1 / 37

BAB 6 PEMBEZAAN DAN PENGAMIRAN BERANGKA

BAB 6 PEMBEZAAN DAN PENGAMIRAN BERANGKA. PEMBEZAAN BERANGKA TERBITAN PERTAMA TERBITAN KEDUA PENGAMIRAN BERANGKA PETUA TRAPEZIUM PETUA SIMPSON KAMIRAN ROMBERG KUADRATUR GAUSS. PEMBEZAAN BERANGKA. Tujuan Penggunaan: mendptkan terbitan: bg fungsi f(x) yg agak sukar

bina
Télécharger la présentation

BAB 6 PEMBEZAAN DAN PENGAMIRAN BERANGKA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB 6PEMBEZAAN DAN PENGAMIRAN BERANGKA PEMBEZAAN BERANGKA TERBITAN PERTAMA TERBITAN KEDUA PENGAMIRAN BERANGKA PETUA TRAPEZIUM PETUA SIMPSON KAMIRAN ROMBERG KUADRATUR GAUSS

  2. PEMBEZAAN BERANGKA • Tujuan Penggunaan: • mendptkan terbitan: • bg fungsi f(x) yg agak sukar • fungsi f(x) tidak diketahui dan hanya di beri maklumatnya dlm bentuk jadual (set data) • Jenis Pembezaan: • Terbitan Pertama • Terbitan Kedua • Jenis Kaedah yg digunakan: • Terbitan Pertama • Rumus Beza Depan,Beza Belakang (n=2,n=3,n=5) • Rumus Beza Tengah (n=3,n=5) • Terbitan Kedua • Rumus Beza Tengah (n=3,n=5)

  3. TERBITAN PERTAMA • n=2 • Rumus Beza Depan • Rumus Beza Belakang

  4. contoh i 0 1 2 3 x 0.5 1.0 1.5 2.0 f 0.25 1.0 2.25 4.0 Dapatkan f’(1.0) dgn h = 0.5 menggunakan rumus beza depan 2 titik dan beza belakang 2 titik. Penyelesaian : Rumus beza depan 2 titik f’(x) = f(x+h) – f(x)f’(1.0) = f(1.5) – f(1.0) h 0.5

  5. f’(1.0) = 2.25 – 1.0 0.5 = 2.5 Rumus beza belakang 2 titik f’(x) = f(x) – f(x-h)f’(1.0) = f(1.0) – f(0.5) h 0.5 f’(1.0) = 1.0 – 0.25 0.5 = 1.5

  6. TERBITAN PERTAMA • n=3 • Rumus Beza Depan • Rumus Beza Belakang • Rumus Beza Tengah

  7. contoh i 0 1 2 3 4 x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 f 0 0.25 1.0 2.25 4.0 Dapatkan f’(1.0) dgn h = 0.5 menggunakan rumus beza depan 3 titik dan beza belakang 3 titik. Penyelesaian : Rumus beza depan 3 titik f’(x) = 1 [-3f(x)+4f(x+h)- f(x+2h) 2h

  8. f’(1.0) = 1 (-3(1.0) +4(2.25) – 4.0 2(0.5) = 2.0 Rumus beza belakang 2 titik f’(x) = 1 [3f(x)- 4f(x-h)+ f(x-2h) 2h f’(1.0) = 1 (3(1.0) -4(0.25) + 0.0) 2(0.5) = 2.0

  9. TERBITAN PERTAMA • n=5 • Rumus Beza Tengah • Rumus Beza Depan

  10. TERBITAN KEDUA • n=3 • Rumus Beza Tengah • n=5 • Rumus Beza Tengah

  11. contoh Diberi f(x) = x3, dapatkan f’(2.0) dengan h = 0.1 menggunakan rumus beza depan 2 titik & 3 titik Penyelesaian: Buat jadual sendiri utk nilai x yg berkaitan. I 0 1 2 X 2.0 2.1 2.2 F

  12. PENGAMIRAN BERANGKA (KUADRATUR) • Pengamiran tentu f(x) berbentuk • Tujuan: • mendptkan kamiran: • bg fungsi kamiran f(x) yg agak sukar • fungsi kamiran f(x) tidak diketahui dan hanya di beri maklumatnya dlm bentuk jadual (set data)

  13. Jika f(x) adalah fungsi selanjar pd selang [a,b] maka kamiran tentu mewakili luas di bawah graf y=f(x) yg dibatasi oleh paksi x, garis x=a dan garis x=b y=f(x) a b

