Matematik I Föreläsning 5 21.10.2013

1. GEOMETRI Matematik IFöreläsning 521.10.2013 Heidi Hellstrand Lars Burman

2. Föreläsning 5 Innehåll: • Plangeometri • Mönster, symmetri, avbildning • Grafiska bilder Litteratur: • Geometriska begrepp (Moodle2) • Grundläggande geometri (Löwing, 2010) • Matematik – ett kommunikationsämne, s. 143-176 • Litteraturhänvisningar i slutet på presentationen

3. Matematikens hörnstenar ALGEBRA ARITMETIK GEOMETRI ”Ett bra sätt att praktiskt jobba med matematik är att koppla tal till geometri. Genom geometrin kan barn utforska en värld av former som hjälper dem att förhålla sig till tal av olika slag. Att leka med grupperingar av olika slag och att utifrån dem se olika slags mönster, ger flera färdigheter; dels den geometriska förmågan att känna igen mönster, dels en grundförståelse för multiplikation, faktorer och primtal.” Ur tv-programmet På tal om matte http://www.ur.se/mb/pdf/Texter/Matematik_och_konst.pdf

4. Geometriundervisningen • Geometri innebär ”mäta jord” (grek. geo = ”jord”; metria = ”mäta”) • Geometrins roll är att ge oss modeller för att uppfatta och beskriva vår fysiska omgivning (rumsuppfattning) • Geometri handlar om hur vår omgivning är konstruerad • Bör utgå från hemmet och närmiljön, samt knyta an till andra ämnen t.ex. geografi, slöjd, bildkonst • Skall ge eleverna en förmåga att tolka och tillämpa geometriska formler och modeller • Bör vara konkret och praktiskt inriktad • Lärarens uppgift är att behålla det intellektuella djupet, men beakta elevernas nivå

8. Är larven lika lång från huvud till svans som från svans till huvud? Hur lång är larven?

9. RumsuppfattningAktiviteter i förskola och nybörjarundervisning • Grundläggande rumsuppfattning, att veta var kroppen börjar och slutar och var den är placerad i rummet. • Behöver du en pall eller stol för att nå upp till hyllan? • Använda viktiga begrepp som över – under, framför – bakom, lång – kort, tung – lätt osv. • Visa med klossar ett längre tåg eller avgöra vilket rep som är längre • Mäta, jämföra och sortera • Leta efter en cirkel i påsen genom att använda känselsinnet • Avbilda föremål (rita, konstruera) • Uppfatta mönster i vardagen • Hur ser gardinerna ut? • Var hittar barnet cirklar i omgivningen?

10. En nyckelpiga skall ta sig till andra sidan glaset, vilken är den kortaste vägen för nyckelpigan?

11. Grundläggande idéer i geometri Wittman, E.: Att undersöka barns geometrikunskaper • Geometriska former och deras konstruktion • Punkter, linjer, sträckor, strålar... • Plana figurer (tvådimensionella, 2D) • Kroppar (tredimensionella, 3D) • Operationer med former • spegling, symmetri, förstoring, förminskning, rotation • Koordinater • Koordinatsystem • Koppling till algebran (t.ex. linjens ekvation) • Mätning • Längd, area, volym, vinklar • Formler

12. Grundläggande idéer i geometri Wittman, E.: Att undersöka barns geometrikunskaper • Geometriska mönster och strukturer • Relationer mellan geometriska objekt • Geometriska former i omgivningen • Geometrin runt oss • Modellering med geometri • Problem som rör rummet

13. Geometri i läroplanen

14. Geometri i läroplanen

15. Mönster Matematik som världens formspråk (Furness, A.) • Naturen: räkna blommans kronblad, studera kottarnas spiralformade mönster, strukturen i trädens grenar... • Arkitekturen: husens form, fönstrens form och placering, parkers uppbyggnad • Konst: bildernas disposition, tavlans mått, passpartouns mått och placering, logon, origami, etc. • Musiken: oktaverna är samklingade, harmoniska skalan, etc. • Talmönster (t.ex. jämna talen, Fibonaccis talföljd)

16. Mönster med passare Mönster • Upptäck mönster • Skapa mönster Textiltryck Trådbilder Inspirerat av konstnären Naum Gabo

17. Gyllene snittet

18. Symmetri ”Symmetri hos ett föremål innebär att man kan vrida föremålet, spegla det, förflytta det eller göra något annat med det utan att föremålet ändrar utseende.” • Studera symmetrin i omgivningen: • Halvera ett äpple • Studera löv, bilar, hus, etc. • Vilka figurer är symmetriska? • Märk ut symmetriaxeln? • Hur många symmetriaxlar hittar du i bilden? • Aktiviteter: • komplettera • Konstruera en symmetrisk figur • Leta symmetriska figurer • Spegeln är ett bra hjälpmedel, symmetrilinjen fungerar ungefär som glaset i en spegel A B C

