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Technique des Plans d’Expériences

Technique des Plans d’Expériences. 1. Introduction. Introduction . Exemple Concepts Plan 2 k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple.

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Technique des Plans d’Expériences

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  1. Technique des Plans d’Expériences 1

  2. Introduction Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Stratégie de recherche pour répondre à un certain nombre de questions : • Comment sélectionner les expériences à faire ? • Quelle est la meilleure stratégie pour : • conduire le plus rapidement possible aux résultats espérés ? • éviter des expériences inutiles ? • apporter une bonne précision ? • modéliser et optimiser des phénomènes étudiés ? Un plan d'expériences peut être utilisé comme une méthode d'optimisation, pour trouver une ou des solutions au problème posé, mais aussi comme une étape préliminaire à l’optimisation et a alors pour objectif le choix des variables à optimiser et des fonctions à prendre en compte dans une formulation mathématique classique pour résoudre le problème par une méthode de gradient par exemple. 2

  3. Le problème des pesées Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Le Problème des Pesées (Hotelling 1944) Un résultat statistique est totalement dépendant de l’expérimentation.  illustration par l’exemple de la pesée… 3

  4. La question et le matériel expérimental Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • La question • Déterminer les masses de trois objets A, B et C en quatre pesées et avec un maximum de précision. • Le matériel expérimental • Une balance à deux plateaux à équilibrer avec des poids. 4

  5. Les hypothèses Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Chaque pesée est entachée d’une erreur e : • Y = m + e • L’ordre de grandeur de l’erreur de pesée est constant quelque soit l’objet à peser : • Variance (e) = s² • Les pesées ne sont pas liées entre elles : • Covariance (Yi, Yj) = 0 • En l’absence d’objet sur la balance l’aiguille n’est pas forcément sur zéro. Il y a un « biais systématique ». • Chaque pesée coûte 100€ 5

  6. STRATEGIE 1 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On pèse un objet à la fois Matrice d’expérience 0 : l’objet n’est pas sur la balance 1 : l’objet est sur le plateau de droite -1 : l’objet est sur le plateau de gauche 6

  7. STRATEGIE 1 Estimation des masses des objets Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 7

  8. STRATEGIE 1 Quelle est la précision des mesures ? Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 8

  9. Comment obtenir une meilleure précision ? Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 9

  10. STRATEGIE 2 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On pèse deux objets à la fois Matrice d’expérience 10

  11. STRATEGIE 3 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On pèse trois objets à la fois Matrice d’expérience 11

  12. STRATEGIE 4 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple La première pesée est inversée Matrice d’expérience 12

  13. Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Avec la quatrième stratégie la précision est 8 fois meilleure qu’avec la première sans pour autant augmenter le nombre d’essais, • On comprend intuitivement qu’il n’est pas possible d’améliorer davantage la précision (tous les objets participent à chaque essai), • La limite inférieure de la précision est s²/n où n désigne le nombre d’essais, • On démontre que la précision est en relation directe avec la matrice tXX où X est la matrice d’expérience, • Pour la stratégie optimale cette matrice vérifie la relation : tXX = nI où I est la matrice d’identité. 13

  14. Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Stratégie 1 Stratégie 2 Stratégie 3 Stratégie 4 • une matrice « pleine » de 1 est préférable : tous les facteurs varient à la fois, • meilleure stratégie  matrice équilibrée (Nb objets à G = Nb objets à D) ; tous les niveaux sont présents en nombre égal de fois dans les colonnes, • entre deux colonnes toutes les permutations de niveaux sont présentes •  le plan d’expérience est orthogonal La qualité de l’estimation dépend de la matrice d’expérience 14

  15. Stratégie 1 Stratégie 2 Stratégie 3 Stratégie 4 Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 15

  16. Reformulation du problème des pesées Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple (Reformulation / transposition du problème des pesées) Mauvaise Optimale 16

