3 Mechanikai rendszerek dinamikája

1. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

2. Tömeg: • A tömeg függ az építőelemek sűrűségétől és a geometriai méreteitől. A klasszikus mechanika axiómái szerint áll: • A tömeg mindig pozitív: m > 0 . • Egy test tömege időben változatlan: m = 0 . • A tömegek feloszthatók és összegezhetők: m = m1 + m2 . . 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás Rugalmas elemek: Megfelelő konstrukciós kialakítással elérhető, hogy az építőegység rugalmassága tömegéhez viszonyítva nagyon nagy. Ekkor rugóelemekről beszélünk (pl. laprugók, csavarrugók, tekercsrugók). • Csillapító és súrlódó elemek: • A csillapítási és súrlódási jelenségek okai lehetnek: • Az alkatrészek anyagcsillapítása, • Az egymáshoz képest relatív elmozdulást végző elemek súrlódása, • Konstrukciósan létrehozott csillapítóelemek, • Elemek, amelyek folyadékokban mozognak.

3. 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás • Külső erők: • Külső erők keletkezhetnek : • Erőtér hatásából (Gravitáció, Mágneses, ...), • Hajtó elemekből (Állító motorok, robbanó motorok, ...), • Adott mozgásokból (durch Lagerung). • Modellképzés: • Egy mechanikai rendszer tulajdonságai egy- lehetőleg egyszerű- idealizált modellen keresztül írhatók le. Ekkor külünbségek adódnak a megoszló és koncentrált paraméterű modellek között mit verteilten Parametern. • Megoszló paraméterű modellek:Kontinuumsmechanika (Kulcsszavak: Rugalmas test, Tartók, megoszló erők, ...) • Koncentrált paraméterű modellek:Merev testek mechanikája (Kulcsszavak: tömegnélküli rugó, tömegnélküli csillapítás, Koncentrált erők, ...)

4. 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás Mehrkörpersysteme (MKS): Egy többtest rendszer tömeggel bíró merev testekből áll, amelyek egymással kapcsolóelemeken keresztül, mint rugók, csillapítások, támaszok, vezetékekegyesítettek. A kapcsolóelemeken keresztül hatnak az egyes testekre diszkrét pontokban koncentrált erők és nyomatékok. Emellett térbeli és megoszló erők hatnak a testre.

5. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

6. 3.1.2 Erők, Rendszerlehatárolás, Schnittprinzip Erő alatt azokat a rendszerelemek közötti kölcsönhatásokat értjük, amelyek gyorsulásokat hoznak létre. Azokat az erőket, amelyek kívülről a rendszerre hatnak, külső erőknek neveznek.Azokat az erőket, amelyek belül keletkeznek és hatnak belső erőknek nevezik. Hogy mit eveznek külső és belső erőknek a mindenkori rendszer lehatárolástól függ. Az 1 rendszerre (terhelés) csak külső erők hatnak meg és F21. A 2 rendszerre (felépítmény és kerekek) az mg, az F12, F3, F42 és F4 külső erők ,és az F32, F23, F42 és F24 belső erők hatnak. Míg a szembe mutató … erőknek Schnittkräfte egyenlőnek kell lenni, a belső erők ellentétesek (F32 - F23 = 0 és F42 - F24 = 0) és ezért kifelé nem jelennek meg. . H az 1 és 2 rendszer egy közös rendszernek tekintenénk, akkor Az F12 és F21 belső erőkké válnának

7. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

8. 3.1.3 Kapcsolatok A helyvektorriés asebességvektorvitetszőlegesszabad mechanikai rendszer Gewöhnlich liegen aber Bindungen vor. gebundenes mechanisches System A következő kapcsolatok különböztethetők meg: geometriai kapcsolatok kinematikai kapcsolatok kétoldalú kapcsolatok egyoldalú kapcsolatok Egyre több tulajdonság egyidejűleg jelenik meg. Példa: Egy vágóél mozgása a merev alaplapra megfelel egy kinematikai, kétoldalú, skleronomen, nichtholonomen kapcsolatnak. skleronom kapcsolatok rheonom kapcsolatok holonome kapcsolatok nichtholonome kapcsolatok

