C.-H. Lamarque, O. Gendelman (Technion), Ture Savadkoohi, E. Etcheverria

1. TRANSFERT, LOCALISATION ENERGETIQUE ET NON REGULARITE (avec le support de l’ANR ADYNO) C.-H. Lamarque, O. Gendelman (Technion), Ture Savadkoohi, E. Etcheverria Université de Lyon ENTPE/CNRS DGCB FRE 3237 Rue Maurice Audin 69 518 Vaulx-en-Velin Cedex, France

2. Contexte et objectifs • Absorber l’énergie de vibration d’une structure grâce à une structure auxiliaire et un couplage non linéaire, embarqué ou non • Application en Génie Civil, en acoustique, en automobile… • Phénoménologie et principe de conception à partir de l’étude de systèmes à petit nombre de ddl: par exemple 2 (1 ddl à contrôler par 1 ddl auxiliaire) • En général, étude de systèmes initiaux linéaires ou à non linéarité régulière • Extension: • ou bien le système initial est non linéaire non régulier (cas 1) • ou bien le couplage du système auxiliaire est non linéaire non régulier (cas 2)

3. Cas 1: système initial avec non linéarité non régulière Par exemple, des éléments de Saint-Venant (« frottement ») 3/45

4. 4/45

5. Résumé: • Design du NES en linéarisant le système initialement non linéaire autour de l’origine, par une méthode analytique : • Efficacité sous impulsion • Efficacité sous sollicitation transitoire brève • Cas forcé: le même design pas toujours efficace • F. Schmidt, C.-H. Lamarque, Energy pumping for mechanical systems involving non-smooth Saint-venant terms, International Journal of Non-Linear Mechanics, Volume 45, Issue 9, November 2010, 866-875.

6. Cas 2 Système initial linéaire Non linéarité « auxiliaire » non régulière (affine par morceaux)

8. Régime libre Système étudié • ε<<1 • F(z) raideur de couplage linéaire par morceaux.

9. Régime libre Méthode de complexification de Manevitch • 2 masses en résonance 1 :1, oscillations rapides modulées par une enveloppe lente

10. Régime libre Méthode de complexification de Manevitch • Moyenne en temps rapide • φ1 et φ2 ainsi que leurs dérivées ont des variations lentes sur cette échelle de temps.

11. Régime libre Méthode de complexification de Manevitch • f1, premier terme de la décomposition en série de Fourier de F(w)

12. Régime libre Ordre ε° • On cherche les solutions bornées • τ0→∞

13. Régime libre Ordre ε° • φ1=N1eiδ1 et Φ=N2eiδ2 • Etude des extremums locaux • Etude de la stabilité

14. Régime libre Ordre ε° • 1er cas : c≤1Pas d’extremum. Tous les points fixes sont stables. • 2ème cas : c>1Amortissement critique à partir duquel il n’existe pas d’extremum et tous les points fixes sont stables. Pour λ<λc , il ya deux extremums et certains points fixes sont instables

15. Régime libre Ordre ε° • c>1et λ<λc Détermination des zones de stabilité et d'instabilité des points fixes

16. Régime libre Ordre ε1 • Equations singulières aux points extrémaux de la relation N1↔ N2

17. Régime libre Description du phénomène • c≤1 ou λ≥λc : pas de pompage possible Représentations graphiques des points fixes dans le cas où il n’y a pas de pompage possible

18. Régime libre Description du phénomène • c>1 et λ<λc : pompage possible Différents scénarios selon l’énergie initiale

19. Régime libre Vérification numérique des conditions de pompage • Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ<λc Simulation numérique de la relation N1⇔N2 comparée à la prédiction analytique

20. Régime libre Vérification numérique des conditions de pompage • Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ<λc Déplacements de la masse principale et de la masse auxiliaire

21. Régime libre Vérification numérique des conditions de pompage • Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ>λc Déplacement de la masse principale pour différents amortissements

22. Régime forcé

23. Régime forcé Système étudié • Ordre ε° : Mêmes équations qu’en régime libre • Ordre ε1 : Même dénominateur qu’en régime libre

24. Régime forcé Ordre ε1 : réponse fortement stationnaire • Equation à l’ordre ε1 en régime permanent • Etude des extremums locaux • Etude de la stabilité des points fixes

25. Régime forcé Ordre ε1 : réponse fortement stationnaire • 1er cas : Pas d’extremum. Tous les points fixes sont stables. • 2ème cas : Il y a deux extremums et certains points fixes sont instables jusqu’à une certaine valeur de l’amortissement. Au-delà de cette valeur il n’existe pas d’extremums et tous les points fixes sont stables.

