1 / 31

Aljabar Linear

Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor ( Perkalian vektor-lanjutan ). Pembahasan. Perkalian Cross (Cross Product) Model cross product Sifat cross product. Pendahuluan.

beyla
Télécharger la présentation

Aljabar Linear

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Erna Sri Hartatik Aljabar Linear Pertemuan 3 AljabarVektor (Perkalianvektor-lanjutan)

  2. Pembahasan • Perkalian Cross (Cross Product) • Model cross product • Sifatcross product

  3. Pendahuluan • Selain dot product adafungsiperkalian product lain dalamvektoryaitu cross product yang menghasilkansuatuvektor , dan scalar triple product untukperkaliantigabuahvektor yang menghasilkannilai scalar • Tiap model perkalianvektormemilikitujuan yang berbeda-beda, tergantungkebutuhan • Dan tiapperkalianvektordapatdigunakanolehvektor 2 dimensimaupun 3 dimensi

  4. Perkalian Cross(CROSS PRODUCT)

  5. Pengertian : …… • Cross product dari 2 buahvektoradalahsuatuvektorbaru yang besarnyasamadenganluasjajarangenjang yang diapitolehkeduavektortersebut, arahnyategaklurusbidang yang dibentukolehkeduavektor • Hasil kali titikduabuahvektormenghasilkanskalar, sedangkanhasilkalisilangataucross product antaraduabuahvektormenghasilkansebuahvektor yang tegakluruspadakeduavektortersebut. Perkaliansilangantaraduabuahvektorhanyaberlakuuntukvektor-vektordiruang.

  6. Kegunaan • Secarageometris, hasilperkaliansilangantaraduabuahvektormerupakanluasdaribangunsegiempat yang dibentukolehkeduavektortersebut. Sifatinidapatditurunkandaripersamaanlagrange. • Untukitu, kitadapatmenghitungluasbangunsegibanyak yang terletakdiruang , denganmenggunakanperkaliansilangantaraduavektor.

  7. C = A x B B θ A B θ A C = B x A Visualisasi Cross Product • Perkalian Silang (Cross Product) Hasilnyavektor Catatan : Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ

  8. Sifat – sifat Cross Product

  9. RumusUmum v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol

  10. RumusKomponen Jikadiketahui 2 buahvektor : a = [a1,a2,a3] danb = [b1,b2,b3], makapersilanganantarkeduanyav = a x b, menghasilkan v = [v1,v2,v3] dimana: v x w = Shg: v1=a2.b3 - a3.b2 v2=a3.b1 – a1.b3 v3 = a1b2 – a2.b1

  11. Vektori,j,kdisebutvektorsatuanstandar • Misal v sebarangvektordi R3berarti v=(v1,v2,v3) v=v1(1,0,0)+v2(0,1,0)+v3(0,0,1) v=v1i + v2j + v3k  uxv = i(1,0,0) j(0,1,0) k(0,0,1)

  12. HubunganPerkalianTitikdenganPerkalianSilang • Jikau,v,wvektordi R3berlaku • u.(vxw) = 0 jika u(uxv) • v.(uxv) = 0 jika v(uxv) • ||uxv||2 = ||u||2||v||2 – (u.v)2 • ux(vxw) = (u.w).v – (u.v).w • (uxv)xw = (u.w).v – (v.w).u

  13. Contoh soal • Diketahuiu = (1, 2, -2) danv=(3, 0, 1) denganmenggunakankoordinattangankanan, hitunglah v = u x v !

  14. Jawab: u x v = =

  15. Parallelogram • Jika u dan v vektordengantitikasalsamamaka ||uxv|| merupakanluasdaerah parallelogram yang ditentukanolehuxv. • Luasjajarangenjang PQRS = alasxtinggi = ||u|| ||v|| sinθ = ||uxv|| • Luassegitiga PQS = ½ luasjajarangenjang = ½ ||uxv|| S R v  ||v|| ||v||sinθ parallelogram θ P u  ||u|| Q

  16. Hargamutlakdarideterminanadalah samadenganluas parallelogram di R2 yang ditentukanolehvektor u=(u1u2) dan v=(v1,v2) • Hargamutlakdarideterminan adalahsamadengan volume parallelogram di R3 yang ditentukanolehvektor u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2), dan w=(w1,w2,w3)

  17. Contohsoal 2: Diberikansebuahsegitiga ABC dengantitiksudut A ( 2, -3, 1 ), B ( -1,4,-1 ) dan C (2,0,3 ). Hitungluassegitigatersebut. • Jawab : Misalu danv berturut-turutmerupakanvektorposisidariruasgaris AB dan AC.

  18. VektorOrtogonal • Misalu,vvektordi R2/R3/Rn, maka u dikatakantegaklurus v atau u disebutvektorortogonal, jikau.v=0

  19. ProyeksiOrtogonal • Diberikanvektor a0 danvektor u0 w1+w2 = u w1 = u-w2 • Vektor w1disebutproyeksiortogonalvektor u padavektor a (w1=Projau) • Vektor w2disebutkomponenvektor u yang tegaklurusvektor a (w2=u-Projau) w2 u a w1

  20. Jika a vektordi R2/R3dan a0 maka w1 = Projau = w2 = u-Projau =

  21. Ex: u=(2,-1,3) dan a=(4,-1,2) TentukanProjaudan ||Projau|| ! Penyelesaian: u.a = (2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2) = 15 ||a||2 = 16+1+4 = 21 w1 = Projau = 15/21.(4,-1,2) = ||w1|| =

  22. SCALAR TRIPLEPRODUCT

  23. Scalar Triple Product

  24. Sifat Hasil Kali Triple Scalar

  25. Latihan (1) 1. Diketahuia = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan ( bilaterdefinisi /mungkin ) : a. a x (b - 2 c) c. a x b x c b. a·b x c 2. Carilahsebuahvektor yang tegaklurusterhadapu danv bila a. u = (-1,2,-3) danv = (0,2,4) b. u = (4,-2,1) danv = (0,2,-1) . 3. Hitungluassegitiga ABC biladiketahuititik-titiksudutnya. a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 ) b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )

  26. Summary • Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah tangan kanan

  27. TUGAS Di kumpulinhariinijuga !!!!

  28. 1. JikaA = A1i+A2j+A3k,B = B1i+B2j+B3k, dan C = C1i+C2j+C3k, perlihatkanbahwa A.(BxC)= 2. Besarvektor A dan B berturut-turutadalah 5 dan 4, sebagaimanatampakpadagambardibawah. Sudut yang terbentukadalah 90o. Hitunglahperkaliantitikkeduavektortersebut…

  29. 3. Carilah x dan y biladiketahuivektor [4,y]=x[2,3] 4. a. tentukana.bbiladiketahui a=[2, -3,6] dan b=[8,2,-3] b. Tentukanjarak AB biladiketahui A=[2,4,0] dan b=[-1,-2,1] c. Tentukan K agar a=[1,K,-2,5] mempunyaipanjang39 5. Carilahu.vdantentukansudutnya  • U=[1,-5,4] v=[3,3,3] • U=[-6,2] v=[4,0]

  30. A = 2i – 2j + 4k B = i – 3j + 2k 6. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini : 7. Anggap u=[3,2,-1] dan v=[0,2,-3] dan w=[2,6,7], hitunglah: • (u x v)x w • U x (v-2w)

  31. SelamatMengerjakan

More Related