Dane informacyjne

2. Dane informacyjne • Nazwaszkoły: • Zespół Szkół Publicznych Gimnazjum w Golczewie • ID grupy:98_51_g1 • Opiekun: Wiesława Trepkowska • Kompetencja: Matematyka i Fizyka • Temat projektowy: W świecie liczb • Semestr/rok szkolny:2011/2012

3. Prezentacja zawiera Liczby pierwsze i złożone Liczby bliźniacze i inne ciekawe liczby Złota liczba i złoty podział Ciąg Fibonacciego Liczba π Liczby olbrzymy i liczby liliputy Nasze zadania • Wstęp • Co oznacza pojęcie liczba • Rys historyczny o narodzinach systemów liczbowych • Liczby rzeczywiste i ich podział • Inne liczby • Liczby trójkątne, kwadratowe… • Historia kwadratów magicznych

4. Świat w którym żyjemy to świat liczb. Każdy z nas identyfikowany jest wieloma liczbami, już po urodzeniu otrzymujemy numer PESEL, później numery legitymacji, dowodu osobistego, numer konta bankowego, przeróżne numery pin, numery telefonów, numer NIP i cała wielość przeróżnych jeszcze numerów, wszystkie te numery to przecież liczby.

5. LICZBA • To pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów, później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań. • Określenie liczba bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują liczb , lecz liczby naturalne, całkowite, wymierne itd.

6. Każdy ma swój świat liczb

7. Narodziny systemów liczbowych • Cyframi posługiwały się w zamierzchłej przeszłości narody: • Azji -Hindusi, Chińczycy, Babilończycy • Ameryki- Majowie • Afryki- Egipcjanie • Cyfry pojawiły się w najstarszych dokumentach – pomnikach pisanych najprawdopodobniej w IV-III tysiącleciu p.n.e. • Cyfry egipskie są prawdopodobnie hieroglifami odpowiednich słów. • Babilończycy posługiwali się systemem mieszanym: liczby od 1 do 59 oznaczali addytywnie za pomocą znaków oznaczających jeden i dziesięć, liczby większe od 59 oznaczali za pomocą znaków liczby 1-59 metodą pozycyjną sześćdziesiątkową.

8. Majowie około 2000 lat temu liczby od 1 do 19 zapisywali addytywnie, liczby większe zapisywali pozycyjnie. • Cyframi starogreckimi posługiwali się między innymi Pitagoras, Platon, Arystoteles, znaki są początkowymi literami słów , na przyład: 10-deka, H-100 hekaton, X-1000 chilios. • Cyframi jońskimi posługiwał się między innymi Euklides. Były nimi kolejne litery alfabetu ᾱ .Nad całą liczbą pisano poziomą kreskę , aby odróżnić ją od słowa. • Cyfry rzymskie zapisywano za pomocą liter I-1, V-5, X -10, L-50, C-100, D-500, M-1000

9. Cyfry arabskie • Wyraz cyfra pochodzi od arabskiego słowa as-sifr- co oznacza „pusty”, nazwa tą określano nasze zero. Powszechnie przez nas używane cyfry arabskie, czyli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, przywędrowały do Europy wraz z systemem pozycyjnym w późnym średniowieczu dzięki Arabom, którzy zapożyczyli je od Hindusów. Do upowszechnienia tych cyfr przyczynił się przedsiębiorca Leonardo z Pizy (ok.1170-1250). • Mimo niezwykłych walorów tych cyfr i systemu pozycyjnego, nie uznawano ich przez długi czas, zwłaszcza w sferach ludzi interesu. • Prawie dwa stulecia trwała walka tych cyfr o panowanie nad światem.

10. Systemy liczbowe Egipski Babiloński Grecki

11. Majów Rzymski Arabski

12. Liczby naturalne • To liczby całkowite dodatnie takie jak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, … • Zastosowanie liczb naturalnych- zliczanie elementów skończonych zbioru. • Inna szkoła do liczb naturalnych nie wlicza liczby zero, liczby naturalne zaczynają się wtedy od liczby jeden.

13. Liczby całkowite • Liczby naturalne, liczba zero i liczby przeciwne do liczb naturalnych tworzą liczby całkowite. ….-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…

14. LICZBY WYMIERNE • To ułamki powstające przez podzielenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą różną od zera. • Jeśli licznik i mianownik są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne, to reprezentowana przez ułamek liczba wymierna jest również dodatnia. • Jeśli licznik ma znak przeciwny do mianownika, to liczba wymierna nim wyrażona jest ujemna. • m/n gdzie n jest różne od 0

15. LICZBY NIEWYMIERNE • To liczby znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi , lecz nie dające się zapisać w postaci ułamka. • Już starożytni pitagorejczycy odkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka m/n taki jak np. √2 , a więc nie są liczbami wymiernymi . • Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą.

