METODE NUMERIK

1. METODENUMERIK DERET TAYLOR & ANALISISGALAT

2. Prinsip perhitungan dalam numerik • Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus “tidak ada algoritma untuk segalanya” • Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil

3. OUTLINE • PenyajianBilangan • AngkaSignifikansi • TeoremaDeret Taylor • Konsepgalat

4. Penyajian bilangan Bilangan ada 2: • Eksak • Tidak eksak • Perhitungan matematika tidak eksak , e, • Perhitungan desimal yang berulang 0.3333…. • Hasil perhitungan deret tak hingga e • Hasil pengukuran

5. Floating point • f.p x = a x bn • a = matise (0 ≤ a ≤ 1) • b = basis • n = eksponen (bilangan bulat) Dalam alat hitung elektronik biasanya digunakan basis b = 10

6. Desimal dan angka signifikan • Misal x = 0.05  2 desimal 1 angkasignifikan x = 0.30  2 desimal 2 angkasignifikan Angkasignifikanadalahangka 0 yang diabaikanuntuk yang beradadibelakangsedangkandihitunguntukangka 0 yang berada di depan

7. AngkaSignifikan • Komputasithdsuatubilangan Bilanganhrsmeyakinkan ? • Konsepangkasignifikan  keandalansebuahnilainumerik • Banyakangkasignifikan  banyaknya digit tertentuygdptdipakaidenganmeyakinkan • Selainangkasignifikan, jgadaangkataksiran • Angka 0 (nol) tdksllpastimjdangkasignifikan, why? • Ketidakpastian kepastian, jkpakainotasiilmiah How? 0,000123  mengandung 3 AS (nolbknmerupakan AS) 0,00123  mengandung 3 AS (nolbknmerupakan AS) 12.300  Tidakjelasberapa AS, karenamshditanyakannolitu berartiatautidak…! 1,23 x 104  mengandung 3 AS (memakainotasiilmiah) 1,230 x 104  mengandung 4 AS (memakainotasiilmiah) 1,2300 x 104  mengandung 5 AS (memakainotasiilmiah)

8. Angkasignifikansi • Nilaisignifikanadalahsuatunilaidimanajumlahangkaditentukansebagaibatasnilaitersebutditerimaatautidak. Sebagaicontohperhatikannilaipadapenggaris:

9. AngkaSignifikan • Nilai yang ditunjuktidaktepatpadaangka yang ditentukankarenaselisih 1 strip, dalamkejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60. • Bilapenggaristersebutdilihatdenganskalalebihbesarpadadaerah yang ditunjukolehjarum : • Dari gambarini, dengannilaisignifikan 10-1 (0,1) makadiperolehnilainya 59 atau 59,5.

10. “AS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik” “AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas”  (kesalahan pembulatan/round-off-error) AngkaSignifikan Dua arti penting angka signifikan

11. Aritmatika dalam floating point • Penjumlahan /pengurangan • Ubahbilangankef.p • Ubaheksponenmengikutieksponen yang besar • Jumlahkan/kurangkan • Sesuaikandesimal/a.s yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0.00014 x 103 = 0.00 x 103 x + y = 0.12 x 103 + 0.00 x 103= 0.12 x 103 = 120

12. Perkalian/pembagian Ubahbilangankef.p Untukperkalian : jumlahkaneksponendankalikanmatise Untukpembagian : kurangkaneksponendanbagikanmatise Tulishasildalamf.psesuaidengandesimal yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0. 14 x 100 x . y = (0.12 x 103) . (0.14 x 100)= 0.0168 x 103 = 0.02 x 103 = 20

13. Akurasi Dan Presisi

14. Akurasi Dan Presisi • Nilaipresisimengacupadajumlahangkasignifikan yang digunakandansebaranbacaanberulangpadaalatukur. • Nilaiakuratatauakurasimengacupadadekatnyanilaipendekatanyang dihasilkandengannilaiacuanataunilaieksak. Misalkannilaieksakdiketahui½, sedangkanhasilpendekatanadalah 0.500001 makahasilinidikatakanakuratbilatorelansinya10-4. • Dari keadaanakuratdanpresisiini, akanmunculapa yang dinamakankesalahan(error).Dalamanalisanumerik, dimanapenyelesaiandihitungmenggunakannilai-nilaipendekatan, error menjadihal yang sangatpentingdandiperhatikan.

15. AnalisisGalat • Galatberasosiasidenganseberapadekatsolusihampirandengansolusisejatinya • Bagaimanagalattimbul • Bagaimanamenghitunggalat

16. Alur perhitungan Sumber-sumber galat : Galat yang ada pada input : Chopping error Rounding error Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak Input Proses Output

17. Galat yang ada pada proses : Rambatan galat Rumus/metode/algoritma tidak tepat Kesalahan alat Human error Galat pada output : Chopping error Rounding error

18. Misal x adalahnilaieksakdan x* adalahnilaipendekatan/hampiranmakagalat = x – x* Galatabsolut ? a = |x – x*| Galatabsolutrelatif ? Galatrelatifsejati r =

19. Misalnilaisejati 10/3 dannilaihampiran 3.333 • Hitunggalat, galatmutlakgalatrelatif, dangalathampiran! Galat = 10/3-3.333 = 10/3-3333/1000 = 1/3000= 0.000333… Galatmutlak=|0.000333…| = 0.000333… Galatrelatif = (1/3000)/(10/3) = 1/10000 = 0.0001

20. Galat RelatifHampiran • Dalampraktektidakdiketahuinilaisejati x, karenaitugalatseringkalidinormalkanterhadapsolusihampirannya, sehinggaseringdisebutgalatrelatifhampiran (ERA) • PendekatanLelaran (iteration) • 𝞮.ra = • Iterasiberhentijika |ERA| < Es

21. Contoh soal Misalkanprosedurlelaran Xr+1 = ( Misalkan x0 (nilaisejatidugaanawal) 0.94 danEs yang diinginkanadalah 0.000065 .berapakahnilaisejati yang dapatdipakaiuntukpengukuran?