  14. Kaedah yg akan dibincangkan merupakan kaedah utk menganggarkan luas tersebut sbg penghampiran kpd • kaedah yg selalu digunakan ialah: • Kaedah Newton-Cotes. Terdiri drpd: • Petua Trapezium • Petua Simpson • Kamiran Romberg • Kuadratur Gaussan

  15. Jika dlm kaedah interpolasi, f(x) dpt dihampiri dgn polinomial penghampiran Pn(x), maka dgn pengamiran tentu: dpt dihampiri olh utk sebarang sub selang di dlm selang [a,b] • Penghampiran ini menjadi hampir tepat jika ralat e=[f(x)-pn(x)] di dlm selang (xk,xk+1) cukup kecil

  16. y=f(x) a b PETUA TRAPEZIUM • Rumus Petua Trapezium

  17. PETUA TRAPEZIUM y=f(x) • Menggunakan penghampiran polinomial interpolasi linear p1(x) atau garis lurus terhadap fungsi f(x) yg hendak dikamirkan • Rumus Petua Trapezium gubahan dgn n sub selang a b

  18. contoh 2 Nilaikan kamiran x3 + 1.dx dengan bilangan selang,N=4. Gunakan petua trapezium 1 Penyelesaian: N=4, a=1, b= 2 N=(b-a)/h  h = (b-a)/N h = (2-1)/4 h = 0.25 Bina jadual bagi nilai yang diperlukan k 0 1 2 3 4 x 1 1.25 1.5 1.75 2 f(x) 2 2.9531 4.375 6.3594 9

  19. Gunakan rumus trapezium bg n sub-selang h[f0 +f4 + 2(f1+f2+f3)] 2 = 0.25 [2+ 9 + 2(2.9531+ 4.375 +6.3594) 2 = 4.7969

  20. PETUA SIMPSON • Ia menggunakan penghampiran interpolasi kuadratik P2(x) (atau parabola) terhadap fungsi f(x) yg hendak dikamirkan • Rumus Petua Simpson • Rumus Petua Gubahan Simpson • Ada 2 jenis: • Gubahan satu-pertiga • Gubahan tiga-perlapan

  21. Rumus Petua Gubahan Simpson satu-pertiga • Rumus Petua Gubahan Simpson tiga-perlapan N/3 (N/3)-1

  22. contoh 2 Nilaikan kamiran x3 + 1.dx dengan bilangan selang,N=4. Gunakan petua SIMPSON 1/3 1 Penyelesaian: N=4, a=1, b= 2 N=(b-a)/h  h = (b-a)/N h = (2-1)/4 h = 0.25 Bina jadual bagi nilai yang diperlukan k 0 1 2 3 4 x 1 1.25 1.5 1.75 2 f(x) 2 2.9531 4.375 6.3594 9

  23. Gunakan rumus SIMPSON 1/3 bg 4 sub-selang h[f0 +f3 + 4(f1)+2(f2)] 3 = 0.25 [2+ 9 + 4(2.9531+ 6.3594)+2(4.375)] 3 = 4.75

  24. contoh Nilaikan kamiran x3 + 1.dx dengan bilangan selang,N=3. Gunakan petua SIMPSON 3/8 Penyelesaian: N=3, a=1, b= 2 N=(b-a)/h  h = (b-a)/N h = (2-1)/3= 0.333 Bina jadual bagi nilai yang diperlukan k 0 1 2 3 x 1 1.3333 1.6667 2 f(x) 2 3.3702 5.6299 9

  25. Gunakan rumus SIMPSON 3/8 bg 3 sub-selang 3h[f0 +f4 + 3(f1+f2)+] 8 = 3(0.3333) [2+ 9 + 3(3.3702+ 5.6299)+ )] 8 = 4.7496

  26. KAMIRAN ROMBERG • Berdasarkan kaedah ekstrapolasi Richardson dan penggunaan Petua Trapezium sbg penghampiran awal • Penyelesaian adalah dgn mendapatkan nilai bagi Ri,1 dan seterusnya Ri,j • Susunan nilai yg dikira digambarkan seperti rajah berikut. • Kiraan ditamatkan apabila bagi suatu nilai  yang ditetapkan dan ambil sebagai penghampiran terbaik

