Teoría de Colas

1. Teoría de Colas ICEF

2. Una historia conocida por muchos de nosotros… • En el banco. • En un hospital. • En el supermercado. • … • Se necesitan respuestas a preguntas tales como • ¿Qué fracción de tiempo cada servidor está libre? • ¿Cuál es el número esperado de clientes en la cola? • ¿Cuál es el tiempo esperado que un cliente permanece en una cola? • ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de clientes presentes en una cola ? • Si un gerente de un banco desea asegurar que únicamente el 1% de todos sus clientes tengan que esperar más de 5 minutos para ser atendidos, cuántos cajeros debe emplear.

3. Teoría de Colas • Una cola se produce cuando la demanda de un servicio por parte de los clientes excede la capacidad del servicio. • Se necesita conocer (predecir) el ritmo de entrada de los clientes y el tiempo de servicio con cada cliente. • La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares Objetivo: • Equilibrar los costos de capacidad del servicio y el “costo” de una espera larga. TEORÍA DE COLAS • Estudio matemático de las características de los sistemas de colas.

4. Proceso en una cola • 1. Entrada de clientes • 2. Sistema de colas cola o línea de espera mecanismo de servicio • 3. Salida de clientes

5. Algunos ejemplos

6. Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, un servidor Sistema de colas Cola Servidor Llegadas Salidas

7. Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples servidores Sistema de colas Salidas Servidor Cola Llegadas Salidas Servidor Salidas Servidor

8. Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores Sistema de colas Salidas Servidor Cola Llegadas Salidas Servidor Cola Salidas Cola Servidor

9. Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales Sistema de colas Llegadas Cola Servidor Cola Salidas Servidor http://www.auladeeconomia.com

10. Costos de un sistema de colas • Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar • Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido • Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad

11. Costos de un sistema de colas • Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado • Es más fácil de estimar • El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo

12. Entrada de clientes TAMAÑO Número total de clientes potenciales (población de entrada): • Finito (fuente limitada) (sistema cerrado) • Infinito (fuente ilimitada) (sistema abierto) Suposición habitual: tamaño infinito (es decir, el número de clientes en la cola NO afecta el número potencial de clientes fuera de ella) ENTRADA O FUENTE • Unitaria • Por bloques TIEMPO ENTRE LLEGADAS • Determinista • Probabilista (distribución de probabilidad exponencial) TASA MEDIA DE LLEGADA λ • Número medio de entrada de clientes por unidad de tiempo • Llegadas de clientes son independientes e idénticamente distribuidas (IID)

13. COLA Número máximo de clientes admisible • Finito • Infinito • Suposición habitual: colas de longitud infinita (pérdida del cliente o reintento). Muy común en centrales telefónicas Número de canales (carriles de una calle ante un semáforo) en la cola e interferencia entre ellos Disciplina de la Cola Orden de selección de sus miembros para ser atendidos • FIFO, FIFO con límite • LIFO • SIRO (Aleatorio) • Por prioridad (interruptora o no)

14. Mecanismo de Servicio SERVIDORES • Proporcionan el servicio al cliente Número de servidores: • Uno • Varios • Independencia o no entre servidores TIEMPO DE SERVICIO • Determinista • Probabilista (distribución de probabilidad exponencial) TASA MEDIA DE SERVICIO µ • Número medio de clientes que son atendidos en un servidor por unidad de tiempo. • Servicios a clientes son independientes e idénticamente distribuidos (IID)

15. Especificación de un sistema de colas Distribución del tiempo entre llegadas / Distribución del tiempo de servicio / Número de servidores / Número máximo de clientes en el sistema / Disciplina de la cola M exponencial D degenerada (tiempos constantes) EErlang(Gamma) G general Ejemplos: • M/M/s • M/M/s/K/FIFO • M/M/s/s • M/G/1 David George Kendall

16. Medidas de Eficacia de un Sistema de Colas l tasa media de llegadas 1/l tiempo medio entre llegadas m tasa media de servicio 1/m tiempo medio de servicio • factor de utilización (intensidad de tráfico): fracción esperada de tiempo que están ocupados los sservidores habitualmente r < 1 También puede interpretarse como número promedio de personas siendo atendidas

17. Si se tiene s=1 ρ: fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados. El servidor está trabajando 4 de cada cinco minutos, es decir el 80% del tiempo

18. Notación • Se utilizará la siguiente notación: N(t): Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t. Pn(t): Probabilidad de que hayan n personas en el sistema al momento t, dado el número en el tiempo 0. s: número de servidores en el sistema de colas. λn :tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. μn: tasa media de servicio para todo el sistema cuando hay n clientes en el sistema (tasa combinada).

19. Notación La condición estacionaria se produce cuando la distribución del número de clientes en el sistema se conserva a través del tiempo.

20. Notación

21. Notación

22. Ecuaciones en el sistema M/M/1

23. Ejemplo 1

24. Ejemplo 2

25. Ejemplo 3

26. Teoría fundamental Servidor(es) Cliente

27. Para formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones

44. Ejercicios