Download
4 solusi persamaan non linier n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
4. Solusi Persamaan Non Linier PowerPoint Presentation
Download Presentation
4. Solusi Persamaan Non Linier

4. Solusi Persamaan Non Linier

346 Vues Download Presentation
Télécharger la présentation

4. Solusi Persamaan Non Linier

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. 4. Solusi Persamaan Non Linier Metode Tertutup & Metode Terbuka

  2. Rumusan Masalah • Mencari solusi persamaan nonlinier • Menemukan akar-akar persamaan : f(x) = 0

  3. Metode Pencarian Akar • Metode Tertutup • Diberikan selang yang sudah diketahui memiliki akar • Iterasi yang dilakukan dalam selang ini dipastikan konvergen menuju akar • Metode Terbuka • Diperlukan tebakkan awal akar untuk memulai iterasi pencarian akar • Hasil suatu hampiran akar akan digunakan untuk mencari hampiran selanjutnya • Tebakkan awal akar yang tidak baik dapat menyebabkan iterasinya divergen

  4. Metode Tertutup (Brackecting Methode) • Strategi yang dipakai adalah : mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga dengan selang yang menyempit akan mendekatkan pada akar sejati.

  5. Syarat Cukup Keberadaan Akar

  6. Syarat Cukup Keberadaan Akar (Cont.) • Jika f(a)*f(b)< 0 dan f(x) kontinu dalam selang [a,b], maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan f(x) = 0 di dalam selang [a,b] • Yang termasuk dalam metode tertutup : • Metode Bisection (Bagi Dua) • Metode Regula False

  7. Konsep Metode Bisection • Membagi dua sama besar suatu selang yang diketahui mengandung akar • Memilih salah satu selang yang mengandung akar • Mengulangi dua hal di atas sampai lebar selang mencapai batas tertentu

  8. Prosedur Metode Bisection

  9. Kasus yang mungkin • Jumlah akar lebih dari satu • Hanya satu akar saja yang dapat ditemukan • Akar Kembar • Metode ini tidak bisa menemukan akar ganda • Singularitas • Titik singular, titik yang nilai fungsinya tidak terdefinisi • Menyebabkan iterasi yang tidak bisa berhenti • Cara memeriksa jika |f(a) – f(b)| menuju ke nol, berarti mendekati nilai sejati.

  10. Teorema : Jika f(x) kontinu di dalam selang [a,b] dengan f(a)f(b)<0 dan s elemen [a,b] sehingga f(s) = 0 dan cr = (ar+br)/2, maka selalu berlaku : • | s - cr | < | br – ar | /2 dan • | s – cr | < | b – a | / 2r+1 , r = 0, 1, 2, …

  11. Contoh Kasus • Hitunglah akar f(x) = ex-5x2 dalam selang [0,1] dan ε = 0.00001

  12. Contoh Kasus • Hitunglah akar f(x) = x2-2x+1 dalam selang [0,1] dan ε = 0.00001

  13. Contoh Kasus • Hitunglah akar f(x) = x3-4x2-10 dalam selang [1,2] dan ε = 0.00001

  14. Metode Regula False • Mempercepat konvergensi dengan melibatkan nilai f(a) dan nilai f(b) • Dibuat garis lurus yang menghubungkan titik-titik (a,f(a)) dengan (b, f(b)). • Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x menghasilkan hampiran akar.

  15. Gradien AB = gradien BC 

  16. akar a0 = a1 c0 = b1 b0 c1

  17. Prosedur Metode Regula False

  18. Contoh Kasus • Hitunglah akar f(x) = ex-5x2 dalam selang [0,1] dan ε = 0.00001

  19. Metode Terbuka • Metode Iterasi Titik Tetap • Metode Newton • Metode Secant

  20. Metode Iterasi Titik Tetap • Bentuk persamaan x = g(x) dari persamaan f(x) = 0. • Buat prosedur iterasi xr+1 = g(xr) • Berilah suatu nilai tebakan akar • Hitung hampiran akar per iterasi • Mendapatkan akar sejati s, jika f(s) = 0 atau s = g(s). • Kondisi berhenti |xr+1 – xr| < ε atau |(xr+1 – xr)/xr+1| < δ dengan ε dan δ sudah ditetapkan nilainya

  21. Prosedur Iterasi Titik Tetap

  22. Contoh Kasus • Hitung akar f(x) = x2 -2x -3 dengan epsilon 0.000001

  23. Hitung akar f(x) = ex-5x2 dengan epsilon 0.00001

  24. Kriteria Konvergensi • Teorema : Misalkan g(x) dan g’(x) kontinu dalam selang [a,b] = [s-h, s+h] yang mengandung titik tetap s dan nilai awal x0 dipilih dalam selang tersebut. Jika |g’(x)|<1 untuk semua x elemen [a,b] maka iterasi xr+1 = g(xr) akan konvergen ke s. Pada kasus ini s disebut juga titik atraktif Jika |g’(x)|>1 untuk semua x elemen [a,b] maka iterasi xr+1 = g(xr) akan divergen dari s

  25. Kriteria Konvergensi (Cont.) • Resume : Dalam selang I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x elemen I Iterasi konvergen monoton Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x elemen I Iterasi konvergen berosilasi Jika g’(x)>1 untuk setiap x elemen I Iterasi divergen monoton Jika g’(x)<-1 untuk setiap x elemen I Iterasi divergen berosilasi

  26. y =g(x) y =g(x) y = x y y y = x x x s x0 s x0 y =g(x) y = x y x s x0 Gambar konvergensi y =g(x) y = x y x s x0

  27. Newton Raphson Akar xr+1 xr+3 xr+2 xr

  28. Metode Newton Raphson • Prosedur pencarian akar mirip dengan iterasi titik tetap • Prosedur iterasi yang digunakan didapatkan melalui suatu penurunan rumus : xr+1 = xr – f(xr)/f’(xr) • Kondisi berhenti yang digunakan sama dengan pada iterasi titik tetap

  29. Prosedur Newton Raphson

  30. NR untuk menghitung akar ? • Bagaimana mencari √c ? • Bagaimana menghitung 1/c ?

  31. Konvergensi Metode NR • Untuk tebakkan akar x, nilai |f(x)f’’(x)/(f’(x)) 2|<1,dimana f’(x) <> 0

  32. Contoh Kasus

  33. Metode Secant • Tidak semua fungsi dapat dihitung dengan mudah turunannya. • Merupakan modifikasi metode NR • Prosedur iterasinya menjadi : xr +1 = xr – (f(xr)(xr-xr-1)/(f(xr)-f(xr-1))) • Kondisi berhenti menggunakan ketentuan yang sama dengan NR

  34. Metode Secant Cont. AKAR xr+2 xr+1 xr-1 xr

  35. Procedure Metode Secant

  36. Contoh Kasus