Metoda matricelor de transmitere folosită pentru rezolvarea grinzilor rezemate pe mediu elastic

Metoda matricelor de transmitere folosită pentru rezolvarea grinzilorrezemate pe mediu elastic

Consideraţii generale Echilibru pe tronsoane – tronsonul liber în câmp Echilibru pe frontieră Procedeu general de calcul Aplicaţie

Consideraţii generale Metoda matricelor de transmitere se include în categoria metodelor mixte, deoarece foloseşte atât necunoscute de tip eforturi, cât şi de tip deplasări. Se aplică cu anumite avantaje în cazul grinzilor drepte. Grinda dreaptă considerată rezemată punctual, pe reazeme fixe, pe reazeme tasabile sau rezemată continuu pe mediu, fig. 1., se poate împarţi în următoarele subsisteme: • travee, • tronson, • frontiere.

Consideraţii generale Fig. 1. Grinda dreaptă

Consideraţii generale TRAVEE se identifică cu porţiune din grindă cuprinsă între două reazeme consecutive; TRONSONUL reprezintă o porţiunea dintr-o travee acţionată de sarcini uniform distribuite, q, având modulul de rigiditate la solicitarea de încovoiere constant EI = constant şi în lungul căreia forţa, T, momentul încovoietor, M, săgeata şi rotirea, v şi θ, nu au nici o discontinuitate; FRONTIERA este cuprinsă totdeauna între două tronsoane şi introduce o discontinuitate de moment de inerţie, de încărcare etc. Condiţiile de echilibru static al forţelor şi de compatibilitate a deplasărilor se exprimă în lungul elementelor şi a frontierelor întregii grinzi.

Consideraţii generale În fig. 6.2 sunt indicate sensurile eforturilor: moment încovoietor şi forţă tăietoare şi deplasărilor unghiulare şi liniare (rotiri şi săgeţi) corespunzătoare semnului pozitiv: • momentele încovoietoare sunt pozitive atunci când întind fibra inferioară; • forţele tăietoare sunt pozitive atunci când tind să rotească elementul de grindă în sens orar; • rotirile sunt pozitive atunci când se produc de la axa iniţială până la axa deformată; • deplasările liniare sunt pozitive în jos. Fig. 2. Sensuri corespunzătoare semnului pozitiv al eforturilor şi deplasărilor

Echilibru pe tronsoane – tronsonul liber în câmp Se consideră un tronson de bară, încărcat ca în fig.3. Fig. 3. Subsistemul – tronson liber în echilibru

Echilibru pe tronsoane – tronsonul liber în câmp Utilizând relaţiile de la parametrii în origine se obţin eforturile şi deplasările din extremităţi, funcţie de încărcări: (1.)

Echilibru pe tronsoane – tronsonul liber în câmp Definim vectorul eforturilor şi deformaţiilor, vector de stare: (2.) Legătura dintre vectorul de stare din dreapta şi cel din stânga se realizează prin intermediul unei matrice [A], numită matrice de tronson: (3.)

Echilibrul pe tronsoane – tronsonul liber în câmp Conform relaţiilor (1.), matricea de tronson are forma următoare: (4.)

Echilibrulpe tronsoane – tronsonul rezemat pe mediu deformabil Utilizând expresiile de la parametrii în origine se pot pune în evidenţă relaţii între eforturile de pe faţa din şi din stânga şi dreapta a unui tronson detaşat dintr-o grindă rezemată pe mediu (5.)

Conform relaţiilor de mai sus, relaţiile (5.), matricea de tronson are forma: (6.6.)

Echilibrul pe frontieră Frontiera se consideră un tronson elementar, elementul liber în câmp, fig. 4. Fig. 4. Frontiere dintre două elemente

Echilibru pe frontieră Din echilibrul tronsonului elementar obţinem: (7.) , (8.)

Echilibru pe frontieră Unde [C] reprezintă matricea de frontieră: (9.)

Echilibrul pe frontieră Frontiera se consideră un tronson elementar, elementul rezemat pe mediu deformabil, fig. 5. Fig. 5. Frontiere dintre două elemente rezemată pe teren

Echilibru pe frontieră ; ; ; Din echilibrul tronsonului elementar obţinem: ; ; ; ; ; . (10.) Matricea de frontieră: (11.)

Procedeu general de calcul Se constituie un vector de stare din origine . Se parcurge grinda de la dreapta prin exprimarea vectorilor de stare de la dreapta în funcţie de cei de la stânga; în funcţie de tronsoanele şi frontierele întâlnite. În final se obţine o ecuaţie matricială între vectorul de stare din origine şi vectorul de stare din dreapta grinzii : , (6.12.) unde [G]reprezintă matricea de grindă, triunghiulară superioară.

Procedeu general de calcul Necunoscutele din cei doi vectori se determină din condiţii de capăt: Capăt simplu rezemat: , (13.) Capăt încastrat: , (14.) Capăt Liber: , (15.) Observaţie: Ecuaţia matricială (6.12.), reprezintă un sistem cu 4 ecuaţii şi 4 necunoscute.

Aplicaţie Să se rezolve grinda din fig.6. şi fig.7., rezolvată în capitolul 5, prin metoda parametrilor în origine. Fig. 6. Grinda rezemată pe mediu

Fig. 7. Grinda rezemată pe mediu, tronsoanele, frontiera şi matricele de definire

Aplicaţie ; ; ; Conform fig.7. şi aspectelor teoretice expuse anterior: ;

Aplicaţie De asemenea,

Aplicaţie Echilibru pe grindă se exprimă prin sistemul de ecuaţii următor:

Aplicaţie Matricele de definire sunt următoarele:

Aplicaţie şi

Metoda matricelor de transmitere folosită pentru rezolvarea grinzilor rezemate pe mediu elastic