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    1. Lenseignement de la gomtrie du Cycle 2 au cycle 3 Quelques lments de rflexion On ne prtend pas ici faire le tour de la questionOn ne prtend pas ici faire le tour de la question

    2. Les enjeux Dvelopper des connaissances pour rsoudre des problmes dans le domaine spatial ou gomtrique. Fournir des outils rsoudre des problmes dans le domaine spatial ou gomtrique. Initier progressivement au raisonnement dductif. Le premier aspect est abord au cycle 2 et dvelopp au cycle 3 Le deuxime aspect relve plutt du collge ,mais de nombreux problmes de cycle 3 ncessitent dj un raisonnement.Le premier aspect est abord au cycle 2 et dvelopp au cycle 3 Le deuxime aspect relve plutt du collge ,mais de nombreux problmes de cycle 3 ncessitent dj un raisonnement.

    3. Une dmarche et un but La rsolution de problme Afin de constituer des situations de rfrence compltes par des situations de rinvestissement. Ds le cycle 2, La rsolution de problme occupe une place centrale dans la construction et lappropriation par les lves des connaissances mathmatiques rpertoris dans les diffrentes parties du programme. Les situations doivent tre finalises par un but (ncessit de retrouver un objet, de faire retrouver ,de reproduire lidentique.) les lves doivent pouvoir faire plusieurs essais. Llve doit pouvoir vrifier lui-mme si le but est atteint ou non.Si ce nest pas le cas cest lanalyse des carts avec la production attendue et les changes avec les camarades qui permettent daffiner la stratgie.( validation possible dans des situations de communication ou de reproduction et de construction). Le langage spatial ou gomtrique peut donc tre introduit en situation ( cest parce quil est ncessaire de russir les 4 coins dun carr pour quil soit superposable un autre que lon peut introduire le mot angle droit) Les situations qui permettent de construire la connaissance ne suffisent pas assurer un apprentissage efficace,elles doivent tre rinvesties dans dautres situations. Seul un nombre suffisant de sances conscutives permet de mener bien l apprentissage ( 1H par semaine de gomtrie est proscrire). Ds le cycle 2, La rsolution de problme occupe une place centrale dans la construction et lappropriation par les lves des connaissances mathmatiques rpertoris dans les diffrentes parties du programme. Les situations doivent tre finalises par un but (ncessit de retrouver un objet, de faire retrouver ,de reproduire lidentique.) les lves doivent pouvoir faire plusieurs essais. Llve doit pouvoir vrifier lui-mme si le but est atteint ou non.Si ce nest pas le cas cest lanalyse des carts avec la production attendue et les changes avec les camarades qui permettent daffiner la stratgie.( validation possible dans des situations de communication ou de reproduction et de construction). Le langage spatial ou gomtrique peut donc tre introduit en situation ( cest parce quil est ncessaire de russir les 4 coins dun carr pour quil soit superposable un autre que lon peut introduire le mot angle droit) Les situations qui permettent de construire la connaissance ne suffisent pas assurer un apprentissage efficace,elles doivent tre rinvesties dans dautres situations. Seul un nombre suffisant de sances conscutives permet de mener bien l apprentissage ( 1H par semaine de gomtrie est proscrire).

