Levezetési szabályok kvantorokra -bevezetés (egzisztenciális általánosítás, EG)

1. Levezetési szabályok kvantorokra -bevezetés (egzisztenciális általánosítás, EG) -kiküszöbölés (univerzális megjelenítés, UI) -kiküszöbölés (EI): ha tudjuk, hogy vannak A-k, nevezzük el egyiket c-nek. -bevezetés (UG): ha be akarjuk bizonyítani, hogy minden objektum A, vegyünk egy tetszőleges c objektumot, és bizonyítsuk be róla, hogy A. általában nem jár új névkonstanssal és nem jelent problémát

2. Hogyan verheti át egymást EI és UG? (1) Minden fiú táncolt egy lánnyal. (2) Van olyan lány, akivel minden fiú táncolt. (2)-ből nyilván következik (1), és le is tudjuk vezetni. Legyen c egy olyan lány, akivel minden fiú táncolt. (2) szerint kell, hogy legyen ilyen. (3) Minden fiú táncolt c-vel . EI (2)-ből. Akkor legyen d egy tetszőleges fiú. (4) d táncolt c-vel. UI (3)-ból. (5) Van olyan lány, akivel d táncolt. EG (4)-ből. Mivel d tetszőleges fiú volt, (5)-ből UG-vel következik (1).

3. De ha nem vigyázunk, (1)-ből is le tudjuk vezetni (2)-t, pedig nyilván nem következik. Legyen d egy tetszőleges fiú. (6) Van olyan lány, akivel d táncolt. UI (1)-ből. Nevezzünk el egy ilyen lányt c-nek. (7) dtáncolt c-vel. EI (6)-ból. Mivel d tetszőleges fiú volt: (8) Minden fiú táncolt c-vel. UG (7)-ből. (8)-ból EG-val következik (2). Itt a hiba! Ez nem lehet!

4. A hiba nyilván az, hogy c-t d-től függően kellett választanunk. Nem igaz, hogy van d-től függetlenül olyan c, akire(7) igaz. Ezért (7)-ből csak valami ilyesmi következik: Minden d fiúhoz van olyan c(d) lány, akivel táncolt. Ez csak alkalmi jelölés! Amiből nem következik (2). Hogyan formalizáljuk UG-t? xP(x)-et akarjuk bizonyítani. Legyen c egy tetszőleges objektum, és kezdjünk bele egy részbizonyításba. Ha minden jól megy, a részbizonyításP(c)-vel végződik. Ebből a részbizonyításból következtethetünkxP(x)-re UG-vel, feltéve, hogy P-ben nem fordul elő olyan konstans, amelyet a részbizonyításon belül EI-vel vezettünk be.

5. Fitch-ben az EI-vel és az UG-vel kapcsolatos konstansokat bedobozoljuk részbizonyításokba. Dobozba zárt konstansok: kb. ennyit jelent: „c egy tetszőleges objektum az univerzumból”. A diákon a következőkben c-t írok a doboz helyett. c P(c): c egy tetszőleges objektum, amely P (röviden: egy tetszőleges P). Bedobozolt konstansok nem fordulhatnak elő azon a részbizonyításon kívül, amelyben bevezettük őket. -bevezetés -1. (UG) Kezdjünk el egy részbizonyítást egy c bedobozolt konstanssal (új premisszák nélkül). Ha ez P(c)-vel végződik , folytathatjuk a fő bizonyítást “xP(x)” -szel. c

6. -bevezetés-2. (General conditional proof) Részbizonyítást kezdünk a c bedobozolt konstanssal és a P(c) premisszával. Ha ez Q(c)-re végződik, folytathatjuk a fő bizonyítást“x(P(x)  Q(x))”-szel. A kettőből bármelyik elég önmagában. -kiküszöbölés (EI) Ha van egy“xP(x)”premisszánk, kezdjünk egy részbizonyítást a c bedobozlt konstanssal és a P(c) premisszával. Ha ez Q-ra végződik, folytathatjuk a fő bizonyítást Q-val EG és UI formalizálása: nyilvánvaló. Gyakorlások: Universal 1, Universal 2, Existential 1. Hf: 13.17 (.prf is!), 13.18 – ezzel nincs mit csinálni!