunidade de dispor de um capital em determinado período do tempo; • Custo do capital ou custo do dinheiro.

  5. JUROS E TAXA DE JUROS • Modalidades de Juros: • Simples:São aqueles onde somente o capital renderá juros, ou seja, os juros irão ser diretamente proporcionais ao capital requerido. onde: Principal Taxa de Juros Número de períodos de juros

  6. JUROS E TAXA DE JUROS Exemplo didático: Uma empresa toma emprestados $ 10.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% ao mês. Quanto ela deverá pagar ao final de 6 meses? J = 10.000 x 0,05 x 6 J = 3.000,00 A empresa deve pagar 13 mil reais pelo empréstimo feito, sendo que 3.000 serão somente referente aos juros do período do empréstimo.

  7. JUROS E TAXA DE JUROS • Modalidades de Juros: • Compostos:Irão incorporar ao capital os próprios rendimentos dos juros do período anterior. Desta forma, quando compostos, os juros também irão render juros (são os ‘juros sobre juros’). onde: Principal Taxa de Juros Número de períodos de juros

  8. JUROS E TAXA DE JUROS Exemplo didático anterior: Uma empresa toma emprestados $ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês. Quanto ela deverá pagar ao final de 6 meses? J = 10.000 x (1+0,05)6 – 10.000 J = 3.400,96 A empresa deve pagar 13.400,96 pelo empréstimo feito, sendo que 3.400,96 serão referentes aos juros do período do empréstimo.

  9. JUROS E TAXA DE JUROS Comportamento destes juros, quando solicitado um capital P = 100,00 reais, a uma taxa de juros i = 10% ao ano, por um período n = 10 anos:

  10. JUROS E TAXA DE JUROS • NOMINAL Ocorre quando o período referido na taxa de juros (aplicação) não é igual ao período de capitalização. Exemplo: 60% a.a. com capitalização mensal • EFETIVA Ocorre quando os períodos de capitalização coincidem com a taxa de juros. Exemplo: 5% a.m. A matemática financeira baseia-se em taxas de juros efetivas. Sendo assim, as taxas nominais devem ser convertidas em taxas efetivas!

  11. JUROS E TAXA DE JUROS • Conversão de taxas de juros de mesmo período de capitalização: Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva de mesmo período de capitalização, faz-se: onde: taxa de juros efetiva taxa de juros nominal número de períodos de composição da taxa de juros, isto é, número de vezes que a taxa nominal é capitalizada

  12. JUROS E TAXA DE JUROS • Conversão de taxas de juros de mesmo período de capitalização: Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva de mesmo período de capitalização, faz-se: Exemplo: 20% a.a. c.m  determinar taxa efetiva mensal 20% a.a. c.m = 1,67% a.m. c.m 12

  13. N JUROS E TAXA DE JUROS • Conversão de taxas de juros de mesmo período de aplicação: Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva de mesmo período de aplicação, faz-se: onde: taxa de juros efetiva taxa de juros nominal número de períodos de composição da taxa de juros, isto é, número de vezes que a taxa nominal é capitalizada

  14. N JUROS E TAXA DE JUROS • Conversão de taxas de juros de mesmo período de aplicação: Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva de mesmo período de aplicação, faz-se: Exemplo: 20% a.a. c.m  determinar taxa efetiva anual (1 + 20% a.a. c.m )12 – 1 = 21,94% a.a. c.a. 12

  15. JUROS E TAXA DE JUROS • Conversão de taxas de juros efetivas de períodos diferentes: Para converter taxas efetivas de períodos diferentes, faz-se: onde: taxa de juros efetiva do período maior taxa de juros efetiva do período menor quantidade de períodos menores (m) existentes no período maior (M)

  16. JUROS E TAXA DE JUROS • Conversão de taxas de juros efetivas de períodos diferentes: Para converter taxas efetivas de períodos diferentes, faz-se: Exemplo: 5% a.m.  determinar taxa efetiva trimestral (1 + 5% a.m.)3 – 1 = 15,76% a.t.

  17. JUROS E TAXA DE JUROS • TAXA DE JUROS COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA Partindo-se do princípio de que o dinheiro tem valor no tempo, pode-se dizer que a desvalorização da base monetária ocorre contínua e instantaneamente. Em outras palavras, o verdadeiro período de capitalização corresponde ao menor período de tempo possível: é a CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA.

