Université de Saint Flour 26 août 2010 Jean-Claude Duperret

1. Balades dans les « mathématiques pour tous » sous l’angle de la modélisation Les mathématiques : entre « sciences de la nature » et « sciences de l’esprit » Université de Saint Flour 26 août 2010 Jean-Claude Duperret

2. Modélisation et modèle

3. Modélisation • Représentation « fonctionnelle » des objets d’une certaine « réalité » par des objets « abstraits » ou « schématisés » dans un modèle où peut s’exercer un traitement théorique • Représentation « analogique » ou « métaphorique » : les processus naturels sont imités dans des conditions qui favorisent l’observation et l’étude • Représentation « sélective » : un travail de modélisation nécessite de retenir certaines caractéristiques de la situation et d’en ignorer d’autres

4. « Modélisation » et « modèle » Modèle mathématique Schéma symbolique « Réalité » Phénomène empirique • Du réel vers le modèle : modèles descriptifs (« transformer » et « interpréter » des « informations ») ; fonction heuristique • Du modèle vers le réel : modèles prédictifs (« anticiper » une « action ») ; fonction justificative

5. Première balade « A la découverte du nombre »Kronecker : « Dieu a créé les nombres entiers, les autres sont l’œuvre des hommes  »

6. Nuzi, vieille ville de Mésopotamie Petite bourse d’argile creuse Inscription : « Objets concernant des moutons et des chèvres » • 21 brebis qui ont déjà eu des petits • 6 agneaux femelles • 8 béliers adultes • 4 agneaux mâles • 6 chèvres qui on déjà eu des petits • 1 bouc • 2 chevrettes A l’intérieur de la bourse 48 billes en terre crue

7. Montagnes de Ngwane en Afrique Le repère est la forme la plus ancienne du sens du nombre que l’on connaisse. Le plus vieux témoignage de cette façon de compter se trouve sur l’os du péroné d’un babouin, datant de 35 000 ans avant JC, découvert dans les montagnes de Ngwane, qui fait apparaître 29 entailles

8. Le bâton d’Ishango (Lac Tchad)

9. Représenter les nombres entiers naturels Les chiffres et les lettres ont une longue histoire commune. Elle a commencé dès que les hommes eurent l’idée de l’écriture. Ils inventèrent des signes pour écrire les mots et les nombres. Une unité : un signe L’idée du groupement Les groupes de groupes

10. Numération égyptienne

11. Numération égyptienne

12. Représenter les nombres entiers naturels Quelques civilisations sont allées plus loin : L’idée de position L’idée du zéro Notre système de numération

13. Mathématiques et Histoire C’est à travers les siècles et les civilisations que s’est peu à peu constitué un langage universel, fruit de toutes les pensées successives d’hommes de cultures très différentes. « Ce phénomène insolite de découverte multiple de la même vérité mathématique, indépendamment du temps et du lieu, montre clairement la spécificité du génie créatif des mathématiques » (John D.Barrow)

14. Connaissance « évoluée » des nombres Elle met en jeu 3 composantes : • La représentation des quantités • La représentation verbale • La représentation symbolique (indo-arabe)

15. « Comprendre » et « lire » les nombres Double aspect : • Cardinal : mesure d’une collection finie • Ordinal : tout entier a un suivant Vous avez dit naturel ? • 0 est-il naturel ? • 500 000 milliards de dollars, c’est le flux annuel des « produits dérivés » Lire les nombres : 97 + 115 = 212 est une écriture universelle, mais sa « lecture » dépend de la langue

16. Quels sont les entiers qui peuvent s’écrire comme différence de deux carrés d’entiers? • 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144 Différences de 1en1, de 2 en 2, de 3 en 3… : • 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 • 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 • 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63 • 16, 24, 32, 40, 48 , 56, 64… Conjecture : les entiers qui sont différences de deux carrés d’entiers sont les nombres impairs et les nombres multiples de 4 Preuve : (p+1)² - p² = 2p+1 (p+1)² - (p-1)² = 4p

