Doğrusal Ayrık Dinamik Sistemler

1. Doğrusal Ayrık Dinamik Sistemler Erciyes Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Enis GÜNAY egunay@erciyes.edu.tr em.erciyes.edu.tr/egunay

2. Leslie Matrisi • Leslie matris modeli, yaş sınıflarındaki yaşam oranı ve doğurganlık değerlerini kullanarak yaş yapısına ait çeşitli tahminlerde bulunmak için kullanılan bir yöntemdir *. • Leslie matris modeli, gelecekteki populasyon büyüklüğünün tahminlenmesinde, üretkenlik değerinin hesaplanmasında, duyarlılık ve esneklik analizlerinde sıkça kullanılmaktadır *. *Leslie Matris Modeli Kullanılarak Populasyon Büyüklüğünün Tahmin Edilmesi Gürol ZIRHLIOĞLU, Atilla DURMUŞ, Mehtap TAŞKESEN

3. Leslie Matrisi • Ölüm ve üretkenlikten dolayı populasyon büyüklüğünde meydana gelen değişiklikler 1945 yılında H. Leslie tarafından bir matris modeli üzerinde tanımlanmıştır *. • Leslie modeli, gelişme (yaşam evresi boyunca gelişme), yaşa özgü doğum yaşa özgü ölüm olarak belirtilen üç çeşit ekolojik olayı tanımlayan ve birçok biyolojik materyale uygulanabilen bir modeldir *. *Leslie Matris Modeli Kullanılarak Populasyon Büyüklüğünün Tahmin Edilmesi Gürol ZIRHLIOĞLU, Atilla DURMUŞ, Mehtap TAŞKESEN

4. Leslie Matrisi • Pekçok populasyonda, populasyonun büyümesi söz konusu olduğu zaman sadece dişi bireyler dikkate alınmaktadır *. • Bu nedenle Leslie modelinin uygulanmasında da genel olarak dişi bireylere ait veriler dikkate alınarak tahminler yapılmaktadır *. *Leslie Matris Modeli Kullanılarak Populasyon Büyüklüğünün Tahmin Edilmesi Gürol ZIRHLIOĞLU, Atilla DURMUŞ, Mehtap TAŞKESEN

5. Leslie Matrisi • Kabuller: • dişiler n adet yaş sınıfına bölünür. • N popülasyondaki dişilerin ulaşabileceği teorik maksimum yaşı temsil eder. • böylece her bir yaş grubu N/n kadarlık gün, hafta, ay ve yıllı kapsar. • popülasyon her bir yaş sınıfına eşit düzgün zaman aralıkları ile gözlemlenir. • böylece k’ıncı zaman periyodu tk=kN/n ile verilir.

6. Leslie Matrisi • xi(k), k kadarlık zaman periyodundan sonraki dişilerin i’inci yaş sınıfının dişi sayısını ifade eder. • bi, i’inci yaş sınıfındaki tek bir dişiden doğan yavruları tanımlar. bi≥0, 1≤i≤n • ci, i’inci yaş sınıfından, (i+1)’inci yaş sınıfına yaşamını devam ettiren dişilerin oranını tanımlar.Yaşam oranı olarak adlandırılır. 0<ci ≤1, 1≤i≤n

7. Leslie Matrisi • k kadarlık zaman sonra birinci yaş sınıfındaki dişi sayısı, tk-1ile tk zaman aralığında doğan dişi sayısına eşit olacaktır. • tk zaman periyodundaki (i+1)’inci yaş sınıfı dişi sayısı, tk-1zaman periyodundaki i’inci yaş sınıfındaki dişi sayısına eşit olacaktır.

8. Leslie Matrisi • Bir önceki sunudaki denklemler matris formatında aşağıdaki gibi düzenlenebilir: • yada

9. Leslie Matrisi • Burada X єRn’dir. L ise Leslie matrisi olarak adlandırılır. X(0)’ın dişilerin her bir n adet yaş sınıfındaki başlangıç sayısını verdiği kabul edilirse:

10. Örnek • Bir kuş türü üç farklı yaş grubuna sınıflandırılmıştır. • Bunlar 0-1 yaş, 1-2 yaş ve 2-3 yaş grubudur. • Popülasyon yılda bir kez gözlemlenmektedir. • Buna göre oluşturulan Leslie matrisi: olmaktadır.

11. Örnek • Dişilerin yaş gruplarına göre başlangıç değerleri ile verilmektedir. Buna göre 10 yıl, 20 yıl ve 30 yıl sonra popülasyonun dişi birey sayısı kaç olacaktır?