    4. La mise en uvre dun problme de recherche un temps de prsentation Un temps de recherche Un temps de confrontation Un temps de synthse. 1) Une phase de prsentation au cours de laquelle, il faut sassurer que les lves comprennent bien la situation (ici agrandir une figure) et le but atteindre (faire la main ce que fait le photocopieur). 2) Un temps de recherche suffisant pour que les lves puissent engager individuellement, au moins dans un premier temps, leurs connaissances. 3) Une mise en commun qui porte sur les dmarches. La validation de la production nintervient qu la fin pour valider la dmarche. Si on commence par l, il ny a plus denjeu la mise en commun. Une mise en commun nest pas une correction. On nexhibe pas la solution, on prend appui sur les procdures utilises par les lves qui sont prsentes et discutes avant dtre valides. Il nest pas ncessaire que tous trouvent la solution. Par contre, il est indispensable que chacun prenne conscience des limites de ses connaissances antrieures. Il se peut que la classe ne trouve pas la solution, elle peut tre ensuite construite collectivement avec lenseignant. 4) Un temps de synthse au cours duquel les limites des connaissances qui jusque-l convenaient sont rappeles et o la procdure qui permet de russir est reprise devant la classe. Les nouveaux objets sont alors nomms. 5) Un temps de rinvestissement qui doit permettre chaque lve de sapproprier le nouvel outil. Ce temps est individuel. Dans le cas de la situation mise en uvre, il peut sagir dun agrandissement dune autre figure.1) Une phase de prsentation au cours de laquelle, il faut sassurer que les lves comprennent bien la situation (ici agrandir une figure) et le but atteindre (faire la main ce que fait le photocopieur). 2) Un temps de recherche suffisant pour que les lves puissent engager individuellement, au moins dans un premier temps, leurs connaissances. 3) Une mise en commun qui porte sur les dmarches. La validation de la production nintervient qu la fin pour valider la dmarche. Si on commence par l, il ny a plus denjeu la mise en commun. Une mise en commun nest pas une correction. On nexhibe pas la solution, on prend appui sur les procdures utilises par les lves qui sont prsentes et discutes avant dtre valides. Il nest pas ncessaire que tous trouvent la solution. Par contre, il est indispensable que chacun prenne conscience des limites de ses connaissances antrieures. Il se peut que la classe ne trouve pas la solution, elle peut tre ensuite construite collectivement avec lenseignant. 4) Un temps de synthse au cours duquel les limites des connaissances qui jusque-l convenaient sont rappeles et o la procdure qui permet de russir est reprise devant la classe. Les nouveaux objets sont alors nomms. 5) Un temps de rinvestissement qui doit permettre chaque lve de sapproprier le nouvel outil. Ce temps est individuel. Dans le cas de la situation mise en uvre, il peut sagir dun agrandissement dune autre figure.

    5. Des types de problmes Classer Dcrire Reproduire Construire Reprsenter Localiser Dcrire : cest utiliser un vocabulaire gomtrique permettant un interlocuteur didentifier un objet, de le reproduire, de le construire ou de le localiser (situations de communication). Suivant le but de la description les comptences mobilises ne sont pas les mmes :Pour reconnatre une figure parmi dautres. Llve doit identifier les caractristiques des figures, et matriser le vocabulaire ; Pour reproduire une figure .Llve doit- analyser la figure et communiquer les diffrentes tapes de la construction, ce qui ncessite de dfinir une chronologie, de choisir le vocabulaire adapt, de se dcentrer pour contrler que le message est recevable par un tiers . Reproduire: cest faire une copie lidentique lchelle 1( ou autre) , on peut aussi demander de complter une figure dj commenc pour quelle soit la reproduction dune autre. La validation peut se faire par superposition. Construire: Cest produire un objet partir dun texte descriptif ou prescriptif, partir dun schma clair par un texte ou des codages; Suivant lnonc les comptences mobilises ne sont pas les mmes :A partir dun programme de construction. Llve doit matriser: le vocabulaire et sa signification, les proprits des objets, la syntaxe spcifique de la gomtrie, le code dans le cas dun schma A partir dun schma cod. Llve doit connatre les conventions de codage, analyser une figure,- distinguer la figure du dessin. Reprsenter : cest voquer un objet ou une situation spatiale avec des procds graphiques.( construction dune maquette, dun plan) Dans le cas dun plan llve doit faire abstraction de certaines proprits quil connat (rabattre les murs par exemple) . Dans le cas de la reprsentation dun solide en perspective il doit prendre conscience que certaines proprits ne sont pas reprsentes que dautres ne sont pas conserves (perpendicularit). Problmes qui peuvent tre finalises dans des situations de communication. Localiser : cest situer un objet dans lespace rel ou sur une reprsentation de cet espace ( maquette plan photo) Dcrire : cest utiliser un vocabulaire gomtrique permettant un interlocuteur didentifier un objet, de le reproduire, de le construire ou de le localiser (situations de communication). Suivant le but de la description les comptences mobilises ne sont pas les mmes :Pour reconnatre une figure parmi dautres. Llve doit identifier les caractristiques des figures, et matriser le vocabulaire ; Pour reproduire une figure .Llve doit- analyser la figure et communiquer les diffrentes tapes de la construction, ce qui ncessite de dfinir une chronologie, de choisir le vocabulaire adapt, de se dcentrer pour contrler que le message est recevable par un tiers . Reproduire: cest faire une copie lidentique lchelle 1( ou autre) , on peut aussi demander de complter une figure dj commenc pour quelle soit la reproduction dune autre. La validation peut se faire par superposition. Construire: Cest produire un objet partir dun texte descriptif ou prescriptif, partir dun schma clair par un texte ou des codages; Suivant lnonc les comptences mobilises ne sont pas les mmes :A partir dun programme de construction. Llve doit matriser: le vocabulaire et sa signification, les proprits des objets, la syntaxe spcifique de la gomtrie, le code dans le cas dun schma A partir dun schma cod. Llve doit connatre les conventions de codage, analyser une figure,- distinguer la figure du dessin. Reprsenter : cest voquer un objet ou une situation spatiale avec des procds graphiques.( construction dune maquette, dun plan) Dans le cas dun plan llve doit faire abstraction de certaines proprits quil connat (rabattre les murs par exemple) . Dans le cas de la reprsentation dun solide en perspective il doit prendre conscience que certaines proprits ne sont pas reprsentes que dautres ne sont pas conserves (perpendicularit). Problmes qui peuvent tre finalises dans des situations de communication. Localiser : cest situer un objet dans lespace rel ou sur une reprsentation de cet espace ( maquette plan photo)