16. Liczby rzeczywiste • To liczby wymierne oraz liczby niewymierne znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi nie dające wyrazić się w postaci ułamka takie jak √3 czy π. • Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada punkt na osi liczbowej. Liczby rzeczywiste wymierne niewymierne

17. Podzbiory liczb wymiernych Liczby wymierne Liczby całkowite Liczby naturalne

18. Inne liczby • Oprócz znanych dotychczas liczb doszukaliśmy się istnienia przeróżnych innych liczb: • automorficzne, bliźniacze, doskonałe, dualne, Fermata, Fibonacciego, kardynalne, Mersennea, p-adyczne, piranidalne, podwójne, porządkowe, półpierwsze, przestępne, urojone, zaprzyjaźnione, zespolone…

19. Liczby urojone zespolone • Liczby urojone to liczby których kwadraty są niedodatnimi liczbami rzeczywistymi. W szczególności jedną z nich jest tzw. jednostka urojona i, dla któreji2=-1.Żadna liczba urojona oprócz 0 nie jest równocześnie liczbą rzeczywistą. • Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej.

20. Liczby trójkątne • Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

21. Liczby kwadratowe • Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

22. Liczby pięciokątne sześciokątne Liczby te graficznie można rozmieścić na obwodach coraz większych pięciokątów , sześciokątów

23. Magiczne kwadraty • Magiczne kwadraty to liczby tak ułożone, że suma każdej kolumny, rzędu i przekątnej jest równa tej samej liczbie. Magiczne kwadraty mogą składać się z czterech i więcej pól. Najpopularniejsze maja zazwyczaj 9 lub 16 pól. Magiczne kwadraty w Chinach i Indiach były popularne już 2000 lat temu. W XV wieku zainteresowanie tymi łamigłówkami upowszechniło się i z Chin trafiły one do Europy. Pierwszy znany magiczny kwadrat pochodzi z Chin, ma 9 pól. Suma cyfr we wszystkich kolumnach, rzędach i przekątnych wynosi 15. Inny również znany magiczny kwadrat ma 16 pól. Tu suma wynosi 34.

24. Liczby pierwsze i złożone • Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki (jeden i samą siebie) nazywamy liczbą pierwszą. • Liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki i jest różna od zera nazywamy liczbą złożoną. • Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone • Liczby pierwsze to swego rodzaju cegiełki służące do budowania kolejnych liczb naturalnych. • Każdą liczbę złożoną można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych. • np. 30=2*3*5

25. Sito Eratostenesa • Metodę poszukiwania liczb pierwszych polegającą na wykreślaniu wielokrotności kolejnych liczb wymyślił Eratostenes, grecki uczony żyjący na przełomie III i II w. p.n.e. w Aleksandrii. Do dzisiaj metodę tę nazywa się sitem Eratostenesa. • Przeszedł on do historii jako pierwszy człowiek, który obliczył przybliżony obwód Ziemi.

26. Szukanie liczb pierwszych • Tak wygląda sito Eratostenesa dla pierwszych 100 liczb. • Znaleźliśmy w ten sposób liczby: 2,3,5,7,11,13,17,19, 23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

27. Ciekawostka • Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. • Od pewnego czasu używa się do tego komputerów. Odkryta w 1999 r. największa znana obecnie liczba pierwsza jest ogromna – ma ona 2098960 cyfr. Gdyby zapisać cyfry tej liczby jedna za drugą na pasku papieru, to miałby on długość ponad 4 km.

28. Liczby bliźniacze • Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. • Przykłady: • 3 i 5 • 5 i 7 • 11 i 13 • 17 i 19

29. Inne ciekawe liczby • Liczby doskonałe-liczby naturalne, które są równe sumie wszystkich swoich dzielników np. 6, 28, 496 • Liczby zaprzyjaźnione np. 220 i 284 • Liczby lustrzane np. 23 i 32 • Liczby palindromiczne np. 292, 30503, 656, 21012

30. Złota liczba • Złoty podział , podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnia geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi"). • Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.

31. Złoty podział odcinka Złota liczba

32. Złoty podział w przyrodzie • W muszlach wytwarzanych przez liczne gatunki mięczaków od milionów lat pojawia się wciąż ten sam charakterystyczny rysunek spirali równokątnej. • Nazwa "równokątna" wzięła się stąd, że każda półprosta wychodząca ze środka spirali przecina każdy jej zwój pod tym samym kątem. • Kształt spirali równokątnej jest ściśle związany ze złotym podziałem dlatego czasem nazywa się ją złotą spiralą.

33. Złoty podział w płatkach roślin • Złoty podział występuje też powszechnie w przyrodzie, a zwłaszcza tam, gdzie występują foremne pięciokąty. W takim stosunku pozostają przekątna i bok w pięciokącie foremnym, w takim stosunku dzielą się przekątne pięciokąta foremnego wypukłego (czyli boki pentagramu). • Poniższa galeria kilku zdjęć ilustruje bogactwo foremnych pięciokątów w świecie roślin kwiatowych. Okazuje się, że rośliny o 5-płatkowych kwiatach dominują w przyrodzie (różnych gatunków takich kwiatów jest więcej niż tych o dowolnej innej liczbie płatków). Wszystkie mają tę własność, że odległość między co drugim płatkiem podzielona przez odległość między sąsiednimi płatkami jest liczbą złotą.

34. Ciąg Fibonacciego • Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. • Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach. Początkowe wartości tego ciągu to: • 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

35. Ciąg Fibonacciego w przyrodzie • Nasiona słoneczników tworzą spirale układające się w dwóch przeciwnych kierunkach. W niektórych gatunkach tych roślin jest 21 spiral rozwijających się w jedną stronę i 34 w drugą stronę. Istnieją również gatunki, dla których liczba spiral wynosi odpowiednio 34 i 55. Wspomniane liczby to kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego

36. Liczba π • Liczba π jest liczba niewymierną, określa ona stosunek długości okręgu do długości jego średnicy i jest równa 3,141592653589793238… • Liczba π nazywana bywa często „ludolfiną”. Nazwa ta pochodzi od imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby π z dokładnością do 35 cyfr po przecinku.

37. Historia liczby π • Liczba π ma ciekawą historię. Od ustalonej przez Archimedesa wartości 22/7 która dawała dwa rzędy dziesiętne po przecinku, dochodzi do rozwinięcia dziesiętnego z 707 cyframi po przecinku, podanego przez Shanksa.

38. ciekawostki • Liczba 31415926535897932384626433832795028841, zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest pierwsza. • Rok świetlny równa się w przybliżeniu π* 107 *c , gdzie c oznacza prędkość światła ( w km/s) • Liczba sekund w roku jest równa 365*24*60*60=31536000, • co w przybliżeniu jest równe π* 107 *c • Uczeni, którzy szukali kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają te liczbę i rozpoznają ten komunikat.

39. Liczby olbrzymy i liczby liliputy • Każdy z nas zna doskonale liczbę 1000000 (milion) • Ale, czy wiesz, że włos ludzki powiększony na grubość milion razy będzie miał średnicę 70 metrów. • Atom powiększony milion razy zmieniłby się w maleńką kropeczkę – mniejszą niż kropka na końcu zdania. • A zwykły komar powiększony milion razy będzie miał 5 kilometrów długości.

40. Bardzo duże liczby • Miliard=109 Bilion= 1012 Biliard= 1015 Trylion= 1018 …………………………………………………………………………. • Sekstylion= 1036 • Septylion= 1042 • Oktylion= 1048 • Nonilion= 1054 • Decylion= 1060

41. Duże liczby często używane są do opisywania obiektów znajdujących się we wszechświecie • Masa Księżyca • 73480000000000000000000 kg • Masa Ziemi • 5974000000000000000000000 kg • Masa Słońca • 1998910000000000000000000000000 kg

42. Skrócony zapis- notacja wykładnicza • Bardzo duże i bardzo małe liczby można zapisać w krótszej formie stosując notacje wykładniczą- naukową • 3000000=3*106 • W ten sposób można zapisać np. masę Księżyca w kilogramach • 73 480 000 000 000 000 000 000 =7,348*1022

43. Liczby liliputy • Bardzo małe liczby służą najczęściej do określania masy cząsteczek, atomów, itd. • Masa protonu w kg: • 16726*10-31 = 1,6726*10-27 • Masa cząsteczki wody 3*10-26 kg • Masa elektronu 9,1095*10-31 kg • Gdybyśmy chcieli porównać rozmiary atomu z wielkością pyłu, to rzec by można, że elektron tak się ma do pyłu, jak pyłek do globu ziemskiego.

44. Nasze zadania

45. Zadania tego typu można rozwiązać różnymi metodami: wykorzystując rysunek, proporcje czy układając równanie. • W zadaniu o dyni- do pełnej wagi dyni brakuje 1/10 jej wagi, zatem • 1/10 to 9/10 kg • 10/10 to x kg • czyli x= 9 kg • Odp: Dynia waży 9 kilogramów.

46. Zadanie o słoniu • X- waga małego słonia • 0,999x+1,5=x • Po rozwiązaniu tego równania otrzymujemy x=1500 • Odp: mały słoń waży 1500 kilogramów.

47. Kwadrat magiczny • Wpisz brakujące liczby od 1 do 25 tak by powstał kwadrat magiczny którego suma wynosi 65 • Nie było to proste, wspólne mozolenie dało taki efekt:

48. Jaki jest następny wyraz ciągu ? • 983, 147, 49, 18, …? • Odp.4 Ponieważ: (98*3) /2=147 (14*7)/2=49 (4*9)/2=18 (1*8)/2=4

49. zagadka 5 żab łapie 5 much w ciągu 5 minut. Ile żab trzeba, żeby złapać 50 much w ciągu 50 minut? Odp.5 żab • 1 żaba-1 mucha-5 minut • 1 żaba-10 much-50 minut • 5 żab- 50much- 50 minut

50. Koty i kanarki • W sklepie zoologicznym wystawiono na sprzedaż koty i kanarki. Wystawiono łącznie 72 sztyki i miały one w sumie 200 nóg. Ile było kanarków? • To zadanie można rozwiązać za pomocą układu równań, ale my proponujemy metodę prostszą i szybszą. • 72*2=144 • 200-144=56 • 56/2=28- ilość kotów • 72-28=44 • Odp: Było 44 kanarków