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Lógica Temporal. Tablas semánticas. Beatriz Pérez Sánchez Lógica Computacional Curso 2005-2006 Departamento de Computación. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Introducción. Además de los operadores del cálculo proposicional ( Λ , ν ,¬,→), existen tres operadores unarios temporales:
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Lógica Temporal. Tablas semánticas. Beatriz Pérez Sánchez Lógica Computacional Curso 2005-2006 Departamento de Computación
Lógica Temporal Proposicional (PTL). Introducción. • Además de los operadores del cálculo proposicional (Λ,ν,¬,→), existen tres operadores unarios temporales: • always, denotado por □, “para cualquier instante t en el futuro”, • eventually, denotado por ◊, “para algún instante t en el futuro”, • next, denotado por ○, “en el instante siguiente”. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
PTL. Sintaxis y Semántica (I). • La semántica de PTL da una interpretación, para las proposiciones y el tiempo. • Define un conjunto de estados. Cada uno contiene una interpretación de las proposiciones. • El tiempo se representa mediante transiciones entre estados. • Una interpretación PTL se dibuja como un diagrama de transición de estados. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
PTL. Sintaxis y Semántica (II). • Se da una demostración de cómo el valor cierto de la fórmula temporal A = □p v□q se determina para cada estado s en la figura anterior. • A es cierto en s0 • A es falso en s1 • A es cierto en s2 • A es falso en s3 s1 P q P q ¬P q s0 s2 ¬P ¬q s3 Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
PTL. Sintaxis y Semántica (III). • Una interpretación I para una fórmula PTL es un par (s,ρ) donde S={s1,s2,…,sn} es un conjunto de estados cada uno de los cuales es una asignación de valores T a las proposiciones atómicas de A y ρ es una relación binaria entre estados. • Una fórmula en PTL es satisfacible ssi existe una interpretación I = (s, ρ) y un estado sєS tal que υs(A) = T(el valor de A en s es T). Si I,s |= Apara algún sєS entonces I se denomina modelo para A. Una fórmula A en PTL es válida si y sólo si para toda interpretación I de A y para todos los estados sєS, I,s |= A. • El análisis hecho para la fórmula A = □p v□q y la interpretación I puede repetirse utilizando la definición formal de interpretación. ρ (s0) = {s1,s2} y además s1 |= q y s2 |= q, concluimos que I, s0 |= □q . Entonces I, s0 |= □p v □qpor interpretación de la disyunción. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
PTL. Tablas Semánticas (I). • El método de tablas semánticas se puede utilizar para obtener un proceso de decisión para la satisfacibilidad en PTL. Se añaden las siguientes reglas a las α- y β-reglas del cálculo proposicional. • Las α- y β-reglas son exactas a las reglas del cálculo proposicional aplicadas a fórmulas temporales. • Las X-reglas tienen un estatus diferente. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
PTL. Tablas Semánticas (II). Tabla obtenida para la fórmula A=(pvq) ^ ○ (¬p^¬q) al aplicar α- y β-reglas. ¬p ¬q s1 s0 p s1 s0 ¬p ¬q q Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
PTL. Tablas Semánticas(III). Ejemplo. A= ¬(□ (p^q) → □ p) s1 s2 s0 p q p q p q . . . Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
PTL. Tablas Semánticas (IV). Elegir una hoja l que no esté marcada. l se etiqueta con un conjunto de fórmulas U(l). • Si U(l) es un conjunto de literales, se comprueba si existe un par complementario de literales, en tal caso la rama se cierra. En caso contrario queda abierta. • Si U(l) no es un conjunto de literales, elegir un A єU(l) • Si es una α-fórmula, crear un nuevo nodo l’ como hijo de l y etiquetarlo con U(l’)= (U(l)-{A}) U {α1, α2}. • Si es una β-fórmula, crear dos nuevos nodos l’ y l’’ como hijos de l y etiquetar con U(l’)= (U(l)-{A}) U {β1} y U(l’’)= (U(l)-{A}) U {β2}. • Si U(l) consta sólo de literales y fórmulas next. Crear un nuevo nodo l’ como hijo de l y U(l’)={A1,…,Am,¬Am+1,…,¬An}.Si U(l’)=U(l’’) para l’’ un antecesor de l’, entonces no crear l’ , en su lugar conectar l’ a l’’. Input Una fórmula PTL (A). Output Tabla semántica T para A. Cada nodo se etiqueta con un conjunto de fórmulas. Inicialmente T consta de un nodo simple, la raíz etiquetada con {A}. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