26. Régime forcé Ordre ε1 : réponse fortement stationnaire • Pour un amortissement pas trop grand

27. Régime forcé Oscillations fortement modulées • Près de la pulsation propre Battements des oscillations de la masse principale en régime permanent

28. Régime forcé Oscillations fortement modulées • Près de la pulsation propre Courbe N1⇔ N2 entre t=40 000 et t=95 000

29. Régime forcé Oscillations fortement modulées • Près de la pulsation propre Sections de Poincaré de la masse principale et de la masse auxiliaire

30. Régime forcé Oscillations fortement modulées • Avant stabilisation sur le point fixe Cycle d’oscillations de relaxations avant stabilisation

31. Régime forcé Etude de portraits de phase

32. Régime forcé Etude de portraits de phase • Régime libre Portrait de phase pour le régime libre

33. Régime forcé Etude de portraits de phase • Régime libre Diagramme N1⇔ N2 correspondant

34. Régime forcé Etude de portraits de phase • Régime forcé : • Apparition de bifurcations de type nœud-selle sur les lignes de singularité : • certaines trajectoires de phase sont tangentes à l’une des lignes de singularité • apparition de points d’équilibres de type « singularité pli »

35. Régime forcé Etude de portraits de phase • fo<fo1crit : pas de bifurcation

36. Régime forcé Etude de portraits de phase • fo>fo1crit : bifurcation de type nœud-selle sur la ligne de singularité inférieure

37. Régime forcé Etude de portraits de phase • fo>fo2crit : bifurcation de type nœud-selle sur la ligne de singularité supérieure

38. Régime forcé Etude de portraits de phase • fo>fo1crit : condition nécessaire mais non suffisante à l’apparition du régime quasi-périodique • Influence de la pulsation et des conditions initiales

39. Régime forcé Etude de portraits de phase • Régime permanent quasi-périodique

40. Régime forcé Etude de portraits de phase • Régime permanent périodique après un régime transitoire d’oscillations de relaxation

41. Régime forcé Etude de portraits de phase • Régime permanent périodique

42. Conclusions • Pompage énergétique possible avec un couplage par raideur linéaire par morceaux • (y compris en présence de « jeu »: pas montré ici) • Résultats analytiques corroborés par des résultats numériques • Mais : • Il faut ajuster le design à la plage d’énergie à atténuer • Le comportement d’oscillations de relaxation doit être étudié • Perspectives : • L’étude d’un système initial avec jeu à approfondir • Coupler le design on régulier à un modèle « réaliste » de structure

43. Merci de votre attention

44. Système initial non linéaire non régulier Présence d’un « jeu »

45. Présence d’un « jeu » Système étudié

46. Présence d’un « jeu » Relation N1↔N2

47. Présence d’un « jeu » Vérification numérique de la relation N1↔N2 Courbe analytique N1⇔N2 (en bleu) pour ω=1 et courbes numériques (a=1, c=1.5,e=1, f=2,λ=0.2) en noir pour ε=0.01 et en rouge pour ε=0.001

48. Présence d’un « jeu » Etude numérique des conditions de pompage

49. Présence d’un « jeu » Etude numérique des conditions de pompage • Cas n°1 : Pompage énergétique moins efficace que lorsqu’il n’y a pas de jeu. • Cas n°3 et cas n°4 triviaux • Amortissement critique plus faible et énergie d’activation plus élevée quand on se rapproche des cas extrêmes 2 et 5