TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

1. Elipsa Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

2. Elipsa jako kuželosečka Elipsu jako kuželosečku tvoří průnik kuželové plochy a roviny, která s osou kužele svírá ostrý úhel (α) větší, než je úhel mezi stěnou a osou kužele (β), tedy α > β. α β

3. Elipsa jako množina bodů Elipsu lze definovat i jako množinu bodů v rovině: Elipsa je množina všech bodů, které mají od daných dvou bodů (ohnisek – E, F) stejný součet vzdáleností. Tento součet se rovná délce hlavní osy: |EX| + |FX| = 2a, kde a je kladné konstantní(pro všechny body na elipse) reálné číslo. X1 X2 E F

4. S – střed elipsy E, F – ohniska elipsy C A, B – hlavní vrcholy C, D – vedlejší vrcholy a b a = |AS| = |SB| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EC| = |FC| = |ED| = |FD|) a S A B E F e b = |CS| = |SD|– vedlejší poloosa e = |ES| = |SF|– excentricita D Popis elipsy s hlavní osou || s osou x Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e: a 2 = b 2 + e 2

5. S – střed elipsy C E, F – ohniska elipsy E C, D – hlavní vrcholy A, B – vedlejší vrcholy b e b = |CS| = |SD| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EA| = |FA| = |EB| = |FB|) S B A a = |AS| = |SB|– vedlejší poloosa a e = |ES| = |SF|– excentricita b F D Popis elipsy s hlavní osou || s osou y Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e: b 2 = a 2 + e 2

6. y Pro libovolný bod X[x;y]na elipse se středem v počátku lze odvodit pomocí definice elipsy jako množiny bodů následující vztah: X[x;y] y x x 0 y Obdobně pro libovolný bod X[x;y] na elipse se středem v bodě S[m;n] lze odvodit: Protože jsou z rovnice patrné souřadnice středu a délky poloos, nazývá se tato rovnice středovou nebo také osovou rovnicí elipsy. X[x;y] y S[m;n] n × m x x 0 Středová rovnice elipsy

7. Obecná rovnice elipsy Odstraňme zlomky a závorky ze středového tvaru rovnice elipsy a převeďme všechny členy na levou stranu: Nahrazením b2 = A, a2 = B, –2b2m = C, –2a2n = D a b2m2 + a2n2 – a2b2 = E lze rovnici zapsat jako Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 Tato rovnice ze nazývá obecná rovnice elipsy. Poznámka: Ne vždy tato rovnice vyjadřuje rovnici elipsy. Jednou z podmínek pro koeficienty A, B, C, D, E je např. stejné znaménko u A a B a zároveň jejich rozdílná hodnota (při stejné hodnotě by se mohlo jednat o kružnici), tedy A · B > 0^A ≠ B.

8. Parametrické vyjádření elipsy Obdobně jako má přímka v rovině parametrické vyjádření, má toto vyjádření i elipsa. Souřadnice každého bodu X na elipse lze vyjádřit takto: x = a · cos t + m y = b · sin t + n kde t je parametr vyjadřující úhel (viz obrázek). Může nabývat hodnot z intervalu <0;2π). y X[x;y] y t n × S[m;n] m x x 0

9. Převod obecné rovnice na středovou Při odvozování obecné rovnice ze středové postupujeme obdobně jako u kružnice. Příklad: Je dána obecná rovnice elipsy 4x2 + 2y2 – 4x + 8y – 3 = 0. Určete střed a délky poloos této elipsy. Přerovnáme členy dle neznámých a vytkneme koeficient A, resp. B: 4(x2 – x) + 2(y2 + 4y) – 3 = 0 Výrazy v závorkách doplníme na tzv. čtverec (viz vzorec (A + B)2 = A2 + 2AB + B2), nezapomeneme stejné hodnoty přidat i na pravou stranu rovnice: 4(x2 – x + 0,52) + 2(y2 + 4y + 22) = 4·0,52 + 2·22 + 3 4(x – 0,5)2 + 2(y + 2)2 = 12 Střed elipsy má tedy souřadnice [0,5;–2], a = √3 a b = √6.

10. Přímka může ležet mimo elipsu (přímka p1), potom s ní nemá žádný společný bod. Takové přímce se říká nesečna. p1 T[x0;y0] y0 Pokud přímka elipsu protíná (přímka p2), má s ní dva společné body. Takové přímce se říká sečna. p3 x0 Pokud se přímka elipsy dotýká (přímka p3), má s ní jeden společný bod. Takové přímce se říká tečna. Rovnice tečny, která se elipsy dotýká v bodě T[x0;y0], je: p2 Vzájemná poloha přímky a elipsy y × x 0