TIKIMYBIŲ TEORIJA

1. TIKIMYBIŲ TEORIJA

2. Įvykiuvadinami įvairūs gamtos, ekonominiai ir pan. reiškiniai, kurie gali įvykti susidarius tam tikroms sąlygoms.Visuma sąlygų, duodančių galimybę pasirodyti stebimajam įvykiui, paprastai vadinama bandymu arba eksperimentu. Kiekvieno bandymo rezultatas vadinamas įvykiu. • Metamas lošimo kauliukas – bandymas, iškrito 6 akys – įvykis. • Perkamas akcijų paketas – bandymas, dividendų gavimas – įvykis.

3. Įvykis, kuris bandymo metu gali įvykti arba neįvykti, vadinamas atsitiktiniuįvykiu. Pavyzdžiui, laimėjimas tenka ne kiekvienam įsigytam loterijos bilietui. Įvykis, kuris, atlikus bandymą, būtinai įvyksta, vadinamasbūtinu. Įvykis, kuris , atlikus bandymą, negali įvykti, vadinamas negalimu.

4. Pavyzdžiui, prie 100º C temperatūros vanduo, esant normaliam slėgiui, užverda- tai būtinas įvykis, bet prie tų pačių sąlygų, jis niekada nevirs ledu – tai negalimas įvykis. Atsitiktiniai įvykiai žymimi didžiosiomis raidėmis – A,B,C,… Būtiną įvykį visuomet žymėsime Ω, o negalimą įvykį žymėsime tuščios aibės simboliu Ø. Jei įvykis nėra nei būtinas, nei negalimas, tai jis – atsitiktinis.

5. Tarkime,kad metamas(vieną kartą) lošimo kauliukas. Šis bandymas gali baigtis tik viena iš šešių galimybių: gali atsiversti sienelė su 1, 2, 3, 4, 5, 6 akutėmis. Tuos bandymo rezultatus išreikšime įvykiais A1, A2, A3, A4, A5, A6. Elementariuoju vadinamas įvykis, kuriam palanki tik viena baigtis. Tokių įvykių aibė vadinama elementariųjų įvykiu erdve. Vadinasi, elementariųjų įvykių erdvę sudaro visi galimi bandymo rezultatai, kurie gali įvykti tik atskirai(one kartu su kitais) ir kurių negalima “smulkinti”.

6. Veiksmai su įvykiais

7. Ω A B Jei įvykis B yra įvykio A dalis , t.y. BA, jeigu įvykus įvykiui A, įvyksta ir įvykis B Kiekvienas įvykis A yra būtinojo įvykio Ω dalis

8. A B

9. Ω A B Įvykiu A ir Bsąjunga arba suma vadiname įvykį, kai įvyksta bent vienas iš įvykių Air B. Žymima A+B arba AUB.

10. A B A+B

11. Ω A B Įvykių Air Bsankirta arba sandauga vadiname įvykį, kai kartu įvyksta abu įvykiai A ir B. Žymima A·B, A∩B arba A&B.

12. A B A&B

13. Ω A B Įvykių Air Bskirtumu vadinamas įvykisA\B (A-B), kai įvyksta A, o B neįvyksta

14. A B A\B

15. Įvykis, kuris įvyksta, kai įvykis A neįvyksta, yra vadinamas įvykiui Apriešingu įvykiu ir žymimas Ø Ω A

16. A

17. Ω A B Įvykiai A ir B vadinami nesutaikomais, jeigu jie negali įvykti kartu , kai Priešingu atveju jie vadinami sutaikomais

18. A

19. Klasikinis tikimybės apibrėžimas

20. ĮvykioAtikimybe vadinamas elementariųjų įvykių, sudarančių įvykį A, skaičiaus santykis su elementariųjų įvykių skaičiumi erdvėje Ω Ši tikimybės skaičiavimo formulė vadinama klasikiniu tikimybės apibrėžimu

22. Du kartus metama moneta. Kokia tikimybė, kad bent kartą iškris herbas? Ω=

23. Tvarka! Gretiniai Ne tas pats gretinys!!! knarių

24. 10 9 8 7 6 5 10 10 10 10 10 10

25. Kėliniai

26. Deriniai

27. Aksiominis tikimybės apibrėžimas

28. Tikimybe vadiname skaitinė funkcija P, tenkinanti šias aksiomas: • P(A)≥0; • P()=1; • P(A+B)=P(A)+P(B), kai AB= Trejetas {,F,P} vadinamas tikimybine erdve, čia -elementarių įvykių erdvė F-poaibių klasė, kurios elementai yra nagrinėjami įvykiai P-tikimybė

29. 1) P()=0 2) 0≤P(A)≤1 3) P( )=1-P(A) ,kai AiAj=, i≠j Tikimybės savybės: 5) Jei įvykiai Ai , i=1,2,...,n sudaro pilnąją įvykių grupę, tai

30. Įvykių sumos ir sandaugos tikimybė

31. Teorema.Nors vieno iš įvykių pasirodymo tikimybė : Įvykis B=A1+A2+...+An , tada jam priešingas įvykis (dualumo principas). Kadangi tai Teorema. Dviejų įvykių sumos (sąjungos) tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be tų įvykių sandaugos (sankirtos) tikimybės skirtumui:

32. Iš urnos, kur yra 7 balti ir 5 juodi rutuliai, atsitiktinai be gražinimo išimti 4 rutuliai. Kokia tikimybė, kad 5 1

33. Įvykio A tikimybė, apskaičiuota tarus, kad įvykis B įvyko, vadinamasąlygine tikimybeiržymima Skaitoma - ”tikimybė, kad įvyks A su sąlyga, kad įvyko B”

34. Teorema.Dviejų įvykių sandaugos(sankirtos) tikimybė yra lygi vieno įvykio tikimybei, padaugintai iš kito įvykio sąlyginės tikimybės, kai pirmasis įvykis įvyko:

35. Iš 36 kortų kaladės atsitiktinai traukiamos trys kortos. Kokia tikimybė, kad tarp jų nebus nei vieno tūzo?

36. Du įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų įvykimas nepakeičia antrojo įvykio tikimybės, t.y. Priešingu atveju jie vadinami priklausomais. Teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė lygi tų įvykių tikimybių sandaugai,t.y. Kadangi įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tai Įrašę į sandaugos teoremą gauname Teisingas ir atvirkščias teiginys

37. Studentas iš patirties žino, kad jam reikalinga knyga bus KTU knygyne su tikimybe 0,5. Tikimybė, jog reikalinga knyga bus KVK bibliotekoje lygi 0,7, o Kauno viešoje bibliotekoje lygi 0,3. Apskaičiuokite tikimybes: a)reikiamą knyga bus bent vienoje iš šių paminėtų institucijų, b) reikiamą knyga bus KTU knygyne ir KVK bibliotekoje , c) visose trijuose institucijose.

38. 0,3 0,7 0,5 a) reikiamą knyga bus bent vienoje iš šių paminėtų institucijų 0,7 0,5 0,3

39. 0,7 0,7 0,5 0,5 0,7 0,3 b) reikiamą knyga bus KTU knygyne ir KVK bibliotekoje

40. 0,7 0,5 0,3 c) visose trijuose institucijose