  17. Concept et Définitions Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Constat : Les problèmes d’optimisation, de caractérisation ou de mise au point de procédés, de méthodes, …, sont souvent associés à la conjonction de plusieurs paramètres ayant une influence sur la réponse. La grandeur d’intérêt Y ou réponse est une fonction de plusieurs variables Xi que l’on appelle facteurs. Y = f (X1, X2,…, Xn) Étude du phénomène ≡ mesure de la réponse en fonction de différentes valeurs ou niveaux des facteurs. On effectue des essais pour mettre en évidence les effets de chacun des paramètres sur la réponse. Les facteurs peuvent êtres ensuite fixés aux niveaux qui optimisent la réponse. 17

  18. Concept et Définitions Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Expérimentation « bidouille » Variation un à un des paramètres • Méthode lourde si paramètres et/ou niveaux nombreux, • souvent employée car l’analyse des résultats est simple. Expérimentation méthodique Variation des niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience • diminution du nombre d’essais • étude d’un grand nombre de facteurs • détection des interactions entre facteurs • obtention de la meilleure précision possible • obtention d’un modèle du système • analyse rigoureuse conduisant + rapidement aux résultats espérés Les plans d’expériences 18

  19. Continu Discret quantitatif qualitatif Concept et Définitions Vocabulaire Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Facteur : variable qui agit sur le système. Réponse : grandeur que l’on mesure pour connaître l’effet des facteurs sur le système. Facteur significatif : facteur qui modifie la réponse lorsqu’on le modifie. Niveau d’un facteur : valeur que prend un facteur au cours des essais. Définition Un plan complet consiste à étudier toutes les combinaisons possibles des facteurs pris en considération dans l’expérience. Plan Xk k facteurs à X niveaux • Si 3 facteurs à 2 niveaux alors le plans 23 23 = 8 expériences • Si 3 facteurs à 2 niveaux et 2 facteurs à 4 niveaux alors le plans complet comporte 23  42 = 128 expériences Plan 2k plan factoriel dont les k facteurs ne possèdent que 2 niveaux. 19

  20. Plan factoriel complet 2k Le domaine expérimental Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Le domaine de validité de l’expérience correspond aux limites raisonnables de variation des facteurs. Il y a deux écueils à éviter : • niveaux trop proches  pas d’effet significatif sur les facteurs • niveaux trop éloignés  mise en défaut de l’hypothèse de linéarité Choix aux effets antagonistes 20

  21. Plan factoriel complet 2k Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Stratégie de mise en place d’un plan : 1 – Rechercher l’ensemble des facteurs influents sur le système. 2 – Trier entre les facteurs contrôlés et non contrôlés (bruits). 3 – Sélectionner les facteurs contrôlés à retenir pour l’expérience (les autres seront figés au cours des essais). 4 – Définir le domaine de variation de chacun des facteurs. 5 – Faire le plan. 6 – Évaluer les dispersions des résultats (répétition d’essais où tous les facteurs sont figés). 7 – Dépouiller et interpréter (effets, interactions, signification des effets…). 21

  22. Exp Exp X1 X1 X2 X2 Réponse : Yrep 1 -1 -1 y1 1 -1 -1 2 +1 -1 y2 2 +1 -1 3 -1 +1 y3 3 -1 +1 4 4 +1 +1 +1 +1 y4 Concept et Définitions La matrice d’expérience tableau indiquant : Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • le nombre d’expérience à réaliser, • la façon de faire varier les facteurs, • l’ordre de réalisation des expériences. Ici pour ce plan 22, le niveau bas est codé à l’aide du nombre -1 et le niveau haut à l’aide du nombre +1. (notation de Yates) La matrice d’expérience et des réponses 22

  23. Effets global et moyen d’un facteur Cas d’un seul facteur Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • effet global d'un facteur (sur la réponse) : variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. • effet moyen d'un facteur (sur la réponse) : demi-variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. effet moyen = moitié de l'effet global. Effet global de X1 : y2 - y1 Effet moyen de X1 : Effet au centre : (moyenne des réponses) 23

  24. Effets global et moyen d’un facteur Cas de deux facteurs Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • L'effet moyen de X1 : demi-variation de la réponse lorsque X1 passe de -1 à +1. • Or, pour chacun des niveaux de X1, il y a 2 expériences •  travail à partir des réponses moyennes. • Réponse moyenne quand X1 est au niveau –1 : • Réponse moyenne quand X1 est au niveau +1 : • Effet moyen de X1 Effet moyen de X1 : Effet global de X1 : 24

  25. Effets global et moyen d’un facteur Cas de deux facteurs Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Rép. moyenne quand X2 est au niveau –1 : • Rép. moyenne quand X2 est au niveau +1 : • Effet moyen de X2 • Réponse théorique pour X2 = 0 (au centre de son domaine de variation) : moyenne des réponses observées aux niveaux -1 et +1 25

  26. Notion d’interaction entre facteurs Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Il y a interaction entre deux facteurs si l’effet moyen de l’un varie suivant le niveau de l’autre. • Il y a distorsion de la surface de réponse. La distorsion est d’autant plus importante que l’interaction est grande. • ou • Il existe une interaction entre 2 facteurs A et B si l’effet du facteur A sur la réponse dépend du niveau du facteur B et réciproquement. 26

  27. Notion d’interaction entre facteurs Calcul de l’interaction X1X2 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple L’interaction est considérée comme un nouveau facteur et l’effet moyen de l’interaction est la ½ variation de l’effet moyen de X2 lorsque X1 passe du niveau bas au niveau haut • Effet moyen de X2 au niveau haut de X1: • Effet moyen de X2 au niveau bas de X1 : • Effet moyen de l'interaction X1X2 : 27

  28. Calcul des effets avec la notation de Yates Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On appelle matrice des effets la matrice X servant au calcul des coefficients dans la régression linéaire multiple. La matrice X des effets, servant au calcul des coefficients du modèle, s'obtient en ajoutant à gauche de la matrice d'expérience une colonne ne contenant que des 1. Les estimations des coefficients du modèle sont données par la matrice  telle que  = X-1 Yrep= (1/n) tX Yrepoù Yrep est la matrice colonne des réponses expérimentales. La meilleure précision sur les coefficients de chacun des facteurs dans la régression linéaire multiple est obtenue si l'on fait varier les niveaux de tous les facteurs à chaque expérience et si toutes les expériences concourent à l'estimation de chaque coefficient. Critère d'optimalité au sens d'Hadamard Pour obtenir en n expériences une variance minimale, la matrice des effets X doit vérifier la relation : tXX = n In 28

  29. Algorithme de Yates Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On s'intéresse à un plan 2k et à un modèle polynomial du premier d° : Y = a0 +a1X1 + a2X2 + ... + akXk Pour k facteurs, la matrice d'expérience comporte k colonnes et 2k lignes. On alterne les -1 et le +1 - toutes les lignes pour la première colonne, - toutes les deux lignes pour la seconde colonne, - toutes les quatre lignes pour la troisième, etc. Plus généralement : - toutes les colonnes commencent par -1. - on alterne les -1 et les +1 toutes les 2j-1 lignes pour la jème colonne. Chaque estimation d'un coefficient du modèle est égale à la somme algébrique des réponses expérimentales yi affectés des signes de la colonne de la matrice X correspondant au facteur Xi divisé par le nombre d'expériences. 29

  30. Exemple numérique Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Construction d’un plan 23 pour un essai d'arrachement mettant en jeu 3 facteurs. (plan 2k où k=3 soit 23=8 expériences) Les facteurs : X1 : la température de pressage, X2 : la pression lors du pressage, X3 : le temps de pressage. Matrice d’expérience et des réponses J=1 J=3 J=2 Matrice des effets 2J-1=…. 30