    6. Des exemples dactivits au cycle 2: Classer des figures Retrouver un objet cach Reproduire sur quadrillage Construire un carr Communiquer des positions ou des dplacements.

    7. Classer des figures Cette situation vise introduire la notion dangle droit, le classement des figures permet de dbattre sur la ncessit davoir un angle droit, la validation peut se faire partir du carr de base dessin sur papier quadrill. Les figures sont sur des tiquettes, le travail se fait par groupe de 2, les lves doivent argumenter leur choix. Cette situation vise introduire la notion dangle droit, le classement des figures permet de dbattre sur la ncessit davoir un angle droit, la validation peut se faire partir du carr de base dessin sur papier quadrill. Les figures sont sur des tiquettes, le travail se fait par groupe de 2, les lves doivent argumenter leur choix.

    8. Classer des solides et communiquer Un jeu du portrait : les lves ont leur disposition des figures dessines sur un document . Un groupe dlves a la responsabilit den faire deviner une aux autres lves en ne rpondant que par oui ou par non. Pour arriver trouver la bonne figure les autres lves posent toutes les questions ncessaires.

    9. Retrouver un objet cach Lespace utilis peut tre un tapis sur lequel sont disposs des blocs de couleur diffrentes pour servir de repres. Plusieurs boites sont disposes sur les faces dun mme bloc pour disqualifier la question : est-ce que la bote est ct du bloc ? Les lves peuvent tre placs de la mme manire ( ils regardent dans la mme direction ou non) Lespace utilis peut tre un tapis sur lequel sont disposs des blocs de couleur diffrentes pour servir de repres. Plusieurs boites sont disposes sur les faces dun mme bloc pour disqualifier la question : est-ce que la bote est ct du bloc ? Les lves peuvent tre placs de la mme manire ( ils regardent dans la mme direction ou non)

    10. Reproduire sur quadrillage Ne pas sous-estimer les difficults : relative la signification du mot reproduire et la prise de repres sur le quadrillage plus ou moins difficile suivant les modles reproduire . Ici certains enfants peuvent reproduire une forme gnrale, qui peut sappuyer ou non les lignes du quadrillage, dautres comptent les carreaux mais il reste les problmes des dcomptes dans les coins, si la figure est assez grande (ou si la figure nest pas dessin en partant du mme point du quadrillage), ils ne saperoivent pas quils nont pas compltement respect la taille. Ne pas sous-estimer les difficults : relative la signification du mot reproduire et la prise de repres sur le quadrillage plus ou moins difficile suivant les modles reproduire . Ici certains enfants peuvent reproduire une forme gnrale, qui peut sappuyer ou non les lignes du quadrillage, dautres comptent les carreaux mais il reste les problmes des dcomptes dans les coins, si la figure est assez grande (ou si la figure nest pas dessin en partant du mme point du quadrillage), ils ne saperoivent pas quils nont pas compltement respect la taille.