9. 3.1.3 Kapcsolatok A geometriai kapcsolatokkorlátozzáka rendszer helyzetét az alakzat formáján keresztül: Φ(x1,…,zn) = 0 x² + y² -l² = 0 rúdinga kétoldalú x² + y² -l² ≤ 0 fonalinga Φ(x1,…,zn) ≤ 0 egyoldalú x² + y² -l² ≥ 0 Tömegpont kör-keresztmetszetű felületen Φ(x1,…,zn) ≥ 0 Egy kapcsolatrheonom, ha a kapcsolati egyenletekben az idő explicit lép fel; más esetekben azokatskleronomnak nevezik. Φ(x1,…,zn) = 0 skleronom, geometriai kapcsolat Φ(t,x1,…,zn) = 0 rheonome, geometriai kapcsolat

10. 3.1.3 Kapcsolatok A kényszer feltételek kényszer- és reakcióerőkhöz vezetnek , amelyek a kényszerfeltételek fennállása nélkül nem lépnének fel. R l v R v v és R egymásra merőlegesek Azaz az R irányában nincs mechanikai munkavégzés v mg R A képen látható példákat általánosítjuk, akkor arra következtethetünk, hogy a reakcióerők állandóan merőlegesek a kényszerfeltételek szerinti felületekre. Ez a d'Alembert elv kiindulópontja.

11. 3.1.3 Kapcsolatok A Kinematikai kapcsolatokkorlátozzák a rendszer sebességét: skleronom, kinematikaikapcsolat rheonom, kinematikaikapcsolat A gyakorlatban a kinematikai kapcsolatoklineárisaka sebességeknél Ha az ai, bi, ci, d a t időtől függenek rheonom kapcsolat. Integrálható kinematikai kapcsolatok Geometriai kapcsolatok

12. 3.1.3 Kapcsolatok Hertz (1894): holonom kapcsolatok geometriaikapcsolatok + integrálható kinematikaikapcsolatok nichtholonom kapcsolatok nem integrálható kinematikaikapcsolatok Azok a rendszerek, amelyeknek valamennyi kapcsolata holonom, mintholonom rendszerek jellemezhetők. Ha a rendszerben legalább egy nem holonom kapcsolat van, akkor a rendszer nem holonom, és nem holonom rendszerről beszélünk.

13. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

14. 3.1.4 Virtuális elmozdulások Egy mechanikai rendszer virtuális elmozdulása alatt ennek a rendszernek a helyzetében bekövetkezett változást értjük, azaz a test egy önkényes (gondolati) elmozdulását, mint eredményt,ami ennek ellenére a kapcsolatokkal összeegyeztethető. A virtuális elmozdulás által a helyzet nagyságában?? okozott változást a dszimbólummal jelölt. Példa: Gömbinga (térbeli matematikai inga) A gömbinga mozgásának leírásaDescartesi koordinátarendszerbenr = [x y z]T Az inga tömege csak a gömbfelületen kann sich nur auf einer Kugeloberfläche bewegen. Kapcsolati egyenlet: Φ(r) = x² + y² + z² - l² = 0 Virtuális elmozdulásδr = [δx δy δz]T csak a gömbfelületen belül lehet:

15. 3.1.4 Virtuális elmozdulások Példa: Gömbinga (térbeli matematikai inga) A tömeg helyzete két másik, megfelelően megválasztott koordinátával leírható, Pl. a Ψ und szögekkel. (Egy kiegészítő kapcsolati-egyenlet természetesen nem lép fel.) Kevesebb mint két koordináta nem lenne elegendő az egyértelmű helyzetleíráshoz. Ezért a Ψ und minimalkoordináták,vagyáltalánosított, illetvegenerált koordináták.