Lógica Temporal. Tablas Semánticas (V). Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
Lógica Temporal. Tablas Semánticas (VI). • El siguiente paso es construir una estructura a partir de una tabla completa y probar que se cumplen las condiciones para una estructura de Hintikka. • Una estructura es una tripla H=(s,υ,τ) donde S={s1,s2,…,sn} es un conjunto de estados, υ ={u1,u2,…,un} es un conjunto de conjuntos de fórmulas y τ es una relación binaria entre estados. • Para construir una estructura a partir de una tabla hay que tomar los X nodos como estados y definir s’ єτ(s) si existe un camino en la tabla desde s a s’ que no pase a través de otro estado. El conjunto de fórmulas asociadas con s’ es la unión de las etiquetas de los nodos de dicho camino. • State path es un camino (l1, .., lk) en una tabla , tal que l1 es el nodo raíz, mientras que el resto ninguno es un X-nodo. Es posible que l1=lk. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
Lógica Temporal. Tablas Semánticas (VII). • Sea T una tabla semántica abierta la estructura H que se construye es: • S es el conjunto de X-nodos • Sea si = lk, un estado y l = {l1, .., lk= si} un state path que termina en lk. Entonces Uil = U(l2) U … U U(lk). Si l1 es la raíz añadir U(l1) a la unión. • s’ є τ (s) si y sólo si {s = l1, .., lk = s’} es un state path. • Estructura construida para la tabla semántica del ejemplo, donde s0 es l3 y s1 es l4. • Dicha estructura ha de ser una Hintikka structure. • Pero además ha de ser una Linear Fulfilling Hintikka structure para A, (A es satisfacible). Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
Lógica Temporal. Tablas Semánticas (VIII). • Un grafo puede representarse como un grafo de componentes (Even, S. (1979) , Graph Algorithms, Computer Science Press, Potomac, MD). • Bajo ciertas condiciones una estructura de Hintikka puede ser considerada como un grafo. • Algoritmo que permite la construcción de fulfilling Hintikka structure:Input:Hintikka structure H. Ouput: a) Fulfilling Hintikka structure en H, o b) informa de que no existe tal estructura. • El algoritmo termina con un grafo vacíosi y solo si no existe una linear fulfilling Hintikka structure en H. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
Lógica Temporal. Tablas Semánticas (IX). Teorema El método de tablas semánticas es un proceso de decisión acerca de la satisfacibility en PTL. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
Lógica Temporal. Tablas Semánticas (X). Resumiendo, • Se construye la tabla semántica para la fórmula A. Si la tabla es cerrada, entonces A no es satisfacible. En otro caso hay que construir a partir de dicha tabla abierta la Hintikka structure. • Obtenida la estructura se aplica el algoritmo que dada Hintikka structure obtiene fulfilling Hintikka structure en H, o bien informa de que no existe tal estructura. • Si el grafo resultante es vacío, A no es satisfacible. En otro caso se obtiene del grafo, linear fulfilling Hintikka structure. • Si H es una linear fulfilling Hintikka structure para A, se puede construir un modelo para A, es decir A se satisface. Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
Bibliografía consultada • Mordechai Ben-Ari. Mathematic Logic for Computer Science (second edition), cap. 11, (2003). Lógica Temporal Proposicional (PTL). Curso de Lógica Computacional.