17. « Démonstration visuelle »

18. Grandeurs et mesures La mesure la plus simple : le cardinal d’un ensemble fini (nombre entier naturel). La « mesure exacte » : couple formé d’un nombre et d’une unité (extension du champ des nombres); c’est souvent une convention « sociale ». (calcul « exact ») Dans des situations où cette convention sociale n’existe pas, l’image d’une grandeur par une mesure est en fait un intervalle (erreur, tolérance, intervalle de confiance…) (calcul « approché »)

19. L’extension du champ des nombres Les nombres « raisonnables » Ce sont des nombres, qui convenablement « agrandis », redonnent des entiers naturels Les nombres entiers naturels Les fractions (ex 2/3 qui « agrandi » 3 fois donne 2) Les nombres décimaux (ex : 2,4 qui « agrandi » 10 fois donne 24) Les nombres non raisonnables : Ex : racine carrée de 2, pi…

20. De nouveaux nombres Nombres géométriques Naissance de Duplication d’un carré de côté de longueur 1

21. Mathématiques et Histoire Dans cette construction des nombres non naturels, il y a deux niveaux, la construction des nombres “ raisonnables ” (rationnels), et la “ constatation ” qu’il existe des nombres “ non raisonnables ” (irrationnels). Il a fallu des siècles pour que ces derniers soient reconnus en tant que tels, mais le problème de leur existence était déjà posé chez les grecs en terme de grandeur avec le côté du carré et sa diagonale. Derrière cette “ constatation ” se cache l’essence même des mathématiques : la démonstration.

22. Du modèle « discret » au modèle « continu »

23. Je le vois, mais je ne peux le croire !Cantor à Dedekind 1 N 0,32.. 0,7352… 0,75.. 1 0 M 1 0 0,84.. N 0,2864… M 0,26..

24. Nombres « calculables » Nous ne pourrons jamais « calculer » tous les nombres réels : les nombres réels « calculables » sont ceux pour lesquels il existe un programme d’ordinateur qui, lorsque nous le laissons fonctionner indéfiniment, en égraine les décimales les unes après les autres. Il y a des nombres « non calculables »…(et beaucoup !), par exemple les nombres « oméga »: on les connaît (on sait les définir), on démontre à leur sujet des propriétés précises…mais on ne sait pas calculer leurs chiffres !

25. Seconde balade Du monde des « formes » au monde des « figures »

26. Mathématiques et Histoire Le passage du monde « physique » au monde « mathématique  » passe par une abstraction et une rationalisation du monde qui nous entoure, ce qui permet à l’homme d’avoir une action intellectuelle sur lui. L’essence même des mathématiques, c’est la démonstration, c’est à dire une argumentation qui repose sur des règles intellectuellement partagées, dans des corpus scientifiques définis.

27. Mathématiques et Histoire On peut situer la naissance de ce mode de pensée chez les grecs, en le liant à un contexte politique original, la démocratie. Une compétence essentielle que développent les mathématiques est « la gestion personnelle et sociale de la vérité ».

28. Modélisation en termes de « niveaux » d’action et de pensée Géométrie 2 Paradigmes géométriques (C.Houdement et A.Kuzniak) d’après la typologie de Gonseth • Géométrie 1 (géométrie naturelle) • Géométrie 2 (géométrie axiomatique naturelle) • Géométrie 3 (géométrie axiomatique formelle) Géométrie 1

29. Avec quels types de quadrilatère peut-on paver le plan ?

30. Avec quels types de quadrilatère peut-on paver le plan ?

31. Peut-on découper un polygone pour en faire un carré de même aire ?

32. Du triangle au parallélogramme

33. Du rectangle au carré

34. Thalès, l’homme de l’ombre • La légende : Plutarque, dans le « banquet des sept sages » rapporte l’exploit de la mesure d’une pyramide à l’aide d’un bâton et des ombres. • Mais exploit de qui ? De Thalès ? Ou des égyptiens chez qui il était allé étudier ?