16. 3.1.4 Virtuális elmozdulások Egy virtuális elmozdulásnál a t időt rögzítettnek gondoljuk,szemben egy valóságos elmozdulással, amely egy véges dt időintervallumban fut le.Tehát a rendszer nyomatékfelvételének tekinti. Ez tehát, egy tömegpont figyelembevételével, egy mozgó ferde síkon szemléltethető. Lejtő, kényszermozgás v1(t)

17. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

18. 3.1.5 Kinematika Koordinátarendszerek és koordináták: Koordinátarendszer alatt értünk három egymáshoz rendelt ortogonális (egymásra merőleges) egységvektort ex, ey, ez, amelyek az R3szemléltető térben a bázisát képezik minden abban ábrázolandó vektornak. Az O az euklideszi tér origója. Ezért az azzal meghatározott koordinátarendszert röviden az alábbiak szerint írjuk le: K = {0;ex,ey,ez} Egy K koordinátarendszer inerciarendszer, ha a bázisvektorok időben állandóak. A K-t testhezkötöttnek nevezik, ha egy testponttal (Pl. tömegközépponttal) mereven kapcsolódikés ha a testpont koordinátáit ezen koordinátarenszerben mindig ugyanazok a koordináták írják le.

19. Elfordulás: A merev testtel szorosan összekapcsolt K koordinátarendszer elforgatása egy térbeli I koordinátarendszerhez (inerciarendszer) viszonyítva akkor egyértelműen definiált, ha mindkét vizsgált rendszerben egy tetszőleges vektor koordinátái közötti matematikai összefüggés ismert. 3.1.5 Kinematika Ismeretes hogy egy merev test helyzete és iránya 6 koordinátával írható le, Pl.a tömegközéppont három x, y, za transzlációs koordinátáival és a három α, β, γszöggel az inercia-rendszerhez viszonyítva. Ekkor feltétlenül figyelembe kell venni, hogy az aIésaKugyanazt a vektort írják le.Az Stranszformációs mátrix (forgatási mátrix) elemei a vizsgált esettől függően határozhatók meg.

20. 3.1.5 Kinematika Példa: Egy merev test elfordulása a z-tengely körül γ szöggel. Forgatási mátrix: Az x és y tengelyek körüli megfelelő elfordulásokat az alábbi forgatómátrix írja le:

21. 3.1.5 Kinematika A forgatási mátrix ortogonális mátrix: S-1(α) = ST(α) = S(-α) Egy merev test minden egyes tetszőleges helyzete általában legalább három egymást követő forgatás által, azaz a három forgástengely és három forgásszög megadásával adható meg. Az egymást követő forgatások egyenkénti sorrendje alapján a forgatási szögek, mint kardánszögek (az x, y, z sorrend szerint, vagy fordított sorrend szerint), vagy mint Eulerszögek (z, x, y) jellemezhetők. A kapott eredő forgatómátrixot az egyes mátrixok szorzásával kapjuk, pl.:

22. 3.1.5 Kinematika Egy koordinátarendszerben több testnek van K1, K2, ... , Kpszerinti helyzete és iránya az ri tömegközéppont mindenkor helyvektora szerint, az Siforgatási mátrixot három szög αi,βi,γi (Pl. kardan- vagy Eulerszög) ír le, és amely koordináták egy helyzetvektorban foglalhatók össze. Az MKS-ben (többtest rendszerben) előforduló helyzetelemek által a testkoordináták összefüggései egymás között a q algebrai egyenlet írhatók le.Φ(z) = 0 , i=1,…,q q < 6p-vel A többtest rendszer helyzete egyértelműen leírható az f = 6p - q független koordinátákkal:y = [y1, … , yf]T. Ezeket az yi koordinátákat a mechanikában mint általánosított, vagy generált koordinátáknak nevezik (de lehetminimálkoordináták, vagyhelyzetnagyságok Lagergrößen). • Az általánosított koordináták: • függetlenek, • a rendszer helyzetét egyértelműen leírják, • a kapcsolatoknak megfelelő .