    11. Reproduire partir dun texte sur quadrillage Ne pas sous-estimer les difficults : relative la signification du mot reproduire et la prise de repres sur le quadrillage plus ou moins difficile suivant les modles reproduire . Ici certains enfants peuvent reproduire une forme gnrale, qui peut sappuyer ou non les lignes du quadrillage, dautres comptent les carreaux mais il reste les problmes des dcomptes dans les coins, si la figure est assez grande (ou si la figure nest pas dessin en partant du mme point du quadrillage), ils ne saperoivent pas quils nont pas compltement respect la taille. Ne pas sous-estimer les difficults : relative la signification du mot reproduire et la prise de repres sur le quadrillage plus ou moins difficile suivant les modles reproduire . Ici certains enfants peuvent reproduire une forme gnrale, qui peut sappuyer ou non les lignes du quadrillage, dautres comptent les carreaux mais il reste les problmes des dcomptes dans les coins, si la figure est assez grande (ou si la figure nest pas dessin en partant du mme point du quadrillage), ils ne saperoivent pas quils nont pas compltement respect la taille.

    12. Reproduire ou communiquer sur quadrillage Ne pas sous-estimer les difficults : relative la signification du mot reproduire et la prise de repres sur le quadrillage plus ou moins difficile suivant les modles reproduire . Ici certains enfants peuvent reproduire une forme gnrale, qui peut sappuyer ou non les lignes du quadrillage, dautres comptent les carreaux mais il reste les problmes des dcomptes dans les coins, si la figure est assez grande (ou si la figure nest pas dessin en partant du mme point du quadrillage), ils ne saperoivent pas quils nont pas compltement respect la taille. Ne pas sous-estimer les difficults : relative la signification du mot reproduire et la prise de repres sur le quadrillage plus ou moins difficile suivant les modles reproduire . Ici certains enfants peuvent reproduire une forme gnrale, qui peut sappuyer ou non les lignes du quadrillage, dautres comptent les carreaux mais il reste les problmes des dcomptes dans les coins, si la figure est assez grande (ou si la figure nest pas dessin en partant du mme point du quadrillage), ils ne saperoivent pas quils nont pas compltement respect la taille.

    13. Construire un carr Ayant dj construit des carrs sur quadrillage les lves connaissent la proprit dgalit des cts . Ils peuvent ici valider cette proprit par pliage ou par mesure. Mais ils ne connaissent pas la proprit des angles dun carr ( sur un quadrillage ils ne lont pas vrifi). Au CE1 tous ne russissent pas la constructions. Do dbat sur les dmarches, validation par superposition avec un carr tmoin ou une face de cube, formulation des proprits qui doivent ^tre respectes, rinvestissement. Ayant dj construit des carrs sur quadrillage les lves connaissent la proprit dgalit des cts . Ils peuvent ici valider cette proprit par pliage ou par mesure. Mais ils ne connaissent pas la proprit des angles dun carr ( sur un quadrillage ils ne lont pas vrifi). Au CE1 tous ne russissent pas la constructions. Do dbat sur les dmarches, validation par superposition avec un carr tmoin ou une face de cube, formulation des proprits qui doivent ^tre respectes, rinvestissement.

    14. Communiquer une position Une ou deux sances sont ncessaires ,on attend un plan trs incomplet ou les botes sont reprsentes sur les bords de la feuille et o lune dentre elles et marque et repre. Lactivit peut tre reprise dans la cour mais cest le matre qui fournit le plan avec diffrents repres, cest au groupe denfants de lorienter correctement. Une ou deux sances sont ncessaires ,on attend un plan trs incomplet ou les botes sont reprsentes sur les bords de la feuille et o lune dentre elles et marque et repre. Lactivit peut tre reprise dans la cour mais cest le matre qui fournit le plan avec diffrents repres, cest au groupe denfants de lorienter correctement.