  27. Rumus Romberg bg mendptkan Ri,1: • Rumus Romberg bg mendptkan Ri,j: • Penggunaan Kamiran Romberg tidak melibatkan kiraan yg rumit tetapi hanya menggunakan nilai sebelum utk mendapatkan nilai yg baru

  28. R i,1 h R i,2 R i,3 i R 1,1 1 h1 h2 2 y=f(x) a b R 2,1 R 2,2 h3 R 3,1 R3,2 R 3,3 3

  29. KUADRATUR GAUSSAN • Rumus Newton-Cotes dan Kamiran Romberg diperolehi berdasarkan beza antara x yang seragam. • Tetapi penghampiran pengamiran menjadi lebih tepat jika titik sampling (x) yg bersesuaian dipilih. (beza selang mungkin tidak seragam) • Justeru itu kaedah kaudaratur gaussan memenuhi penyelesaian ini.

  30. f(x2) f(x1) x2 a x1 b ilustrasi f(b) f(a) a b petua trapezium Petua gauss

  31. 1 n å ò » f ( t ) dt  f ( x ) i i = 1 i - 1 1 2 å ò » = 1f(x1) + 2f(x2) f ( t ) dt  f ( x ) i i = 1 i - 1 Nilai  dan x bergantung kepada nilai n • Bentuk am rumus kuadratur gauss: Ketepatan nilai hampiran bergantung kpd polinomial berdarjah paling tinggi 2n-1 Jika n = 2 ( 2 titik), rumus tersebut adalah Polinomial paling tinggi berdarjah 3 dpt digunakan sebagai penghampiran Dgn mengambil f(t) = 1, t, t2, t3 kita perolehi

  32. f(t) = 1 1f(x1) + 2f(x2) = ò f(t).dt = ò 1.dt = 2 1 1 -1 -1 f(t) = t 1f(x1) + 2f(x2) = ò f(t).dt = ò t.dt = 0 1 1 -1 -1 f(t) = t2 1f(x1) + 2f(x2) = ò f(t).dt = òt2.dt = 2/3 1 1 -1 -1 f(t) = t3 1f(x1) + 2f(x2) = ò f(t).dt = òt3.dt = 0 1 1 -1 -1  1+ 2 = 2  1 x1 + 2 x2 = 0  1 x12+ 2 x22 = 2/3  1 x13+ 2 x23 = 0

  33. Diperolehi 1= 2 = 1 X1 = -1/3 = -0.5774 X2 = 1/3 = 0.5774 Maka rumus kuadratur Gauss 2 titik ialah 1 ò » f ( t ) dt f ( -0.5774) + f(0.5774) ) - 1 f(1/3) f(-1/3) -1/3 -1/3 -1 0 1

  34. Perhatikan, batas dalam rumus diatas ialah [-1, 1]. Jika diberi masalah dalam sebarang batas [ a, b]. Penukaran batas perlu dilakukan dari [a, b] - ][-1, 1] seperti berikut:-

  35. Contoh Nilaikan ex .dx dengan menggunakan kamiran gauss 2 titik 0.3 ò 0.1 Penyelesaian: • tukarkan batas • a = 0.1, b= 0.3  x = b-a t + b+a • 2 2 •  x = (0.2/2)t + (0.4/2) •  x = 0.1 t + 0.2 • dx = ((b-a)/2) dt  0.1dt • Gantikan ke dalam persamaan • f(x) .dx  0.1 f(0.1t+0.2).dt 1 0.3 ò ò -1 0.1

  36. 1 1 1 ò ò 0.1 e0.1t+0.2 .dt 0.1 f(0.1t+0.2).dt » - - 1 1 1 ò » f ( t ) dt f ( -0.5774) + f(0.5774) ) -1 0.1[e0.1(-0.5774)+0.2 + e0.1(0.5774)+0.2 ] » Guna rumus gauss 2 titik » 0.2447

  37. Rumus Kuadratur Gauss 3 titik Rumus diperolehi sama seperti sebelum ini Polinomial paling tinggi berdarjah 5 (2n-1) dpt digunakan sebagai penghampiran Dgn mengambil f(t) = 1, t, t2, t3,t4, t5 kita perolehi 1 3 å ò » = 1f(x1) + 2f(x2) + 3f(x3) f ( t ) dt  f ( x ) i i = 1 i - 1 1= 3= 5/9 = 0.5556 , 2 = 8/9= 0.8889 -x1 = x3 = 3/5 = 0.7746 , x2 = 0

More Related