  31. Exemple numérique Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Le modèle s’écrit : 31

  32. Plan complet avec interactions • Pour calculer l'effet d'une interaction entre deux variables Xi et Xj on ajoute à la matrice des effets une colonne, que l'on baptise XiXj, et que l'on obtient en faisant le produit "ligne à ligne" des colonnes des variables Xi et Xj. • Le calcul des coefficients du modèle se fait comme énoncé précédemment. Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Exemple numérique • Considérons un plan d’expérience 2² construit afin d’étudier une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs Matrice d’expérience et des réponses Domaine expérimental 32

  33. Exemple numérique Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Matrice d’expérience et des réponses pour les facteurs et les interactions. ( ×× ) = Calcul des coefficients Le modèle s’écrit : Soit : Y = 71,25 + 3,75 T + 8,75 P + 1,25 P T 33

  34. Exemple numérique Tableau des réponses moyennes Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Graphe des effets Visualisation de l’interaction (Ec1Ec2)  interaction 34

  35. Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Construction d’un plan 2² pour une étude sur les conditions idéales pour passer un examen mettant en jeu 2 facteurs. Les facteurs : X1 : le stress, X2 : la compréhension. • Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet • Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions • Tracer le diagramme des effets • Construire le modèle mathématique associé 35

  36. Exemple numérique Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Le modèle s’écrit : X2 X1 36

  37. Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Construction d’un plan 23 pour un test en fatigue mettant en jeu 3 facteurs. Les facteurs : X1 : la température, X2 : le nombre de cycles, X3 : la charge appliquée. • Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet • Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions • Tracer le diagramme des effets • Déterminer une loi de comportement du matériau testé 37

  38. Exemple numérique Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Le modèle s’écrit : 38

  39. Exemple numérique Tableau des réponses moyennes Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple X1=-1 X1=+1 X1 X2 X3 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 Visualisation de l’interaction X1X2 Graphe des effets 39

  40. Statistique & interprétation des résultats Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 40

  41. où est la moyenne exacte de l’échantillon et n l’effectif total ou nombre total de ddl. Statistique - Rappels Rappels élémentaires Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Moyenne • Variance s² : moyenne des carrées des écarts à la moyenne - Pour un échantillon variance vraie : - Pour une population variance estimée : où M est la moyenne estimée de la population : N nombre d’échantillons n-1 : effectif total ou nombre effectif de ddl dont on dispose (-1 pour la moyenne) 41

  42. Statistique - Rappels • Test de comparaison de deux variances Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On cherche à comparer deux distributions statistiques normales (les deux échantillons sont ils issus d’une même loi normale ?) On observe n1 individus 1ier échantillon Variance s12 On observe n2 individus 2ième échantillon Variance s22 On forme le rapport de Fisher-Snedecor : Le rapport de Fisher suit une loi de probabilité et ne dépend que des nombres de ddl de chacun des échantillons n1 et n2 avec n1=n1-1 et n2=n2-1. F est tabulé pour différentes valeurs du risque de première espèce a, c’est-à-dire le risque d’accepter une hypothèse fausse alors qu’elle est vraie. Si on désire évaluer le risque à 5%  table à 0,95 On cherche dans la table la valeur de que l’on compare à Fcalculé. On accepte l’hypothèse d’identité des variances si : 42

  43. Statistique - Rappels Exemple : Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Deux agents dosent un composant dans des échantillons provenant d’un même produit. Pour chaque échantillon les analyses sont doublées. Les agents travaillent ils de la même façon ? B est-il meilleur que A ? Agent A : 11 échantillons sA2 = 3,02 Agent B : 22 échantillons sB2 = 1,22 Table de Snedecor pour un risque de 5%. ddl(sA2)= 11-1 = 10 = n1 ddl(sB2)= 22-1 = 21 = n2 La différence des variances est significative (au seuil de 5%) On en déduit que l’agent A travaille d’une façon moins précise que l’agent B. 43

