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  1. Vectores CAPÍTULO 7

  2. Contenidos • 7.1 Vectores en 2 Dimensiones • 7.2 Vectores en 3 Dimensiones • 7.3 Producto Escalar • 7.4 Producto Vectorial • 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones • 7.6 Espacios Vectoriales • 7.7 Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt

  3. 7.1 Vectores en 2 Dimensiones • Repaso de VectoresVuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.

  4. Fig 7.1 (Vectores geométricos)

  5. Fig 7.2 (Vectors equivalentes)

  6. Fig 7.3 (Vectores paralelos)

  7. Fig 7.4 (suma)

  8. Fig 7.5 (resta)

  9. Fig 7.6 (vectores de posición)

  10. Ejemplo 1 • Observe la Fig 7.7. Fig 7.7

  11. DEFINICIÓN 7.1 Sea a = <a1, a2>,b = <b1, b2> vectores en R2(i) Suma:a + b = <a1+ a2, b1+ b2> (1)(ii) Producto por un escalar: ka = <ka1, ka2>, k es un escalar (2)(iii)Igualdad:a = b si y sólo si a1 = b1, a2= b2(3) Suma, Producto por un Escalar, Igualdad a – b = <a1− b1, a2− b2> (4)

  12. Solución Gráfica • Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y resta de dos vectores.

  13. Ejemplo 2 Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a + 3b. Solución Usando (1), (2), (4), tenemos

  14. Propiedades • (i) a + b = b + a(ii) a + (b + c) =(a + b)+ c(iii) a + 0 = a(iv) a + (−a) = 0(v) k(a + b)=ka + kb k escalar(vi) (k1 + k2)a =k1a + k2a k1, k2escalares(vii) k1(k2a)=(k1k2)a k1, k2escalares(viii) 1a = a (ix) 0a = 0 = <0, 0> • 0 = <0, 0>

  15. Longitud, Norma • a =<a1, a2>, entonces Naturalmente, tenemos ||a||  0, ||0|| = 0

  16. Vector Unitaros • Un vector cuya norma vale 1 se denomina vector unitario.u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto que

  17. Ejemplo 3 • Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la misma direcciónu es y

  18. Los vectoresi, j • Si a = <a1, a2>, entonces (5)Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>,entonces(5) se transforma ena = a1i + a2j(6)

  19. Fig 7.10

  20. Ejemplo 4 • (i) <4, 7> = 4i + 7j(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j(iii) (iv) 10(3i – j) = 30i – 10j(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos y b = (3/2)a

  21. Ejemplo 5 Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b SoluciónFig 7.11

  22. 7.2 Vectores en 3 Dimensiones • RepasoVualva a la Fig 7.22 después de la Fig 7.24. • Fig 7.22

  23. Fig 7.23

  24. Fig 7.24

  25. Ejemplo 1 Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0). SoluciónFig 7.25.

  26. Formula de Distancia (1) • Fig 7.26

  27. Ejemplo 2 Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4) Solución

  28. Formula del Punto Medio (2)

  29. Ejemplo 2 Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4) SoluciónDe (2), tenemos

  30. Vectores en 3 Dimensiones • Fig 7.27.

  31. DEFINICIÓN 7.2 Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3(i) a + b = <a1+ b1, a2 + b2, a3 + b3>(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>(iii) a = b si y sólo si a1= b1, a2= b2, a3= b3 (iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>(v) a – b = <a1− b1, a2− b2, a3− b3>(vi) 0 = <0, 0, 0>(vi) Definiciones en 3 Dimensiones

  32. Fig 7.28

  33. Ejemplo4 Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3) Solución

  34. Ejemplo 5 • De la Definición 7.2, tenemos

  35. Los vectores i, j, k • i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j+ a3j

  36. Fig 7.29

  37. Ejemplo6a = <7, −5, 13> = 7i − 5j+ 13j Ejemplo7(a) a = 5i + 3kestá en el planoxz(b) Ejemplo8Si a = 3i − 4j+ 8k, b = i − 4k, hallar5a − 2b Solución5a − 2b = 13i − 20j + 48k

  38. 7.3 Producto Escalar DEFINICIÓN 7.3 El producto escalar de a y b es el escalar (1)donde  es el ángulo que forman los vectores 0    . Producto Escalar de Dos Vectores

  39. Fig 7.32

  40. Ejemplo 1 • De (1) obtenemosi  i = 1, j  j = 1, k  k = 1 (2)

  41. Producto Escalar en Forma de Componentes (3) (4) • Fig 7.33

  42. Fig 7.33

  43. Ejemplo 2 • Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces

  44. Propiedades • (i) a  b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0(ii) a  b = b  a(iii) a (b + c)= a  b +a  c (iv) a (kb)= (ka) b = k(a  b)(v) a  a  0(vi) a  a = ||a||2

  45. TEOREMA 7.1 Dos vectores no nulosa yb son ortogonalessi y sólosi a  b = 0. Criterio de Vectores Ortogonales Orthogonal Vectors • (i) a  b > 0 si y sólosiesagudo(ii) a  b < 0 si y sólosiesobtuso(iii) a  b = 0 si y sólosicos = 0,  = /2 • Observación: Como 0  b = 0, decimosque el vector nuloesortogonal a todos los vectores.

  46. Ejemplo 3i, j, k son vectores ortogonales.i j = j  i = 0, j k = k  j = 0, k i = i  k = 0 (5) Ejemplo 4Si a = −3i −j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entoncesa  b = –6 – 14 + 20 = 0Son ortogonales.

  47. Ángulo que Forman Dos Vectores (6)

  48. Ejemplo 5 Hallar el ángulo entrea = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k. Solución

  49. Cosenos Directores Observando la Fig 7.34, los ángulos, , se llamanángulosdirectores. Ahorapor (6) decimosquecos, cos, cosson cosenosdirectores, y cos2 + cos2 + cos2= 1

  50. Fig 7.34