35. « Notre Thalès » : les lignes proportionnelles • Dans « Eléments de géométrie » de Rouche et Comberousse (1883) : « L’égalité des angles de deux triangles entraîne la proportionnalité des côtés». • …. • L’appellation « théorème de Thalès » pour désigner celui des lignes proportionnelles devient officielle en France dans les programmes de 1925.

36. Et au-delà de l’Hexagone ? En Angleterre : « An angle inscribed in a semi-circle is a right angle » Au Brésil : « O angulo iscrito numa semicircunferencia e reto » En Allemagne : « Jedes dreieck über einem durchmesser in einem halbkreis ist rechtwinklig »

37. Du rectangle au carré

38. Du polygone aux carrés

39. Merci Pythagore

40. Des carrés au carré

41. « La déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature » Wigner Ce monde mathématique «  de la déraison » va aller à l’encontre de notre perception première, il va démolir les évidences. Il repose sur une valeur intellectuelle essentielle : le courage intellectuel

42. Le monde de la « déraison »…ou l’impossible retour à la réalité Peut-on reconstituer un disque à partir d’un carré par “ dissection ” et “ déplacements ”. Le problème ainsi posé dans les années 1920 par Banach et Tarski ” s’appelle la quadrature géométrique du cercle. Laczkovitch, mathématicien hongrois, a donné une réponse positive à cette question : il a montré que de telles partitions du carré et du disque étaient possibles et que l’on pouvait passer des morceaux du disque aux morceaux du carré par des translations.

43. Les narrations de rechercheIREM de Montpellier Cinq, quatre, trois, deux, un A et B sont deux points donnés. On souhaite construire en utilisant seulement une règle non graduée et un compas le point C vérifiant les trois conditions suivantes : • C appartient à la droite (AB) • C n’appartient pas au segment [AB] • AC = ¼ AB Quel est le nombre minimum d’arcs de cercles (ou de cercles) qu’il est nécessaire de tracer ?

44. Géométrie euclidienneconcept « milieu - à égale distance »

45. Géométrie affineConcept « milieu – barycentre »

46. Géométrie projective (synthétique) Concept « milieu – parallélisme »

47. Modèles géométriques • Géométrie euclidienne, modélisation « locale » de l’espace physique, avec des « axiomes » qui sont des « demandes » « de bon sens ». • Géométrie cartésienne (Descartes) : les points sont des couples, les droites des courbes du 1er degré, les coniques des courbes du 2nd degré… • Géométrie projective (Pappus, Desargues) : pas de cercles, uniquement des droites ; point à l’infini, droite de l’infini…) • Géométrie synthétique (affine et projective) : théorème de Poncelet-Steiner

48. Modèles géométriques Géométries non euclidiennes : • Géométries hyperboliques (Lobatchevski, Bolyai, Gauss) : modèle de Klein (intérieur d’un disque) de Poincaré (demi-plan) ; une infinité de parallèles à…; la somme des angles d’un triangle est inférieure à 2 droits… • Géométries elliptiques (Riemann) : géométrie sphérique ; pas de parallèle à… ; la somme des angles d’un triangle et supérieure à 2 droits…

49. L’unification de toutes les géométries Le programme d’Erlangen (Felix Klein, 1872) qui unifie toutes ces géométries dans une unique théorie pour en dégager les points de similitude (action d’un groupe de transformations sur un ensemble de points).

50. « Le théorème du perroquet » (Denis Guedj) Comme tous les élèves du monde, Jonathan avait croisé Thalès à plusieurs reprises. Chaque fois, le professeur leur avait parlé du théorème, jamais de l’homme. D’ailleurs, en cours de maths, on ne parlait jamais de personne. De temps en temps, un nom tombait, Thalès, Pythagore, Pascal, Descartes, mais c’était seulement un nom, comme celui d’un fromage ou d’une station de métro. On ne parlait pas non plus de où ni de quand ça s’était fait.