METODE NUMERIK

1. METODE NUMERIK Fika Hastarita Rachman Semester Genap 2011/2012

2. Pembahasan • Definisi Umum • Metode Analitik vs Metode Numerik • Pendekatan dan Kesalahan • Sumber Kesalahan

3. Mengapa Metode Numerik • Seringkali beberapa persoalan matematika yang tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi. • Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya. • Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).

4. Ilustrasi Persoalan Matematik

5. Metode Analitik • metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim). • Metode analitik metode sebenarnya dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) solusi yang memiliki galat/error = 0. • Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas

6. Metode Numerik • Metode numerik = teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan / aritmatika biasa. • Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya / solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. • Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat / error. • Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik

7. Prinsip Metode Numerik • Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma – algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. • Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambah angrafis dan teknik perhitungan yang mudah. • Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhtungan. • Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan).

8. Tahap Pemecahan Persoalan • Pemodelan • Penyederhanaan model • Formulasi Numerik • Pemrograman • Operasional (uji coba) • Evaluasi

9. Sumber kesalahan • Kesalahan pemodelan contoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel • Kesalahan bawaan contoh: kekeliruan dlm menyalin data • salah membaca skala • Ketidak tepatan data • Kesalahan pemotongan (truncation error) • Kesalahan pembulatan (round-off error)

10. Pengantar • Setiap Manusia  ↓ Kesalahan • Kesalahan  ↑ ↑ Biaya  ↑ ↑ Korban, dll • Kesempurnaan  tujuan yang terpuji Masalah? (sangat jarang terjadi) • Contoh Kasus: Aproksimasi “best”  Hk. Newtons II Kecepatan benda jatuh = v2g.h BAGAIMANA KALAU ADA Angin?  Perubahan tekanan Udara?  Dimensi Benda? Deviasi (Penyimpangan)

11. Pendekatan dan Kesalahan • Angka Signifikan (Penting) • Akurasi dan Presisi • Definisi Kesalahan • Kesalahan Pembulatan • Kesalahan Pemotongan • Kesalahan Numerik Total (Kekeliruan, Kesalahan Formulasi, dan Ketidakpastian Data)

12. Sampai berapa besar kesalahan itu dapat ditolerir?

13. Angka Signifikan (AS) • Komputasi thd suatu bilangan  Bilangan hrs meyakinkan ? • Konsep angka signifikan  keandalan sebuah nilai numerik • Banyak angka signifikan  banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan • Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran • Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why? • Ketidakpastian kepastian, jk pakai notasi ilmiah How? 0,000123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 0,00123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 12.300  Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu berarti atau tidak…! 1,23 x 104  mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104  mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah) 1,2300 x 104  mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

14. “AS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik” “AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas”  (kesalahan pembulatan/round-off-error) Dua arti penting angka signifikan Angka Signifikan (AS)

16. Presisi Jumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaran Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alatyg mengukur suatu perilaku fisik tertentu Akurasi Dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yagn hendak dinyatakan Inakurasi (Tdk akurat) Simpangan sistematis dari kebenaran Akurasi dan Presisi Kesalahan  “mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari ramalan yang dilakukan”

18. Definisi Kesalahan • Kesalahan Numerik  Adanya aproksimasi Meliputi: • Kesalahan pemotongan (truncation error)  saat aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak. • Kesalahan pembulatan (round-off error)  ketika angka2 aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti. Sehingga, bisa dihubungkan: Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan • Bisa dikatakan: “Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi” Et = Harga sebenarnya – aproksimasi; Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan “sebenarnya”

19. Definisi Kesalahan • Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb: εa = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x100% Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan thd sebuah harga aproksimasi. Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num  “menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga yang sebenarnya”

20. Kesalahan / Galat

21. Terima Kasih