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Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides Ph. Ackerer, A. Younes

Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides Ph. Ackerer, A. Younes ackerer@imfs.u-strasbg.fr Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg. La méthode des EFMH. Réduction du nombre d’inconnues. Condensation de masse. : charge [L].

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Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides Ph. Ackerer, A. Younes

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Presentation Transcript

  1. Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides Ph. Ackerer, A. Younes ackerer@imfs.u-strasbg.fr Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg La méthode des EFMH Réduction du nombre d’inconnues Condensation de masse

  2. : charge [L] : vitesse de Darcy [L/T] : terme puits/source [1/T] : conductivité hydraulique [L/T] : coefficient d’emmagasinement [1/L] : vecteur unitaire normal Résolution de l’EDP (conservation de la masse, loi de Darcy, CI & CL)

  3. (xi,yi) • la valeur moyenne de P sur A • la valeur moyenne de P sur • l’approximation de sur A • l’espace RT0 (xj,yj) (xk,yk) • Pour les triangles, une base de est Valeur de PA Valeur de P et du gradient Résolution avec les EFMH

  4. L’écriture variationnelle de la loi de Darcy ( ) (xi,yi) (xj,yj) • B-1est une matrice élémentaire définie positive (xk,yk) qui s’écrit

  5. (xi,yi) Hybridation (xj,yj) (xk,yk) • Continuité des Pressions et des flux entre deux éléments A et B Discrétisation implicite de l’équation de conservation de la masse

  6. Nouvelle formulation Trouver une nouvelle variable H (par élément) tq : Les coefficients sont obtenus par identification Remarque : Le système précèdent n’est pas linéairement indépendant. Un coefficient est à définir a priori. Formulation standard

  7. (xi,yi) B D A Continuité des flux et charges (xj,yj) (xk,yk) C Forme discrétisée complète Nouvelle formulation

  8. Le cas elliptique (avec ou sans termes puits source) avec La matrice est symétrique. Elle est définie positive si Dans le cas du problème elliptique sans terme puits source, H peut être interprété comme la charge au centre du cercle circonscrit.

  9. Le cas parabolique (avec ou sans termes puits source) La matrice est généralement non symétrique et non définie positive. Dans le cas de triangles équilatéraux, la matrice est définie positive. Elle peut être rendue symétrique avec un choix adéquat du coefficient choisi a priori (un coef. par élément).

  10. La charge et la vitesse sont approchées simultanément • Résolution en traces de charge : matrice symétrique définie positive Propriétés des EFMH • La masse est conservée localement • Continuité des flux et des charges sur les facettes de chaque maille • La matrice obtenue n’est en général pas une M-matrice • La propriété de M-matrice garantie le principe du maximum discret : Dans un domaine sans terme puits/source, il ne peut y avoir de maximum ou de minimum local dans la solution en P obtenue.

  11. (xi,yi) Le terme sur la diagonale (xj,yj) Le terme hors diagonale (xk,yk) Matrice des EFMH

  12. i Régime permanent ( ) Régime transitoire ( ) j Pour une triangulation à angles aigus, les EFMH donnent une M-matrice • Dans le cas du régime permanent • Dans le cas du régime transitoire si &

  13. Remarques L’utilisation d’une approximation permet de diagonaliserla matrice élémentaireB et abouti ainsi à une procédure de condensation de masse (triangle ou rectangle). Dans le cas du régime permanent, le système en TP obtenu en écrivant la continuité des flux avec les EFMH est le même qu’avec les • La pression et la vitesse peuvent être approchés en deux étapes : • P est approchée via la méthode des éléments finis non conformes . • Ensuite, la vitesse est approchée dans chaque éléments via l’espace RT0

  14. (xi,yi) • Sur l’élément A l’espace RT0 • Le flux sur chaque facette Ai est donné par • correspond au cas stationnaire sans terme puits/source : (xj,yj) (xk,yk) • Continuité des charges et des flux entre deux éléments A et B La méthode EFMH avec condensation de masse

  15. Le terme sur la diagonale (xi,yi) Le terme hors diagonale (xk,yk) (EFMH) (xj,yj) Régime permanent (c = 0) Régime transitoire Matrice des EFMHC

  16. Expériences numériques Domaine et CL Solution analytique

  17. a b c d Résultats

  18. Input h=-75 cm Unsat. porous media Output h=-1000 cm Ecoulement en milieux non saturés

  19. Conclusion : La formulation à une inconnue • Nous avons construit une formulation pour la MEFM appliquée aux triangles.Le nombre d’inconnues avec cette formulation est le nombre total d’élément pour le problème elliptique et parabolique pour une triangulation quelconque. 2. Pour le problème elliptiqueavec termes puits source (la plupart des cas étudiés), on obtient une matrice symétrique qui peut être définie positive. Dans ce cas, la nouvelle formulation est très attractive en terme de temps CPU. 3. Pour le problème parabolique, la matrice est, en général, non symétrique et non définie positive. 4.La méthode peut être étendue aux tétraèdres réguliers.

  20. Conclusion : Les EFMHC 1. Les EFMHC donnent toujours une matrice symétrique définie positive (solvers itératifs). 2. Les EFMHC donnent une M-matrice uniquement dans le cas d’une triangulation à angles aigus. 3. Les EFMHC peuvent être utilisés dans le cas où la conductivité est un tenseur plein. 4.Les EFMHC sont simples à implémenter dans les codes basés sur les EFMH .

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