23. 3.1.5 Kinematika Azért, hogy az állandósult állapotát az MKS-nek leírjuk még a sebességeket is figyelembe kell venni.Egy mechanikai szabadságfok alapvetően két állapot nagysághoz vezet. Ezzel az MKS számára adódik az állapotvektor: Azx(t) vektor minden egyes időpontban egyértelműen leírja a többtest rendszer helyzetét és sebességét. Az x által leírt teret ezért állapottérnek nevezzük (vesd össze a 2. fejezettel). Példa: Golyóinga:

24. amelynél aJTia (3 x f) - funkcionális- vagy a transzlációsJacobimatrix. Rheonom kapcsolatoknál ebből kiindulva még a helyi (3 x 1) – sebességvektor lép fel.A vektor a rendszer transzlációs gyorsulásának centrifugális, Coriolis- és centrifugális részét írja le. 3.1.5 Kinematika Transzláció: Egy merev test helyzetét a tömegközéppontjának helyvektora írja le: Massenmittelpunktes beschrieben: ri = ri(t,y) A sebességet és gyorsulást az idő szerinti fokozatos differenciálással kapjuk:

25. 3.1.5 Kinematika Forgás: Hasonlóan a tömegközéppont transzlációjához a merev test forgása is a kapcsolatok által korlátozott Ebben az esetben kapjuk: Ahol aJRia (3 x f) – a forgás funkcionális- vagyJacobimatrixa. A vektorban a a szöggyorsulás centrifugális-, Coriolis- és centrifugális része van összefoglalva. Rheonomkapcsolatoknál ebből kiindulva még a helyi (3 x 1) – sebességvektor lép fel.

26. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

27. 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel Egy Ki merev test Newton-i egyenletei (Impulzustétel): miai =fi Az inerciarendszerben az Euler-i egyenletek (Impulsusnyomaték tétel): θiαi + ωi x (θiωi) = li Ha a merev test (3 x 3) – a tehetetlenségi tenzor és a külső nyomatékok livektora (3 x 1) – a Ci tömegközéppontra vonatkozóan adódik.

28. 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel Példa:Egy merev test Euler-i egyenletei, amelyre Mnyomaték hat, felírhatók: (Dinamikai Euler egyenletek) ha a tehetetlenségi tenzoregy főkoordinátarendszert feltételez??

29. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

30. 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele A külső erők és nyomatékok feloszthatók ható erőkre és nyomatékokra, valamint rekcióerőkre és -nyomatékokra: Erők egy erőtörvényből súlyerők,rugó- és csillapítóerők,magneses és elektromos erők, stb. Erők a kapcsolódásokból és kényszerfeltételekből támasztóerők,vezetékerők,adott mozgásegyenletek, stb. fie =fie +fir li = lie + lir Newton-Euler-egyenletek: miai = fi = fie + fir θiαi + ωi x (θiωi ) = li = lie + lir A kapcsolódási egyenletek (explizit) figyelembe vételével (3.2 fejezet) a Newton-Euler-egyenletek a következő formában adódnak:

31. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

32. 3.4 Das d‘Alembertsche Prinzip Ad‘Alembert elv szerint a rekcióerők virtuális munkája eltűnik. vagy és Mivel aδy tetszőlegesen megválasztható, következik hogy:

33. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

34. 3.5 Mozgásegyenletek A reakcióerők a szorzásnál kiesnek Newton-Euler-egyenletek (vesd össze 3.3 fejezettel): Ebből az általános, nemlineáris mozgásegyenletek adódnak a (holonom) többtest rendszer számára: aholMszimmetrikus és pozitív (f x f) – tömegmátrix, k (f x 1) – a Coriolis-, Centrifugal- und Kreiselerők vektora valamint q (f x 1) – az általánosított erők vektora.

35. 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei A kettős inga két m tömegű homogén rúdból áll, amelyek hossza 2l. A rudak az A és B pontokban csuklósan és súrlódásmentesen csapágyazott. r1 r2 Általánosított koordináták: A tömegközéppontok helykoordinátái:

36. 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei Differenciálással adódnak a sebességek: További differenciálással adódnak a gyorsulások:

37. 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei Eingeprägte erők és nyomatékok: Reakcióerők: Jacobimátrix: Reakciónyomaték:

38. 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei Newton-Euler-egyenletek: Transzláció Test 1 TranszlációTest 2 ForgásTest 1 ForgásTest 2

39. 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei ANewton-Euler-egyenletek szorzásával a Jacobi mátrixok-kalés összegzéssel a rendszer nemlineáris mozgásegyenletei adódnak: A reakcióerők szorzásnál kiesnek és ezért már a Newton-Euler-egyenletek felállításánál elhagyhatók.

40. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

41. 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek Egy mechanikai rendszer linearizálása értelemszerűen egyensúlyi helyzet körül, vagy általában előírt mozgás körül megy végbe. Ez a kényszermozgás vagy a rendszerben magában keletkezhet, vagy valamilyen szabály szerint pl. kívülről hat. Egy rendszer jellemző előírt mozgásait a nemlineáris mozgásegyenletének partikuláris megoldásai adják. Egy előírt mozgás környezetében a rendszert csak kis zavarómozgások η(t) | η(t) | << | ys(t) |érhetik: y(t) = ys(t) + η(t) Eine entsprechende Aufteilung muss man für die von außen eingeprägten Stellkräfte vornehmen:

42. 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek Ha azokat az eredeti nemlineáris egyenletekbe helyettesítjük, kapjuk az ott keletkező értékeket.

43. 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek A nemlineáris egyenletekbe való behelyettesítés után mindig egy az előírt mozgás egyenletét és az előírt mozgástól való eltérés egyenletét kapjuk. Előírt mozgás: Zavaró mozgás: Az ηhelyett ismét y–t írva:

44. 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek A Pés Qmátrixok, mint minden qudratikus mátrix egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus mátrix részből áll, összegként felírva: A mechanika klasszikus lineáris mozgásegyenletei: Az M szimmetrikus tömegmátrix meghatározza a mozgási energia változást és ezáltal a tömegerőket. A D csillapítási mátrix az R Rayleigh függvényen keresztül jellemzi a csillapítóerőket és a Gpedig leírja a gyroszkopikus erőket, amelyek semmi hatással nincsenek az energiamérlegre. A Kmátrixa potenciálisenergiáthatározza meg, és ezzel a helyzeti erőkhatását, miközben az N a nemkonzervatívhelyzeti erőketírja le. HaD=N=0 a rendszer konzervativ, azaza hkülső erők hatása nélkül az összenergia T+U állandó.

45. 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek Példa: Kettős inga lineáris mozgásegyenletei(vesd össze 3.5.1 fejezettel) A 3.5.1 fejezetben ismertetett kettős inga kis kilengéseinél áll: Ezt figyelembe véve a nemlineáris egyenletekben kapjuk a linearizáltmozgásegyenleteket: vagy ismert formában: A tömeg és merevségi mátrix:

46. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

47. A nemlineáris állapotegyenletekfigyelembevételével: 3.6 Állapotegyenletek Egy MKS dinamika további kezeléséhez célszerű a másodrendű mozgásegyenleteket állapotegyenletekké átalakítani.Helyettesítéssel: Lineáris esetben a lineáris állapotegyenletek::

48. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika 3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3 Kapcsolódások figyelembevétele 3.4 A d‘Alembert elv 3.5 Mozgásegyenletek 3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek 3.6 Állapotegyenletek 3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek

49. 3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Eine wichtige Alternative zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen ist die Methode von Lagrange (1788). Dabei handelt es sich im Gegensatz zu der in Kapitel 3.5 beschriebenen synthetischen Methode (Freischneiden der Einzelkörper, anschließende Anwendung von Impuls- und Drallsatz und Elimination der Reaktionskräfte) um eine analytische Methode, die auf der Auswertung von Energieausdrücken für das Gesamtsystem basiert. nicht behandelt

50. 3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Kinetische Energie Für die kinetische Energie Ti eines starren Körpers Ki mit der Masse mi, dem Trägheits-tensor i , der absoluten Schwerpunktsgeschwindigkeit vMi und der Winkelgeschwindig-keit igilt: Da die kinetische Energie unabhängig von den verwendeten Koordinatensystemen ist, spielt es keine Rolle, in welchen Koordinatensystemen die einzelnen Energieanteile berechnet werden. Klar ist hingegen, dass die Winkelgeschwindigkeit im gleichen System anzugeben ist wie der Trägheitstensor. nicht behandelt Die kinetische Energie eines Mehrkörpersystems wird aus der Summe der kinetischen Energien der Einzelkörper gebildet. Als Bezugspunkt wählt man vorteilhaft die Massen-mittelpunkte der Einzelkörper: