Pertemuan 03-04 Kinematika Partikel

1. Pertemuan 03-04Kinematika Partikel Matakuliah : K0014/010 Tahun : 2005 Versi : 0/0

2. Learning Outcomes Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu : • Memberikan definisi kinematika patikel : gerak satu dimensi ; lintasan , kecepatan ,percepatan ,gerak dalam bidang ; gerak parabol dan gerak melingkar→ C1 (TIK - 2)

3. Outline Materi • Materi 1 Lintasan , kecepatan dan percepatan • Materi 2 Gerak lurus - Gerak lurus beraturan - Gerak lurus dengan percepatan konstan - Gerak lurus dengan percepatan tidak konstan • Materi 3 Gerak dalam bidang • Materi 4 Gerak melingkar

4. ISI • Kinematika partikel adalah ilmu yang mem -pelajari .tentang gerak benda (lintasan benda) tanpa mempermasalahkan penye- bab gerak . Pertemuan ke tiga (P03) dan (P04) membahas gerak satu dimensi dan pertemuan ke empat (P04) gerak dua dimensi . • Penggunaan ilmu ini mulai dari lapangan tennis (perhitungan lintasan bola) sampai pada bidang antariksa (perhitungan lintasan satelit dan roket)

5. • 1. LINTASAN . KECEPATAN DAN PERCEPATAN Kinematika : ilmu yang mempelajari gerak benda tanpa memperhatikan penyebab gerak. Partikel bagian terkecil dari benda ; benda dianggap sebagai partikel bermassa tanpa volum sehingga benda tidak mengalami rotasi. 1•.Lintasan: panjang jalur yang ditempuh partikel / benda dari titik awal sampai titik akhir. ΔX = Xakhir(F) - Xawal(I) xI xF

6. 2• Kecepatan : Kecepatan adalah lajunya peruba- han letak partikel (benda) terhadap waktu (=linta san (ΔX) per waktu yang diperlukan menempuh lintasan (Δt)). . ................(02-01) Pada umumnya lintasan yang dilalui sebuah partikel berada dalam bidang atau ruang sehing -ga kedudukan benda dapat dinyatakan dalam vector posisi (Gambar 2-01) .

7. Y A,tA lintasan rA r B - r A = ∆r B,tB r B X Gambar 2-01. Gerakan benda dalam vektor posisi Kecepatan sesaat dalam bentuk vektor : ..................(02-02) atau ...........(02-03)

8. 3. Percepatam : Percepatan sebuah partikel (benda) adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu. Y 1 V1 V1 2 V2 V2 - V1 = ∆V lintasan V2 X Gambar 2-03 : Peruhan vektor kecepatan - Percepatan rata-rata , arar-rata: ............(02-04)

9. - Percepatan sesaat , a : Sebagai besaran vektor ; ............(02-04) ............(02-05) • 2.GERAK LURUS Gerak lurus adalah gerakan partikel/benda yang lintasannya berupa garis lurus - Gerak lurus beraturan (GLB) Gerakan partikel/benda dengan kecepatan V kon- stan dan mengikuti suatu garis lurus .

10. X (lintasan) = V (kecepatan) x t (waktu tempuh) - Gerak lurus dengan percepatan konstan Gerakan partikel dibatasi pada gerak satu dimensi dengan percepatan a konstan. atau , t0 = 0 ...(02-06)

11. Dari persamaan (02-05)diperoleh : V = V + at .............(02-07) dan dengan persamaan di bawah ini : Vrata-rata = ½ (V + V0)dan X = X0 + Vrata-rata t diperoleh : S = S0 + V0 t + ½ a t2...........(02-08) V2 = V02 + 2 a S ............(02-09) - Gerak lurus dengan percepatan tidak konstan Partikel/benda mengalami percepatan yang meru- pakan fungsi lecepatan .

12. simulasi gerak dengan percepatan konstan

13. a = - kV ; k = konstanta Persamaan ini bila diintegralkan menghasilkan : ..................(02-09) dan persamaan lintadannya : ...................(02-10) Contoh soal 1 : Sebuah kendaraan melaju ke arah utara dan ..........

14. berkurang kecepatannya secara teratur dari 70km/ jam menjadi 50 km/jam,sambil berpindah sejauh 0,08 km. a). Berapa besar percepatannya b). Berapa lama berlangsungnya percepatan nya. c). Bila perlambatan tersebut berlangsung terus berapa waktu yang diperlukan sampai berhenti d). Berapakah jarak yang ditempuh sampai berhenti. Jawaban : a).Percepatan a = ( v2 – v02 )/(2(x – x0)) a = ( (50 km/jam) – (70 km/jam)2) / (2(0.08 km)) = - 1.16 m / s2 Jadi kendaraan mengalami perlambatan 1.16 m/s2

15. b).t = (v – v0 )/a → t = (-20000 m/3600 s)/1,16m/s2 →t = 4.8 st = 4,8s c).t = (v – v0 )/a → t = (0 – 70000 m/3600 s)/ (- 1.16m/s2) → t = 16.8 s t = 16,8s d). X – X-0 = v0 t + ½ a t2 = (70000 m / 3600 s )16,8 s ) + ½ (- 1,16 m / s2 ) (16,8 s)2 = 163 m Contoh soal 2 : Sebuah balon naik dengan kecepatan 12 m/s . Ketika tingginya 80 m di atas tanah sebuah benda dijatuhkan . Berapa lama waktu yang diperlukan benda untuk mencapai tanah.

16. Jawaban : Benda bergerak ke atas dengan kecepatan V0 dan perlambatan – g sehingga mencapai titik tertinggi dimana kecepatan titik tertinggi V = 0 maka : V2 = 0 = V02 - 2 g S → (12m/s)2 = 2 x 9.8 m/s2 S → S = 7.35 m V = V0 - gt → 0 = 12 m/s - 9.8 m/s2 t → t = 1.22 s Dari tutuk tertinggi jatuh ke tanah : S = ½ gt2 S = (80 + 7.35) m = ½ 9.8 m/s2 t2 → t = 4.22 s Jadi waktu yang diperlukan benda untuk mencapai tanah adalah : t = 1.22 s + 4.22 s = 5.44 s

17. • 3.Gerak dalam bidang datar (Gerak dua dimensi) Pembahasan dalam bagian ini akan meliputi kecepatan dan percepatan , gerak dalam bidang datar dengan percepatan konstan , gerak peluru dan gerak melngkar . ● Kecepatan rata-rata, kecepatan sesaat Y ∆rQ lintasan rP = xP i + yPj P rQrP = <xP , yP> rP rQ = <xQ , yQ> ∆r = rQ - rP X ∆r =< xQ- xP , yQ - yP> Vrata2 = dr / dt

18. V = lim∆t → 0 (∆r/∆t) = dr /dt V = dr /dt = VX i + VY j ...............(02-11) ● Percepatan rata-rata, percepatan sesaat Y V2 V1∆V V1 2 V2 lintasan 1 arata2 = ∆V / ∆t X a = lim∆t → 0 (∆V / ∆t) a = dV / dt = aX i + aYj ......................(02-12) - Komponen–komponen percepatan Penguraian percepatan atas komponen-komponen ...........

19. dapat dilakukan atas dua cara , yaitu : - Komponen-komponen menurut sistem salib sumbu (Gambar 2-04 ) - Komponen-komponen menurut arah lintsan dan tegak lurus arah lintasan (Gambar 2-05) Y Y lintasan aT aXi j aY j a a i X aN X Gambar 2-04 Gambar 2-05 Pada Gambar 2-04 : a = aXi +: aY j a = √ (aX2 + aY2) ..........(02-13)

20. Pada Gambar 2-05 : aT= percepatan tangensial (singgung = garis) aN = percepatan normal (radial = sentripetal) a = aT + aN a = √ (aT2 + aN2) ....................(02-14) Percepatan tangensial dan normal diperleh secara vektorial sebagai berikkut : Y V1 V1 ∆V 2 V2Θ ∆VT V2 1 ∆VN X Bambar 2-06 Gambar 2-06 merupakan gambar diagram vektor percepatan dimana vektor V1diputar sampai berimpit dengan V2 yang

21. menghasilkan percepatan ∆VNdan sudutΘserta ∆VT V1 + ∆VT = V2.....................(02-15) ∆V = V2 - V1 ∆V = ∆VT + ∆VN.......................(02-16) Apabila sudut menuju nol maka ∆VN tegak lurus ∆VT Perssamaan (02-16) dibagi ∆t memberikan : arata2 = ∆V/∆t = ∆VT /∆t + ∆VN/∆t a = lim∆t →0 (∆V/∆t) = dV/dt aT= lim∆t →0 (∆VT/∆t) dan aN= lim∆t →0 (∆VN/∆t) a = aN + aT ................(02-17) a = √ (aN2 + aT2)

22. •Gerak dengan percepatan konstan Persamaan kecepatan dan percepaandalambentuk skalar - Arah sumbu X :: VX = V0X + aX t ......................(02-18a) X - X0 = ½ (V0X + VX ) t .......................(02-18b) X - X0 = V0X t + ½ aY t2.......................(02-18c) VX2 = V0X2+ 2aXX . ......................(02-18d) - Arah sumbu Y :: VY = V0Y + aY t .. .....................(02-19a) Y - Y0 = ½ (V0Y + VY ) t . ......................(02-19a) Y - Y0 = V0Y t + ½ aY t2. ......................(02-19a) VY2 = V0Y2+ 2aYY .......................(02-19a) Persamaan-persamaan di atas secara vektor dapat dinyatakan sebagai berikut :

23. V = V0 + a t ..................(02-20) r = r0 + v0t + ½ a t2. .................(02-21) • Gerak parabol Partikel bergerak dengan percepatan konstan a pada arah sembarang diurai atas dua arah ; yaitu menurut arah sumbu X . dan Y , sehingga terdapat 2 komponen yaitu ; komponen hori – sontal aX yang besarnya konstan dan komponen vertikal aY yang besarnya konstan - g. Pada gerak peluru aX = 0 dan aY = - g . Karena aX= 0 maka VX = konstan Dengan demikian persamaan gerak dengan percepatan konstan pada bidang datar dapat digunakan sebagai acuan dalam merumuskan persamaan gerak parabol .

24. Benda ditembakkan dengan kecepatan V0 dan sudut elevasi Θ : V0X = V0 cos Θ.......................(02-22) V0Y = V0 sin Θ .......................(02-23) - Kecepatan dan percepatan peluru diurai atas komponen horisontal dan vertikal : Y Y VY V V0Y V0 lintasan VX X X V0X (a) (b) Ganbar 2-07. Kecepatan peluru : (a).Pada saat t = 0 (b), Pada saat t

25. Kecepatan peluru saat t yaitu Gambar 2-05 (b) komponen kecepatannya adalah : VX = V cos Θ..................... (02-24) VY = V0 sin Θ - g t .....................(02-25) - Lintasan peluru saat t = t X = (V0cos Θ) t .....................(2-26) Y = (V0 sin Θ) t - ½ g t2 .....................(2-27) . Waktu yang diperlukan peluru untuk mencapai titik tertinggi . Saat mencapai titik tertinggi VY = 0 sehingga persamaan (02-25) menjadi :

26. V0 sin Θ - g t = 0 → t = (V0 sin Θ) / g ........................(02-28) - Tinggi maximum peluru , Ymax : Persamaan (02-28 dan (02-27) memberikan : Ymax = ½ (V0 sin Θ)2 /g ……………… (02-29) - Waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi semula Untuk menscapai tinggi semula terjadi bila Y = 0 0 = (V0 sin Θ) t - ½ g t2 t = (2 V0 sin Θ) / g ............... (02-30) Persamaan (02-30 dengan persamaan (2-26) : menghasilkan jarak terjauh yang ditempuh peluru : Xmax = (V02 sin 2 Θ ) / g ...............(02-31)

27. simulasi gerak peluru

28. Dari persamaan (02-31) ternyata jarak tempuh peluru terjauh , merupakan fungsi sudut Θ , yang menghasilkan jarak terjauh terjadi bila sudut elevasi Θ adalah 450 . Contoh soal 1: . Santa Claus berada di atas puncak atap rumah yang bersalju, tiba tiba tergelincir dan meluncur jatuh ke bawah di depan pintu rumah tsb. Atap rumah panjang nya 8 m dan kemiring- annya 370 dengan horizontal .Tinggi ujung bawah atap 6 m a).Berapa jauh ia jatuh di depan pintu rumah. b).Tentukan arah dan kecepatannya ketika membentur tanah . Jawaban : Persamaan yang digunakan V2 = V02+ 2aS

29. a = g Percepatan g diurai atas dua komponen : g sin Θ yang sejajar bidang miring dan g cos Θyang tegak lurus bidang miring VA2 = 0 + 2 (9,8 m/s2 sin 370 ) 8m VA = 9.71 m/s VAX = 9.71 m/s cos 370 = 7.75 m/s VAY = 9.71 m/s sin 370 = 5.84 m/s C g sin Θ AC = 8 m Θ = 370 A AB = 6 m g cus Θ g B D

30. SY - S0 = VY t + ½ aY t2 6 m = 5.84 m/s t + ½ x 9.8 m/s2 t2 6 m = 5,84 m/s t + ½ 9,8 m/s2 t2 4.9 t2 + 5.84 m/s t– 6m = 0 → t = 0.66 s ; t2 = - 0.18 s Diambil harga t = 0.66 s → SX = V0 sin 370 t maka SX = 7.75 m/s x 0.66 s = 5.11 m b). VAX = 7.75 m/s → VDX = 7.75 m/s VAY = 5.84 m/s → VDY = VAY + g t VDY = 5.84 m/s + 9.8 m/s2 x 0.66 s VDY = 12.32 m/s VB = √(VDX2 + VDY2) = √(7.75 2 + 12.32 2) m/s = 14.56 m/s Θ = atan (12.32/7.75) = 57.80

31. •4. Gerak melingkar • Gerak melingkar beraturan Gerakan suatu partikel yang menjalani lingkaran degan kecepatan konstan . VQ Q VP OQ = R PQ = ∆S P ω = kecepatan sudut Θ = ω t ω∆S = R dΘ ........(02-32) dΘ Θ O

32. Kalau kecepatan sudut ω konstan maka kecepatan tangensial V juga konstan maka : VP = VQ tetapi arahnya berubah sehingga menurut vektor ada perubahan ecepatan yang besarnya∆ V . VP ∆V VQ θ Untuk sudut θ menuju ke 00 maka ∆V tegak lurus V dan disebut ∆VN sehingga : ....................(02-33)

33. Dalam gerak melingkar beraturan dimana partikel bergerak dengan kecepatan konstan , V , akan selalu terdapat percepa tan normal aN (percepatan sentripetal ) yang arahnya menuju ke pusat lingkaran . (Pernyataan ini indentik fengan : Apabila suatu partikel bergerak dengan kecepatan konstan ,V , dan padanya bekerja gaya konstan , F , yang tegak lurus V maka partikel akan brgerak melingkar .) •Gerak melingkar dipercepat Partikel bergerak dengan kecepatan tidak konstan sehingga menyebabkan terjadinya percepatan sudut αdan percepatan tangensial aT . Menurut persaman (02-32) : V ( = VT ) = ωR → ∆V/∆t = ∆ω/∆t

34. - Percepatan sudut , α [rad/s2] ................(02-34) .................(02-35) Perssamaan (02-35) berama peramaan (02-34) dan (02-32) memberikan : ............(02-36) Maka untuk gerak melingkar dengan percepatan , analobgi dengan gerak lurus dipercepat , berlaku persamaan- peramaan berikut : ........

35. ω = dΘ / dt ..............(02-37a) α = dω / dt = d2Θ / dt ..........................b) ωrata2 = ½ (ω + ω0) ............... ......c). ω = ω0 + α t ..........................d) ω2 = ω02 + 2 α (Θ - Θ0 ) .........................e) Θ - Θ0 = ω0 t + ½ α t ..........................f) Contoh soal : Kecepatan sudut suatu partikel yang bergerak melingkar demgan jejari 0.1 m adalah 4 rad/s saat t = 0 .dan percepztan sudutnya konstan 2 rad/s2. a). Berapa besar lintasan sudut setelah 3 sekon . b). Berapa besar kecepatan sudutnya saat t = 3 s c). Tentukan percepatan : tangensial , normal dan total .

36. Jawaban : a). Θ = 4 rad/s x 3s + ½ ( 2 rad/s2 x (3s)2 ). = 21 rad = 21 rad x (putaran/2πrad) = 3,34 put. b).ω = 4 rad/s + 2 rad/s2 x 3s = 10 rad/s c). V = ωR dan aR = V2 / R → aR = ω2R . aR = (4 rad/s)2 x 0,1m = 0,4 m/s2 . aT = α R = 0,1m x 2 rad/s2 = 0,2 m/s2 . a = ((aR2 + aT2 )½ → a = 0,45m/s2 .

37. v

38. << CLOSING>> • Setelah mengikuti dengan baik mata kuliah ini mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan persoalan-persoalan yang berhubungan dengan kinematika partikel ,dan khususnya yang terkait dengan bidang MIPA