LA DERIVADA

1. LA DERIVADA Francisco Hernández Guillermo de la Hoz Jesús Echávez Carlos de la Peña Jaime Bravo 11°A

2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

3. DERIVADA: DEFINICION La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. ¿Qué significa “derivar”? Aún no entiendo La definición de derivada es la siguiente:

4. DERIVADA: DEFINICION La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

5. DERIVADA: DEFINICION

6. DERIVADA DE UNA FUNCION Si aprendiste límites, lo sabrás La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x). Y este concepto, ¿qué? Ejemplo: Determinar la función derivada de x2− x + 1.

7. DERIVADA DE UNA FUNCION EJEMPLO: Sea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R — puesto que es continua en todos los puntos de su dominio —, mediante el límite de su cociente de diferencias de Newton. Así: El cociente de diferencias de Newton es la definición de derivadas que hemos visto.

8. REGLAS DE DERIVACIÓN Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro. DERIVADA DE UNA POTENCIA REAL Una función potencial con exponente real se representa por f(x)=axn y su derivada es f’(x)=anxn-1. DERIVADA DE UNA SUMA Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, es decir: (f+g)’(x)= f’(x)+g’(x) DERIVADA DE UN PRODUCTO La derivada de un producto está definida como: h(x)=(f .g)(x) Y su derivada es: h’(x)=f’.g + f.g’

9. REGLAS DE DERIVACIÓN Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro. DERIVADA DE UN COCIENTE La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación: REGLA DE LA CADENA La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones.

10. EN RESUMEN La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. La definición de derivada es la siguiente: Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente. • Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro. • Regla de la constante • Regla de la potencia real • Regla de la suma • Regla del producto • Regla del cociente • Regla de la cadena 1. 2. 3.

11. DERIVADA EN UN PUNTO

12. La derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor de la función con respecto al incremento de la variable, cuando este tiende a cero. La derivada de una función en un punto es un número real. Por tanto, la derivada de una función en un punto x0 viene dada por la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x0 , es decir P(x0, f(x0)). Si una función tiene derivada en un punto se dice que es derivable. Clic aquí para saber qué es esto.

13. Ahora sabremos el porqué de la derivada en un punto, mediante su interpretación geométrica. Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje x. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos [x0,f(x0)] y [(x0+h),f(x0+h)] tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto [x0,f(x0)]. Si β es el ángulo que forma la secante con el eje de abscisas, y α el ángulo que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices [x0,f(x0)], [(x0+h),f(x0+h)] y [(x0+h),f(x0)], se verifica: Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento de la tangente, tanβ tiende a tan α, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto [x0,f(x0)]. Esto se expresa matemáticamente así:

14. DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. Calcular la de derivada de f(x)=2x2-6x+5 en x=-5

15. EJEMPLOS Calcular la derivada de en x=2 Calcular la derivada de en x=2

16. DERIVADAS LATERALES Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden. Derivada lateral por la derecha Derivada lateral por la izquierda

17. EJEMPLOS

18. EJEMPLOS Calcular las derivadas laterales para la función especificada Como el la derivada lateral por la derecha coincide con la izquierda, se dice que f(x) es derivable en x=1 y en f’(1)=3

19. EN RESUMEN La derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor de la función con respecto al incremento de la variable, cuando este tiende a cero. La definición de derivada de una función en un punto es la siguiente: Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden. 1. 2. 3.

20. DERIVADA EN UN INTERVALO

21. Dominio DE derivabilidad Decimos que una función es derivable en un intervalo abierto (x1,x2) de su dominio si lo es en cada uno de sus puntos. En general el conjunto de puntos donde la función es derivable constituye su dominio de derivabilidad. Hay que observar que el dominio de derivabilidad de una función puede no coincidir con el dominio de la función. O dicho de otra forma, el dominio de la función f(x) puede no coincidir con el dominio de la función derivada f ´(x). EJEMPLO:Consideremos la función valor absoluto de x que queda definida de la siguiente manera: Esto no termina aquí El dominio de y=f(x) es R (conjunto de números reales) mientras que el dominio de y´ es R - {0} puesto que en x=0 la función f(x) presenta un punto anguloso y la pendiente por la izquierda no coincide con la pendiente por la derecha. La gráfica de la función derivada es:

22. DERIVABILIDAD EN UN INTERVALO En la gráfica podemos observar que la función es derivable en el intervalo (n,p) pero no en el (m,p) ya que en este último intervalo contiene un punto anguloso

23. EJEMPLOS ¿Es derivable la función en el intervalo cerrado [0,2]? Sí lo es, pues al ser polinómica es derivable en cada uno de los puntos del intervalo cerrado [0,2]. Por otra parte, es derivable tanto por la derecha de x=2 como por la izquierda de x=0.

24. EJEMPLOS ¿Es derivable la función en el intervalo abierto (-2,2)? Como una función es derivable en un intervalo abierto si todos los puntos dentro de ese intervalo son derivables, revisamos si esta condición se cumple. Analicemos si la función es derivable en el punto x=0. Como los límites laterales no coinciden, se dice que la función no es derivable en el punto x=0, por lo tanto no se cumple la condición. Así llegamos a la conclusión de que la función no es derivable en (-2,2).

25. EN RESUMEN En general el conjunto de puntos donde la función es derivable constituye su dominio de derivabilidad. Hay que observar que el dominio de derivabilidad de una función puede no coincidir con el dominio de la función. Una función es derivable en un intervalo abierto si es derivable en cada uno de sus puntos. • Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en cada uno de los puntos del intervalo abierto y derivable por la derecha en a y por la izquierda en b. 1. 2. 3.