19. Spegling • Spegling ökar medvetenheten om figurernas egenskaper • Handlar i grunden om symmetri • Olika typer av spegling • Spegling i en linje (jämför: vanlig spegel) • Spegling i två parallella linjer • Spegling i en punkt • Spegling i två skärande linjer • Anknyt till erfarenheter från t.ex. textilslöjd (tröja, byxor etc.) 3 3 3

20. Tesselering (tessellering) • Tessela (latin) = liten bit mosaik • En tesselering är ett mönster av geometriska figurer som täcker hela planet utan att lämna hål • Pröva olika sätt att lägga geometriska figurer: • Sida mot sida • Hörn mot hörn • Håll ett jämnt avstånd mellan fingrarna • Pröva både med en och flera former • Vilka figurer tesselerar? Se hur figurerna tesselerar: http://www.malinc.se/math/basicgeometry/tessellationsv.php

21. Begrepp inom geometrin • Begrepp behövs för att kunna förstå och lösa geometriska problem • Geometriska begrepp: • För eleverna bekanta begrepp t. ex. längd, fyrhörning • Begrepp som enbart används i matematik t.ex. kvadrat, hypotenusa • Begrepp som betyder olika i matematiken och i vardagsspråket t.ex. volym, bas

22. Begrepp forts. • Läraren behöver kunskap om begreppen och matematiken som helhet för att kunna förenkla på en för eleven lämplig nivå, men ändå hålla sig till exakthet enkla, intuitiva –> generella, abstrakta • Anpassa undervisningen till elevernas nivå och använd ett språk de förstår och kan använda • Begreppen utvecklas hela tiden, det behövs många nya kunskaper och erfarenheter kvadratmönster kan både omskrivas och inskrivas i en cirkel

23. Plangeometriska figurer och begrepp • Diskutera figurerna och beskriv dem så mångsidigt som möjligt • Kategorisera:

24. Omkrets – area – volym • Aritmetiska förkunskaper som krävs är addition och multiplikation • Verklighetsanknytning • Laborativa metoder: • Arbeta med icke standardiserade enheter, händer, fötter, tidningar, böcker, repstump, etc. • Mät handens storlek -> areamodell • Uppskattning för att öka rimlighetstänkandet • Viktigt att ha en förståelse för figurernas egenskaper då man börjar studera begreppen omkrets, area och volym

25. Omkrets • Omkrets innebär längden av en sluten kurva. Kurvan kan se ut på olika sätt: • Bestäm omkretsen genom att uppskatta, jämföra, mäta, beräkna... • Från addition till multiplikation till algebra • Addera sidlängderna: • 4 cm + 6 cm + 4 cm + 6 cm = 20 cm • Mät halva omkretsen och dubblera: • (4 cm + 6 cm) . 2 = 10 cm . 2 = 20 cm • Omkretsen kan även skrivas: • 2 .4 cm + 2 .6 cm = 8 cm + 12 cm = 20 cm

26. Vad menas med area? • Arean är storleken av ett område, en yta, med en bestämd begränsning. Området kan vara olika stort och se ut på olika sätt beroende på omkretsen. • I början är det bra att använda metaforer som begränsad förklaring t.ex. a) Måla det stora husets area blått. b) Hur stor area kan du måla med målarfärgen? OBS!Verkliga proportioner med eleverna! 1m2 1m2 1m2 Räcker målarfärgen till ytan? 1m2 1m2 1m2 9 m2 1m2 1m2 1m2

27. Samband och likheter Undersök figurer • Vilka av figurerna har lika stor area? • Vilka av figurerna har samma egenskaper? • Uppskatta figurens area • Hur många tidningar täcker golvet? Använd olika typer av figurer, både regelbundna och oregelbundna

28. Pentominos • figurer som byggs upp av fem lika stora kvadrater

29. 12 pentomino-bitar • Vilka är bitarnas sammanlagda area? • Vilka rektangelområden är det möjligt att bilda med alla tolv bitar? • Tessellerar alla bitar planet?

30. Lyft fram faktorisering! Vad är 60 delbart med? 6 . 10 5 . 12 4 . 15 3 . 20

31. Geometriundervisning utifrån van Hielesnivåer Nivå 1: Visualiseringsnivån • Man ser geometriska begrepp som helheter • Eleverna identifierar figurer • Skilja trianglar från rektanglar • Avgöra vilka rektanglar som är kvadrater • Avgöra vilka trianglar som är liksidiga • Inga formella definitioner (rektangel = räta vinklar, motstående sidor parvis lika långa) • Viktigt att diskutera och låta barnen själv forma sina definitioner Nivå 2: • Man intresserar sig för och analyserar figurernas delar experimentellt • Eleverna lär sig beskriva sidor och vinklar • Inga formella definitioner, egna definitioner på basen av undersökande arbetssätt