  44. Test de signification des effets Effets : coefficients des facteurs et des interactions dans l'écriture du modèle. Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Les calculs statistiques permettent : • savoir si les effets sont significatifs, • calculer les intervalles de confiance, • de valider la linéarité du modèle. • Ils font intervenir d'une part les résidus ei, et d'autre part un estimateur sans biais de la variance commune des résidus, soit : n est le nombre d'expériences réalisées p est le nombre de coefficients du modèle On peut montrer que tous les effets ont même variance Si pour un plan complet n = p alors on ne peut pas calculer la variance commune des résidus s². Dans la pratique on néglige les interactions d’ordre élevé pour pouvoir évaluer s². 44

  45. Test de signification des effets Pour tester un effet on utilise le test de Student : Un effet sera dit significatif s'il est pour un risque donné, significativement différent de 0. Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On testera donc l'hypothèse : H0 = << ai = 0 >> contre l'hypothèse H1 = << ai≠ 0 >> Pour cela on calcule : Pour le test on utilise la table de Student à n = n - p ddl où n est le nombre d'expériences réalisées, p est le nombre d'effets y compris la constante. Pour un risque de première espèce a (5% ou 1%), on lit dans la table de Student la valeur tcrit(a, n), en utilisant la partie de la table relative à un test bilatéral. D’où la règle :  si ti > tcrit(a, n), on rejette H0 au risque accepté.  si ti < tcrit (a, n), on accepte H0 au risque accepté. H0 accepté  l’effet en question n’est pas, au risque a, significativement différent de 0. La variable associée n’a pas d’influence sur la réponse. 45

  46. Test de signification des effets Exemple : Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On considère une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs (température T,pression P), prenant respectivement pour niveau haut et bas 60 et 80°C pour T, et, 1 et 2 bars pour P. On cherche à déterminer la non influence d'une variable sur la réponse pour un risque choisit de 5 %. Le modèle : 3 coefficients Variance des résidus : Variance commune des estimateurs : 46

  47. Test de signification des effets Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Les ti sont calculés avec la relation : La table de Student donne pour un risque de 5% avec n = n - p = 4 - 3 = 1 : • Pour a1 = 3.75 (effet de T) on a t1 = 3 < 12.71 : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la température T n'est pas significatif. • - Pour a2 = 8.75 (effet de P) on a t2 = 7 < 12.71 : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la pression P n'est pas significatif. On peut donc considérer que les coefficients a1 et a2 ne sont pas significativement différents de 0 ; leur valeur est probablement due à un « bruit ». La conclusion est que l'on doit rejeter un modèle linéaire pour expliquer le rendement de cette réaction chimique. Il faudrait refaire une étude avec un modèle polynomial du second degré. 47

  48. Intervalle de confiance des effets a/ variance expérimentale connue Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On suppose que compte tenu de nombreuses expériences faites on connaît l'écart type expérimental s. L'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque 5% : [(ai - 1,96 si) ; (ai + 1,96 si)] risque 1% : [(ai - 2,58 si) ; (ai + 2,58 si)] où si² est la variance commune des estimateurs des coefficients. 48

  49. Intervalle de confiance des effets b/ variance expérimentale inconnue (cas le plus courrant) Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple La variance commune des résidus est estimée avec n= n-p degrés de libertés et en négligeant au moins un effet. et Si l’on choisit un risque a, on détermine à l’aide de la table de Student le nombre t(a,n) et l'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque a% : [(ai – t(a,n) si) ; (ai + t(a,n) si)] 49

  50. Exemple Considérons le plan d'expérience 23 suivant dans lequel on néglige l'interaction d'ordre 3 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Le calcul des effets permet d’obtenir le modèle suivant : Y = 5.0125 + 0.0125 X1 + 0.1625 X2 – 0.1125 X3 + 0.2125 X1X2 + 0.0375 X1X3 - 0,0125 X2X3 à partir duquel on évalue Yestimé, puis les écarts. 50

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