22. Deret Taylor • Fungsikompleks disederhanakandenganbentukpolinom • Galatpadasolusinumerikharusdihubungkandenganseberapatelitipolinommenghampirifungsisebenarnya • Tool untukmembuatpolinomhampiranadalahderettaylor

23. Definisi Andaikan f danturunannya f’, f’’, f’’’ dst di dalamselang [a,b]. Misalkan x0makauntuknilainilai x disekitar x0 dan x 𝞮 [𝑎,𝑏] , f(x) dapatdiperluas (diekspansi) kedalamderettaylor : +…+… x x0

24. Definisi • Derettaylor = takberhingga • Jika a = 0 makaakanmenjadideretMacLaurin

25. contoh • Hampiri fungsi f(x) = sin x kedalamderettaylor di sekitar xo = 1 • f(x) = sin x • f’(x) = cos x • f’’(x) = - sin x • f’’’(x) = -cos x • Dst…. ++…

26. contoh • Bila dimisalkan x-1 = h, maka = 0.8415 + 0.5403h-0.4208 - 0.0901

27. Karenasuku-sukuderet Taylor tidakberhinggabanyaknya, maka -untukalasanpraktisderet Taylor dipotongsampaisukuordetertentu. Deret Taylor yang dipotongsampaisukuordeke-n dinamakanderet Taylor terpotongdandinyatakanoleh: yang dalamhalini, disebut galat atau sisa (residu).

28. Dengandemikianderet Taylor yang dipotongsampaisukuordeke-n dapatditulissebagai yang dalamhalini,

29. Sebagaicontoh, sin(x) padaContoh 2.1 jikadihampiridenganderet Taylor orde4 di sekitar x0 = 1 adalah:

30. Contoh. • DeretMacLaurin

31. Uraikancos(x) dalamderetMaclaurin! f(x) = cos(x), f ‘(x) = -sin(x), f “(x) = -cos(x), f “’(x) =sin(x), f’’’’(x) = cos(x), danseterusnya. DeretMaclaurin=

32. Deret Taylor & Deret MacLaurin • Deret Taylor di titik a • Jika a = 0 makaakanmenjadideretMacLaurin

33. Deret Taylor danderetMacLaurindapatdigunakandalamperhitunganuntukmencegahhilangnyaangkasignifikan Contoh. Untuk x = 0.5 maka sin 0.5 – 0.5 = 0.02057 (4 a.s) Diperoleh 0.02031 (4 a.s)

34. Macam-macam galat • Chopping error Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang diminta Contoh. x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimal x* = 0.378x103 galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103| = 0.000456x103 = 0.456

35. Round off error Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilai Contoh. x = 0.378546x103dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 galat a = |x – x*| = |0.378546x103 – 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454

36. Truncation error Galat yang munculakibatpemotongan proses hitungtakhingga, misalderet Taylor, deretMacLaurin Contoh.

37. GalatPemotongan(Truncation error) • Galatpemotonganmengacupadagalat yang ditimbulkanakibatpenggunaanhampiransebagaipengganti formula eksak, maksudnyaEkspresimatematika yang kompleksdigantidengan formula yang sederhana • Banyakmetodenumerikdiperolehdenganpenghampiranfungsiderettaylor. (pemotongannyapadaordetertentu)

38. menghampirigalatpemotonganinidenganrumussukusisa • Nilai Rn yang tepat hampir tidak pernah dapat kita peroleh, karena kita tidak mengetahuinilaic sebenarnyaterkecualiinformasibahwac terletakpadasuatuselangtertentu. Karenanyatugaskitaadalahmencarinilaimaksimumyang mungkindari|Rn|untukc dalamselang yang diberikanitu, yaitu:

40. Contoh Gunakanderet Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1 untukmenghampiriln(0.9) danberikantaksiranuntukgalatpemotonganmaksimum yang dibuat • Penyelesaian: Tentukanturunanfungsif(x) = ln(x) terlebihdahulu f(x) = ln(x)  f(1)=0 f ’(x) = 1/x  f ‘(1)=1 f “(x) = -1/f “(1) = -1 f ‘’’(x) = 2/f ‘’’(1) = 2

41. DeretTaylornyaadalah

42. dannilai Max |24/c5} di dalamselang 0.9 < c < 1 adalahpadac = 0.9 (denganmendasaripadafaktabahwasuatupecahannilainyasemakinmembesarbilamanapenyebutdibuatlebihkecil), sehingga • Jadiln(0.9) = -0.1053583 dengangalatpemotonganlebihkecildari 0.0000034.

43. Galattotal • Galatakhirataugalat total ataupadasolusinumerikmerupakanjumlahgalatpemotongandangalatpembulatan. MisalnyapadaContohsebelumnyakitamenggunakanderetMaclaurin orde-4 untukmenghampiricos(0.2) sebagaiberikut:

44. Nested form • Nested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat • Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3 f(0.25) = 4.521875 • Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4))) • f(0.25)=3.896875 • Galat yang terjadi 0.625

45. Hilangnya angka signifikan • Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik • Contoh. 13 = 13.0000 6 a.s 6 a.s 0.0385 3 a.s