32. Van Hielesnivåer forts. Nivå 3: • Man arbetar med definitioner • Eleverna härleder enkla egenskaper hos geometriska figurer • Eleverna klarar också av enklare logiska resonemang och enklare bevis • Först mera passivt Nivå 4: • Eleverna bygger upp en helhetsbild av geometrin och härleder satser m.h.a. formella definitioner och axiom (=utsagor som fastslås då en matematisk teori grundläggs) • Eleverna lär sig förstå att en teori kan byggas upp på flera sätt

33. van Hielesnivåer forts Nivå 5: • Innebär en modern och avancerad syn på geometrin • Teorier byggs upp helt utan konkret förankring eller konkret betydelse Några viktiga aspekter på van Hieles teori: • Eleverna befinner sig på olika nivåer, målet är att nå den högsta nivån • Varje nivå har sina egna tankeformer, tankeformerna bör utvecklas för att passa följande nivå • Tidiga erfarenheter ger ovärderligt stöd på den högre nivån

35. Klassificera Plana figurer Månghörningar Fyrhörningar Parallellogram Rektanglar Kvadrater

36. En mera undersökande syn på lärandet i geometri Exempel: Fyrhörningar och dess egenskaper Undersök oregelbundna fyrhörningar med fokus på begreppen sida, hörn, vinkel och diagonal • Om två sidor är parallella får vi en parallelltrapets • Om de icke-parallella sidorna i parallelltrapetsen är lika långa är figuren symmetrisk • Om de fyra sidorna är parvis parallella får vi antingen en parallellogram där diagonalen delar figuren i två kongruenta delar eller en symmetrisk figur

37. forts. • Om en av vinklarna är rät, är alla vinklar räta. Då har vi en rektangel med två symmetriaxlar. • Om alla sidorna i parallellogrammen är lika långa har vi en romb. Romben har två symmetriaxlar, som även är rombens diagonaler • Om alla sidorna i parallellogrammen är lika långa och alla vinklar är räta, har vi en kvadrat. Kvadraten är därmed en fyrhörning, en parallellogram, en romb och en rektangel

38. Geometriska grundbegrepp • Punkt anger ett bestämt läge i rummet, saknar utsträckning • Linje oändlig utsträckning i en dimension • Plan oändlig utsträckning i två dimensioner • Rum oändlig utsträckning i tre dimensioner P l

39. Grundbegrepp forts. • Stråle en del av en linje, har en bestämd ändpunkt men obegränsad åt andra hållet • Sträcka en del av en linje, har två bestämda ändpunkter • Versaler (stora bokstäver) används för att markera punkter Gemener (små bokstäver) används för att markera sträckor A A B C a c A B b

40. Grundbegrepp forts. • Vinkel två strålar (vinkelben) med gemensam ändpunkt (vinkelspets) och en vridning som överför det ena vinkelbenet i det andra Spetsig vinkel v < 90° Rät vinkel: v = 90° Trubbig vinkel: 90° < v < 180° Rak vinkel: v = 180° Konvex vinkel: 180° < v < 360° Full vinkel: v = 360° http://www.mathsisfun.com/flash.php?path=/geometry/images/angles-drag.swf&w=645&h=360&col=%23FFFFFF&title=Angles+-+Acute%2C+Obtuse%2C+Straight+and+Right

41. Mätning av vinklar • gradskiva • geotriangel • Nollpunkten skall sammanfalla med vinkelns spets • Det ena vinkelbenet parallellt med geotriangelns nedre kant • Vinkelns storlek avläses där det andra vinkelbenet skär skalan

42. Vinkelsumman • Vinkelsumman i en triangel kan undersökas laborativt • Vinkelsumman i en triangel är 180° • Studera sambandet mellan antal hörn och vinkelsumman

43. Bestäm arean för det svarta området. Ovanpå den regelbundna, svarta femuddiga stjärnan ligger en vit stjärna. Hur stora är de spetsiga vinklarna i de femuddiga stjärnorna? Bestäm vinklarnas storlek utan gradskiva.

44. Litteratur (utöver kurslitteraturen): • Grundläggande geometri (Löwing, M., 2011) • Matte med mening (Dahl, K. & Nordqvist, S., 1994) • Att undersöka barns geometrikunskaper (Wittman, E.) • Matematik är konst. Tillgänglig online via: http://www.ur.se/mb/pdf/Texter/Matematik_och_konst.pdf • Matematik som kan förklara skönhet, mönster och symmetrier i slöjdarbeten. Tillgänglig online via: http://ncm.gu.se/node/2352 • Tesselering. Tillgänglig online via: http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2628_96_4.pdf • Escherstesseleringar http://www.ur.se/Mega/Matteverkstad/MC-Escher/ • Matematik i musiken. Tillgänglig online via: http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/4753_03_2.pdf