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APLICACIONES DE LA DERIVADA

La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”. APLICACIONES DE LA DERIVADA. Sea:.

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

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Presentation Transcript

  1. La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”. APLICACIONES DE LA DERIVADA

  2. Sea: La rigidez esta dada por: R =(ancho)*(espesor)^3

  3. 2a y x Por lo tanto: R =(ancho)*(espesor)^3 => R=X*Y^3 (2a)^2 = (x )^2 + (y )^2 1 2

  4. DESPEJANDO “Y” DE LA ECUACION 2: 4a^2 - x^2 = y^2 REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE: R=X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½ ECUACION PRINCIPAL

  5. DERIVANDO LA ECUACION: R=*X*(4a^2 - x^2) ^3/2 dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +x*(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)*(-2x) IGUALANDO EN CERO: 0 = [(4a^2 - x^2) ^3/2]+[(4a^2 - x^2)*( – 3x^2)] SE OBTIENE: 1° (4a^2 - x^2) – 3x = 0 => a = x , solución valida.

  6. Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuación principal: R=a*(4a^2 - a^2)^3/2 R=a*(3a ^2) ^(3/2) R=(3^(3/2))*a^4

  7. Recordemos que: f ´´(x) > 0 , es minino relativo f ´´(x) < 0 , es máximo relativo como vemos: dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x) d²R/dx² = K*[-3((4a^2 - x^2) ^1/2)-6x((4a^2 - x^2) ^1/2)+3x/((4a^2 - x^2) ^1/2)] IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE: d²R/dx² < 0

  8. POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE MAYOR RIGIDEZ SON: VOLUMEN VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO) A= a²(3^½)L o A= x²(3^½)L

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