    15. Des exemples dactivits au cycle 3: Reconnatre une figure Reproduire une figure en lagrandissant Construire un patron Reprsenter un empilement de cubes Utiliser un plan de ville

    16. Reconnatre une figure Dcrire pour reconnatre Cap math CM1 La situation impose un dcoupage en sous-figures et la formulation des relations qui les lient. Dans le manuel une liste de mots gomtriques est fournie dans laquelle les lves peuvent puiser. Dcrire pour reconnatre Cap math CM1 La situation impose un dcoupage en sous-figures et la formulation des relations qui les lient. Dans le manuel une liste de mots gomtriques est fournie dans laquelle les lves peuvent puiser.

    17. Reconnatre un solide Dcrire pour reconnatre Cap math CM1 La situation impose un dcoupage en sous-figures et la formulation des relations qui les lient. Dans le manuel une liste de mots gomtriques est fournie dans laquelle les lves peuvent puiser. Dcrire pour reconnatre Cap math CM1 La situation impose un dcoupage en sous-figures et la formulation des relations qui les lient. Dans le manuel une liste de mots gomtriques est fournie dans laquelle les lves peuvent puiser.

    18. Reproduire un dessin en lagrandissant La reproduction de cette figure ncessite de trouver le centre et le rayon des cercles, de localiser le centre du carr. Le fait dagrandir nautorise plus le report de mesure et ncessite de percevoir les proprits de la figure.La reproduction de cette figure ncessite de trouver le centre et le rayon des cercles, de localiser le centre du carr. Le fait dagrandir nautorise plus le report de mesure et ncessite de percevoir les proprits de la figure.

    19. Reproduire une figure Dcrire pour reconnatre Cap math CM1 La situation impose un dcoupage en sous-figures et la formulation des relations qui les lient. Dans le manuel une liste de mots gomtriques est fournie dans laquelle les lves peuvent puiser. Dcrire pour reconnatre Cap math CM1 La situation impose un dcoupage en sous-figures et la formulation des relations qui les lient. Dans le manuel une liste de mots gomtriques est fournie dans laquelle les lves peuvent puiser.

    20. Construire un patron La ralisation du patron mobilise en acte les proprits: la patron dun pav est dtermin par 2 fois 3 rectangles les dimensions du troisime rectangle sont dtermines par celles des 2 autres. Dautres activits de construction : partir dun dessin main leve , dun texte La ralisation du patron mobilise en acte les proprits: la patron dun pav est dtermin par 2 fois 3 rectangles les dimensions du troisime rectangle sont dtermines par celles des 2 autres. Dautres activits de construction : partir dun dessin main leve , dun texte

    21. Reprsenter un empilement de cubes La reprsentation ne ncessite pas ncessairement lutilisation de la perspective.on peut imaginer par exemple une vue de dessus o des carrs sont dessins et dans chacun desquels est indiqu le nombre de cubes empils. La reprsentation ne ncessite pas ncessairement lutilisation de la perspective.on peut imaginer par exemple une vue de dessus o des carrs sont dessins et dans chacun desquels est indiqu le nombre de cubes empils.

    22. Utiliser un plan de ville La ralisation du patron mobilise en acte les proprits: la patron dun pav est dtermin par 2 fois 3 rectangles les dimensions du troisime rectangle sont dtermines par celles des 2 autres. Dautres activits de construction : partir dun dessin main leve , dun texte La ralisation du patron mobilise en acte les proprits: la patron dun pav est dtermin par 2 fois 3 rectangles les dimensions du troisime rectangle sont dtermines par celles des 2 autres. Dautres activits de construction : partir dun dessin main leve , dun texte

