1 / 25

Cours 4-a Méthode des éléments finis 2D

Cours 4-a Méthode des éléments finis 2D. Généralités Technique d’affaiblissement en 2D et 3D Approximation d’un élément triangulaire simple : T3 Intégration des termes de contour Application à la thermique : ailette de refroidissement. Réaliste mais complexe. Basique et/mais simple.

bernad
Télécharger la présentation

Cours 4-a Méthode des éléments finis 2D

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Cours 4-aMéthode des éléments finis 2D • Généralités • Technique d’affaiblissement en 2D et 3D • Approximation d’un élément triangulaire simple : T3 • Intégration des termes de contour • Application à la thermique : ailette de refroidissement NF04 - Automne - UTC

  2. Réaliste mais complexe Basique et/mais simple Passage 3D 2D 1D 3 dimensions caractéristiques = aucune négligeable 2 dimensions caractéristiques = 1 négligeable 2D-Plan ou 2D-axi 1 dimension caractéristique = 2 négligeables Le choix dépend du degré de réalisme recherché mais aussi du phénomène que l’on souhaite étudier, car tout est 3D dans la nature ! NF04 - Automne - UTC

  3. Équation de la chaleur en 2D • Équation d’équilibre thermique : • Conditions aux limites : • Domaine : A (Aire) NF04 - Automne - UTC

  4. Normale extérieure au domaine Formes intégrales en 2 dimensions (2D) Démarche identique au cas 1D • Pondération et intégration : • Intégration par parties : Propriété k isotrope (simplification volontaire) Car 2D On l’élimine par la suite Important : à l’issue de ces 2 étapes, vérifier que chacun des termes de W est toujours un scalaire ! NF04 - Automne - UTC

  5. Termes de contour : C. aux L. naturelles Écriture formelle de W : Où : Triangle à 3 nœuds : T3 Barre Cauchy Terme qui sera éliminé par la prise en compte des conditions de Dirichlet ! Barre Neumann NF04 - Automne - UTC

  6. Maillage 2D : exemple Eléments barre Convention : sens de lecture des nœuds = sens trigonométrique NF04 - Automne - UTC

  7. Formes intégrales élémentaires Avec : NF04 - Automne - UTC

  8. Élément triangulaire à 3 nœuds : T3 Sens de lecture des nœuds ! Ae NF04 - Automne - UTC

  9. Choix des fonctions d’approximation • Approximation par éléments finis : • Fonctions d’approximation linéaires : (équation d’un plan) Astuce : utiliser le triangle de Pascal pour choisir la forme de l’approximation NF04 - Automne - UTC

  10. Calcul des fonctions d’approximation • On applique la relation générale : Soient les 3 systèmes à 3 équations suivants à résoudre : NF04 - Automne - UTC

  11. Calcul des fonctions d’approximation • Après résolution des 3 systèmes : Avec : (Aire de l’élément) NF04 - Automne - UTC

  12. Calcul de la surface élémentaire • La surface élémentaire d’un triangle quelconque se calcule à l’aide d’un simple produit vectoriel NF04 - Automne - UTC

  13. Illustration des fonctions d’approximation NF04 - Automne - UTC

  14. Reconstruction globale à partir d’approximations élémentaires L’approximation par éléments finis T3 assure la continuité inter-éléments sur la variable inconnue mais pas sur ses dérivées ! NF04 - Automne - UTC

  15. Calcul des formes intégrales discrètes • Pour rappel, la forme élémentaire à discrétiser est : • Le terme de gradient est déduit de l’approximation sur T : • avec [B] : matrice gradient • De même pour le gradient de la fonction-test. NF04 - Automne - UTC

  16. Suite … • La forme élémentaire s’écrit alors : Si f =f(x,y), on considèrera : • Pour l’élément T3, la matrice [B] est composée de constantes, d’où : Avec : • Intégration rendue possible (!!) soit : • Par changement de variables (prochain cours) • Intégration numérique (prochain cours) NF04 - Automne - UTC

  17. S : abscisse curviligne Traitement des termes de contour : Neumann • La ou les conditions de Neumann sont « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. • Les fonctions sont (cf cours « Eléments finis 1D ») : Soit : NF04 - Automne - UTC

  18. S : abscisse curviligne Traitement des termes de contour : Cauchy • La ou les conditions de Cauchy sont aussi « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. Soit : NF04 - Automne - UTC

  19. Assemblage NF04 - Automne - UTC

  20. Traitement des termes de contour : Dirichlet • Ces conditions sont introduites dans le système en TOUTE DERNIERE ETAPE : • Par la méthode du terme unité sur la diagonale ou • Par la méthode du terme diagonal dominant ou • Par élimination de la ligne et colonne correspondante (hors NF04). Ces méthodes sont analogues au cas 1D (cf cours « Eléments finis 1D ») NF04 - Automne - UTC

  21. Application : ailette de refroidissement • Modèle physique + maillage Table des coordonnées : Table des connectivités : f=0 Flux nul NF04 - Automne - UTC

  22. Calcul des matrices et vecteurs élémentaires • Elément T3 n°1 : • Elément T3 n°2 : NF04 - Automne - UTC

  23. Calcul des matrices et vecteurs élémentaires • Elément Neumann n°3 : • Elément Cauchy n°4 : NF04 - Automne - UTC

  24. Phase d’assemblage • Connectivités : • Matrice globale : • Vecteur global : NF04 - Automne - UTC

  25. Application : ailette de refroidissement • Résolution et post-traitement Affichage des champs de couleurs NF04 - Automne - UTC

More Related