  18. JUROS E TAXA DE JUROS • TAXA DE JUROS COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA Seja: r = taxa nominal N = Número de períodos i = taxa efetiva => i = r/N i* = (1 + i)N -1= (1 + r/N)N -1 = {(1 + 1/(N/r))N/r }r – 1 Fazendo-se K=N/r, tem-se então: i* = {(1 + 1/K)K)r - 1 Se a capitalização é contínua, então N => e K => . Mas: e = lim (1 + 1/K)K Logo: Se K =>  i* = er -1 i* = taxa efetiva com capitalização contínua

  19. JUROS E TAXA DE JUROS • TAXA DE JUROS COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA Então: i* = er -1 i* = taxa efetiva com capitalização contínua F = P x (1+i)N => F = P x erN P = F x (1+i)-N => P = F x e-rN

  20. JUROS E TAXA DE JUROS • TAXA DE JUROS COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA Joaquim aplicou $10.000,00 a uma taxa de juros de 20% ao ano, com capitalização contínua. • Qual é a taxa efetiva anual? • Qual será o montante que ele terá disponível daqui a 5 anos? i* = er -1a. F = P. erN P = F. e-rN b. i* = er -1 i* = e0,2 -1 = 0,2214 => i* = 22,14% a.a. F = P. erN F = 10.000 x e0,2 x 5 => F = $ 27.182,82

  21. 0 N P F 0 N A A A A A A 2 5 1 3 4 6 0 SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA P = Principal F = Montante A = Uniforme Período de Capitalização: valores serão somente realizados ao final do período

  22. 2000 1500 0 2 5 1 3 4 500 800 SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA Represente o seguinte fluxo de caixa de um projeto: O projeto consiste de um investimento de $800 hoje e $500 daqui a um ano e renderá $2000 em 4 anos e $1500 dentro de 5 anos.

  23. SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA • Equivalência entre P (valor presente) e F (valor futuro) • Investindo hoje uma quantia P, qual será o montante F que eu terei após n períodos? • Qual valor deverá ser investido hoje (P) para se obter um montante F após n períodos, dada uma taxa de juros i ?

  24. P = 6.000 12 0 F=? SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA Carlos solicitou um empréstimo de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês para saldar em um ano. Quanto ele deverá pagar ao final do ano de empréstimo? F = 6.000 (1+0,03)12 F = 8.556,00 reais

  25. SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA • Equivalência entre P (valor presente) e A (série uniforme) • Permite calcular um valor presente P equivalente a uma série uniforme A, dada a taxa de juros i.

  26. Valor do carro = P + 3.000 . . . . . . 1 36 0 A = 500 SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA Você recebeu uma oferta para aquisição de um automóvel através de um financiamento em 36 meses. Considerando que o pagamento máximo mensal que você pode admitir é de $500 e que você pode dar uma entrada de $3.000, qual é o valor do automóvel que você poderá comprar dado que a taxa é de 2% a.m..

  27. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS No pagamento de dívidas, cada parcela de pagamento (prestação) inclui: a. Amortização do principal, correspondente ao pagamento parcial (ou integral) do principal. b. Juros do período, calculados sobre o saldo devedor da dívida no início do período. PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS

  28. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS Tipos de sistemas de amortização de dívidas: 2.1 Financiamento com pagamento único no final 2.2 Financiamento com pagamento periódico de juros 2.3 Financiamento com pagamento de prestações iguais (método francês ou Tabela Price) 2.4 Financiamento com pagamento de amortizações constantes (SAC) 2.5 Métodos com pagamento antecipado de juros

  29. 1.000 1 2 3 4 F=? AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.1 Financiamento com pagamento único no final Neste tipo de financiamento o pagamento é feito ao final do período de empréstimo, incluindo a amortização e os juros. Ex: Empréstimo de R$ 1.000, a uma taxa de juros de 8% a.a., com um prazo de pagamento de 4 anos. F = P x (1 + i)n F = 1.000 x (1 + 0,08)4 F = 1.360,49 Prestação = 1.360,49 Amortização = 1.000 Juros = 360,49

  30. 1.000 1 2 3 4 F=? AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.1 Financiamento com pagamento único no final

  31. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.2 Financiamento com pagamento periódico de juros O financiamento será pago da seguinte maneira: a. Ao final de cada período pagam-se apenas os juros daquele período; b. No final do prazo de financiamento, além dos juros relativos ao último período, paga-se também integralmente o principal da dívida.

  32. P =1.000 1 2 3 4 A = 80 1.000 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.2 Financiamento com pagamento periódico de juros Ex: Empréstimo de R$ 1.000, a uma taxa de juros de 8% a.a., com um prazo de pagamento de 4 anos. Juros = P x i Juros = 1.000 x 0,08 Juros = 80,00

  33. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.2 Financiamento com pagamento periódico de juros

  34. Prestação Juros Amortização ... 0 1 2 N TEMPO AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.3 Financiamento com pagamento de prestações iguais (método francês ou Tabela Price) O financiamento será pago em prestações iguais, cada uma delas subdividida em duas parcelas: a. Juros do período, calculados sobre o débito no início do período. b. Amortização do principal, obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do período.