    23. Pour une mme notion Combiner des types de problmes . Par exemple : Classer Dcrire Reproduire Construire On peut mettre en progression des situations visant l'apprentissage d'une notion gomtrique, en combinant les types de problmes dans lesquels cette notion peut servir d'outil de rsolution. Pour "angle droit", par exemple : -un classement de figures planes peut ncessiter le recours cette notion pour diffrencier des carrs et des losanges presque carrs, l'querre sera utilise comme moyen de vrifier les angles droits -un jeu de portrait sur ce mme lot peut permettre d'expliciter les proprits -une reproduction, ou une construction terminer permet de rendre opratoires les proprits exprimes et d'utiliser l'querre comme instrument de construction -une jeu de message pour reproduire une figure "simple" comportant des angles droits obligera l'utilisation d'un vocabulaire adquat, et l'explicitation des procdures de construction. On peut mettre en progression des situations visant l'apprentissage d'une notion gomtrique, en combinant les types de problmes dans lesquels cette notion peut servir d'outil de rsolution. Pour "angle droit", par exemple : -un classement de figures planes peut ncessiter le recours cette notion pour diffrencier des carrs et des losanges presque carrs, l'querre sera utilise comme moyen de vrifier les angles droits -un jeu de portrait sur ce mme lot peut permettre d'expliciter les proprits -une reproduction, ou une construction terminer permet de rendre opratoires les proprits exprimes et d'utiliser l'querre comme instrument de construction -une jeu de message pour reproduire une figure "simple" comportant des angles droits obligera l'utilisation d'un vocabulaire adquat, et l'explicitation des procdures de construction.

    24. Limportance des variables complexit Position loignement Des situations consigne daction identique peuvent dvelopper des apprentissages diffrents suivant les variables choisies : Complexit : dans une situation de description( par exemple pour reproduire une figure donne) le nombre de sous figures est une variable; dans une situation de de reproduction sur quadrillage le fait que les traits sappuie ou non sur les quadrillages, passent par les nuds ou non; dans une situation de construction partir dun texte prescriptif le nombre dinformation; dans une situation de reprsentation( plan par exemple) le nombre des sous lments.. Idem pour position : figure en position prototypique, position du quadrillage sur la feuille;ncessite de construire la figure dans un cadre.Des situations consigne daction identique peuvent dvelopper des apprentissages diffrents suivant les variables choisies : Complexit : dans une situation de description( par exemple pour reproduire une figure donne) le nombre de sous figures est une variable; dans une situation de de reproduction sur quadrillage le fait que les traits sappuie ou non sur les quadrillages, passent par les nuds ou non; dans une situation de construction partir dun texte prescriptif le nombre dinformation; dans une situation de reprsentation( plan par exemple) le nombre des sous lments.. Idem pour position : figure en position prototypique, position du quadrillage sur la feuille;ncessite de construire la figure dans un cadre.

    25. Le rle de la manipulation Elle prcde tout travail sur fiche. Elle se fait dans diffrents espaces. Elle dveloppe des comptences techniques. Rappel : Ce nest pas la manipulation des objets qui constitue lactivit mathmatique mais les questions quelle suggre. Elle est cependant ncessaire. Le travail sur des objets manipulables doit prcder le travail sur fiche (dont lusage doit rester limite). Les connaissances spatiales se mettent en place dans lespace rel (cycle 2) avec mise en relation de cette espace avec certaines reprsentations de cet espace ( photo, maquette, plan) Un travail limit des espaces reprsents ou voqus ne suffit pas mettre en place les connaissances. Les connaissances gomtriques ( plutt cycle 3)se construisent dans des problmes qui peuvent se situer dans lespace rel ( la cour, la classe), sur des objets purs ( solides usuels, feuille de papier) ou sur cran dordinateur. Les comptences lies au maniement dinstruments ( rgle querre compas gabarit calque) sont dveloppes travers des activits de rsolution de problme ( vrifier lalignement , tracer des perpendiculaires, trac de cercle, report de longueur, dangles Rappel : Ce nest pas la manipulation des objets qui constitue lactivit mathmatique mais les questions quelle suggre. Elle est cependant ncessaire. Le travail sur des objets manipulables doit prcder le travail sur fiche (dont lusage doit rester limite). Les connaissances spatiales se mettent en place dans lespace rel (cycle 2) avec mise en relation de cette espace avec certaines reprsentations de cet espace ( photo, maquette, plan) Un travail limit des espaces reprsents ou voqus ne suffit pas mettre en place les connaissances. Les connaissances gomtriques ( plutt cycle 3)se construisent dans des problmes qui peuvent se situer dans lespace rel ( la cour, la classe), sur des objets purs ( solides usuels, feuille de papier) ou sur cran dordinateur. Les comptences lies au maniement dinstruments ( rgle querre compas gabarit calque) sont dveloppes travers des activits de rsolution de problme ( vrifier lalignement , tracer des perpendiculaires, trac de cercle, report de longueur, dangles

    26. Fin