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APLICACIÓN DE LA DERIVADA

APLICACIÓN DE LA DERIVADA. El concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones industriales.

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APLICACIÓN DE LA DERIVADA

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Presentation Transcript

  1. APLICACIÓN DE LA DERIVADA El concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones industriales.

  2. APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA INGENIERIA DE SISTEMAS En ingeniería en sistemas, la derivada tiene infinidad de aplicaciones, ya que Esta rama de la Ingeniería va de la mano con todos las demás ramas del conocimiento. La derivada puede tener aplicaciones sobre el diseño de algunos programas que involucren velocidades.

  3. EJERCICIO 1. Se le pide a un Ingeniero de Sistemas crear un programa que permita calcula dos números cuya suma sea 100 y de forma que su producto sea máximo.

  4. Incógnitas y Datos: x= Primer numero y= Segundo numero x+ y = 100 Función que hay que maximizar f(x,y) = xy Sujeto a x + y = 100 y = 100 – x

  5. Se escribe la función con una sola variable: f(x)= x (100 – x) f(x)= 100 x - X2 Se calculan los máximos y mínimos relacionados: f´(x)= 100- 2x 100 – 2x = 0 X = 50 Si x = 50 Entonces: y = 50

  6. Se comprueba en la segunda derivada: f´(x)= -2 < 0 (-) = Máximo Relatívo El primer numero es: x = 50 El segundo numero es: y = 50

  7. EJERCICIO 2. Un fabricante vende x artículos por semana a un precio unitario p que depende de x, según la expresión:p(x)=200 - 0.01x p en $El costo total de produccion de x articulos es: C(x)= 50x + 20000 $/sem

  8. a) Calcula el número de artículosque el fabricantedebeproducirparaobtener maxima ganacia y el correspondienteprecio de ventapor unidad. b) Supongamosque el estadofija un impuesto de $10 porcada unidad vedendida permaneciendo invariables lasotrascondicones. Que parte del impuestodebeabsover el fabricante y cualdebetransmitir al comprador paraobtener maxima ganacia? Comprar la gancias antes y despues de establecido el Impuesto

  9. SOLUCION. a) Preciounitario: p(x)= 200 – 0.01x $ Costo total: C(x)= 50x + 20000 $ La ganacia G del fabricante sera: G = I – C (Ganacia = Ingreso – Costo) El ingresoobtenidopor la venta de x articulosporsemana se obtienemultiplicando el preciounitario p por el numero de articulosvendidossemanalmente x. I(x)= p.x = 200x – 0.01x2 $/sem Finalmenteentonces: G(x)=(200x – 0.01x2) – 50x+20000 G(x)= – 0.01x2 + 50x + 20000 $/sem x > 0

  10. Como puedesobservar la funcionganacia es una simple funcioncuadratica con concavidadnegativa. Bastaqueverifiquemosque el verticecorresponde al maximo de la funcion en el intervalo [0, + ∞] para lo cual su abcisadebera ser: > 0. Derivando: = -0.02x + 150 Anulando: x = 7500 unidades / sem En consecuenciaparamaximizarsusganacias, el fabricantedeberá vender 7500 unidades / sem. El preciocorrespondiente sera: p(7500) = 200- 0,01.(7500) = 125 p = 125 $ / unidad

  11. Al establecerse un impuesto de 10 $/unidad tendremosunanuevafunciongananciaG1 talqueG1(x)= – 0,01x2 + 150x - 20000 – 10x G1(x)=– 0,01x2 + 140x – 20000 Repitiendoparaestafuncion lo hecho en la parte a) del ejercicio: = -0.02x + 140 Anulando: x = 7000 unidades / sem El nuevoprecio sera: P(7000)= 200 – 0,01.(7000)= 130 P= 130 $ / unidades

  12. El precio de venta ha aumentado $ 5.00 lo queteestaindicandoqueparaobtener maxima ganaciaque el fabricantetranmite al comprador la mitad del impuesto, absorviendo el, la otramitad. Las respectivasganaciasserán: G(7500)= -0,01 (7500)2+ 150 (7500) - 20000 = 542500 $/sem G1(7000)= -0,01 (7000)2+ 140 (7000) - 20000 = 540000 $/sem

  13. EJERCICIO 3. El ministerio de transporte Con el fin de determinar la variacion de la velocidad del flujo de vehiculos que ingresan a Sincelejo los dias domingo entre las 17:00 horas y las 22:00 horas, ha efectuado mediciones que indican que la velocidad del trafico a la entrada de la ciudad en ese lapso esta dada aproximadamente por la expresion: V(t)= km/h t=0 a las 17 horas En que momento entre las 17:00 horas y las 22:00 horas, el transito es mas rapido y en que momento es mas lento?

  14. SOLUCION. t en horas, V en km/h Estudiaremos la funcion en el intervalo [0,5] de (17 horas a 22 horas) km/h km/h Puntoscritico: Anulando:

  15. Raíces: t1 = 1 t2 = 4 De acuerdo con los calculosrealizados y siendounafuncion de tipopolinomico, podemosafirmarque el maximoabsoluto se produce en t = 1 y el minimoabsoluto en t = 4

  16. EJERCICIO 4. El número total de bacterias (en miles) presentes en uncultivo después de t horas viene dado por:N(t) = 2t(t – 10)2 + 50 a) Calcula la función derivada. b) Durante las 10 primeras horas, ¿en qué instante sealcanza la población máxima y la mínima?

  17. SOLUCION. N’(t)= 2 (3t2 – 40t + 100) N´(t) = 0 t = 10/3 t = 10 Maximorelativo: A(10/3, 9350/27) Minimorelativo: B(10, 50) Se comprueban los extremos del intervalo [0,10] F(0)= 50

  18. El minimo se alcanza en los extremos, es decir, en t= 0 y t= 10 con 50000 bacterias. El maximo se alcanza en t= 10/3 con 9350/27 = 346296 bacterias.

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