  35. Prestação Juros Amortização ... 0 1 2 N TEMPO AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.3 Financiamento com pagamento de prestações iguais (método francês ou Tabela Price) AMORTIZAÇÃO EM UM PERÍODO ‘t’ GENÉRICO (AMORTt): AMORTt =AMORTt-1 x ( 1 + i) AMORTt = AMORT1 x (1 + i)t-1 JUROS EM UM PERÍODO ‘t’ GENÉRICO (JUROSt): JUROSt = PRESTAÇÃO - AMORTt

  36. P = 1.000 1 2 3 4 A = ? AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.3 Financiamento com pagamento de prestações iguais (método francês ou Tabela Price) Exemplo: Principal = R$ 1.000,00 Taxa de juros = 8% ao ano Prazo: 4 anos Tipo de financiamento: pagamento de prestações iguais

  37. P = 1.000 1 2 3 4 A = ? AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.3 Financiamento com pagamento de prestações iguais (método francês ou Tabela Price) A = P (A/P; 8%; 4) A = função “PGTO” excel A = 301,92

  38. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.3 Financiamento com pagamento de prestações iguais (método francês ou Tabela Price)

  39. Prestação Juros Amortização ... TEMPO 0 1 2 N AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.4 Financiamento com pagamento de amortizações constantes (SAC) O financiamento será pago em prestações uniformemente decrescentes, cada uma das quais subdividida em duas parcelas: a. Juros do período, calculados sobre o débito no início do período. b. Amortização do principal, calculada pela divisão do principal pelo número total de amortização.

  40. Prestação Juros Amortização ... TEMPO 0 1 2 N AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.4 Financiamento com pagamento de amortizações constantes (SAC) JUROS EM UM PERÍODO ‘t’ GENÉRICO (JUROSt): JUROSt = (P/N) x i x (N + 1 - t) PRESTAÇÃO EM UM PERÍODO ‘t’ GENÉRICO (PRESTt): PRESTt = (P/N) x (1 + i (N + 1 - t))

  41. P = 1.000 1 2 3 4 Amortização Prestação AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.4 Financiamento com pagamento de amortizações constantes (SAC) Exemplo: Principal = R$ 1.000,00 Taxa de juros = 8% ao ano Prazo: 4 anos Tipo de financiamento: pagamento de prestações iguais

  42. P = 1.000 1 2 3 4 Amortização Prestação AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.4 Financiamento com pagamento de amortizações constantes (SAC) Amortização = P N Amortização = 1.000 4 Amortização = 250,00

  43. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.4 Financiamento com pagamento de amortizações constantes (SAC)

  44. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.5 Métodos com pagamento antecipado de juros Nesse métodos, os juros são descontados do valor total emprestado no momento da liberação do empréstimo. 2.5.1. Financiamento com pagamento de prestações iguais e juros antecipados 2.5.2. Financiamento com pagamento único no final e juros antecipados

  45. EMPRÉSTIMO 0 1 2 ... N JUROS A = (EMPRÉSTIMO / N) AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.5 Métodos com pagamento antecipado de juros 2.5.1. Financiamento com pagamento de prestações iguais e juros antecipados

  46. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.5 Métodos com pagamento antecipado de juros 2.5.1. Financiamento com pagamento de prestações iguais e juros antecipados a. Cálculo dos juros r* = taxa de juros “nominal” declarada pelo agente financiador Juros1 = EMP x r* Juros2 = EMP x r* (N - 1)/N Juros3 = EMP x r* .(N -2)/N JurosN = EMP x r*.(1/N) JUROS TOTAIS = EMP . r* . (N+1)/2

  47. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.5 Métodos com pagamento antecipado de juros 2.5.1. Financiamento com pagamento de prestações iguais e juros antecipados b. Empréstimo (EMP) c. Prestação PRESTAÇÃO = EMP / N Valor Liberado = Emp - Juros Valor Liberado = Emp - Emp . r* . (N + 1)/2 VALOR LIBERADO = EMP . (1 - r*. (N + 1)/2)

  48. EMPRÉSTIMO 0 1 2 ... N PRESTAÇÃO AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 2.5 Métodos com pagamento antecipado de juros 2.5.1. Financiamento com pagamento de prestações iguais e juros antecipados d. Taxa de juros real do empréstimo (i) VALOR LIBERADO = PRESTAÇÃO x (P/A; i%; N) (P/A; i%; N) = VALOR LIBERADO => i% PRESTAÇÃO

  49. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS Exemplo: Empréstimo solicitado = $ 50.000,00 Valor liberado = $ 50.000,00 Taxa de juros declarada pelo agente financiador (r*) = 12,9% a.m. Prazo (N) = 3 meses 2.5 Métodos com pagamento antecipado de juros 2.5.1. Financiamento com pagamento de prestações iguais e juros antecipados

  50. AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS Solução: 2.5 Métodos com pagamento antecipado de juros 2.5.1. Financiamento com pagamento de prestações iguais e juros antecipados • EMPRÉSTIMO: Valor liberado = EMP .(1- r*. (N + 1)/2) 50.000,00 = EMP . (1 - 0,129 . (3 + 1)/2 EMP = 50.000,00 / 0,742 EMP = 67.385,44

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