Nella lezione precedente:

1. Nella lezione precedente: • Abbiamo definito le regioni di campo • Introdotto delle approssimazioni degli operatori per calcolare più semplicemente campo a grande distanza e campo lontano, verificandole su un dipolo hertziano • Introdotto e dimostrato il teorema di reciprocità • Abbiamo introdotto il concetto di reazione e di equazione integrale • Usato il teorema di reciprocità per verificarne le implicazioni sul comportamento delle antenne in spazio libero • Introdotto i concetti di Altezza Efficace (e di fattore di antenna) e di Area Efficace • Calcolata la relazione tra Guadagno ed Area Efficace

2. Nella lezione precedente: • Abbiamo utilizzato tale relazione per ottenere l’equazione del “collegamento radio” • Usando la sovrapposizione degli effetti, abbiamo introdotto l’antenna filiforme rettilinea • Abbiamo riportato una soluzione approssimata per la distribuzione di corrente, utile per il calcolo del campo lontano ma non per l’impedenza di ingresso

3. I0 V0 Antenna Corta • Abbiamo visto che la corrente su una antenna è circa • Una antenna è “corta” se lo è rispetto alla lunghezza d’onda L<<l o in generale se kL<<1 • il seno somiglia in tal caso ad un triangolo: del resto approssimiamo il seno con l’argomento ed il coseno con 1

4. Antenna Corta • La corrente non è uniforme; nel dipolo Hertziano questa si può ottenere solo mettendo ai capi serbatoi di carica • Notate: un’antenna corta non è un dipolo Hertziano! • Campo lontano? • Partiamo dall’espressione generale per antenna filiforme • Consideriamo che l’esponenziale è circa 1, ed inseriamo l’espressione triangolare della corrente

5. Antenna Corta • Da cui • Notate: se confrontiamo con l’espressione per il dipolo Hertziano • (NB: nell’espressione originaria avevamo h/2l, ma h, lunghezza totale, è qui 2L) • Vediamo che il campo prodotto da un’antenna corta è pari a quello prodotto da un dipolo di metà lunghezza • del resto: nel dipolo elementare l’integrale della corrente è I0h (trattandosi di un “rettangolo”) mentre ora è I0h/2 (area di un triangolo)

6. Antenna Corta • Volendosi calcolare il diagramma di radiazione, usiamo la definizione • E quindi il solido di radiazione (una componente, quindi un solido solido) • Ovviamente come il dipolo elementare • Calcoliamo altre quantità, come la potenza irradiata: la densità è

7. Antenna Corta • Da cui la potenza attraverso una superficie sferica intorno all’antenna • Per la resistenza di radiazione invece • Che è 1/4 del valore trovato per il dipolo Hertziano • Quanto alla Direttività

8. Antenna Corta • L’altezza efficace? Ricordate che è tale che il campo sia • Poiché abbiamo visto che • L’altezza efficace è • corrispondente a metà antenna • Per l’area efficace, ricorriamo alla relazione con il guadagno (e quindi con la direttività in assenza di perdite) • NB: stessa del dipolo

9. Antenna a mezz’onda • in tal caso kL=p/2 e dalla soluzione di Hallen • Consideriamo il caso 2L=l/2 • Dove • notate che il denominatore di I0 si annulla per l’antenna a mezza lunghezza d’onda; ricorderete tuttavia che in una linea di trasmissione dove c’è un massimo di corrente c’è un minimo di tensione • Per una linea in circuito aperto, tale minimo è zero, per cui nel nostro modello anche V al numeratore tende a zero, ed il rapporto resta finito

10. Antenna a mezz’onda • Calcoliamo il campo lontano sostituendo l’espressione della corrente • Identità di Eulero • perché dispari in z

11. Antenna a mezz’onda • Quindi il campo lontano diventa

12. Antenna a mezz’onda • Il diagramma di radiazione è quindi • Calcoliamo la potenza irradiata: partiamo dal vettore di Poynting

13. Antenna a mezz’onda • quindi integriamo • L’integrale non ha forma chiusa in termini di funzioni elementari; occorrono i “seni e coseni integrali” che sono tabellati • In ogni caso, risolvendo numericamente (provate…anzi proviamo insieme) si ha

14. Antenna a mezz’onda • La resistenza di radiazione è • Per la direttività • L’altezza efficace

15. l/2 l/4 Antenna a mezz’onda • L’area efficace: come al solito dal confronto con la direttività • Appare come l’area efficace sia maggiore della superficie fisica; per ricordare:

16. L<<l V0/2 V0 Antenna Marconiana • Si consideri un’antenna corta, disposta verticalmente sul suolo ed alimentata rispetto ad esso • Si assuma un suolo perfettamente conduttore • Per il teorema delle immagini, equivale ad un dipolo corto di lunghezza doppia, almeno per il campo irradiato • Molto diffuso alle basse frequenze; spesso per migliorare la conducibilità del suolo nelle vicinanze dell’antenna viene disposta una raggiera di fili di rame con centro nell’antenna

17. L=l/4 V0/2 V0 Monopolo in quarto d’onda su piano di massa • Come prima, ma ora di consideri un’antenna di un quarto d’onda • Si assuma un suolo perfettamente conduttore • Per il teorema delle immagini, equivale ad un dipolo in quarto d’onda (la tensione è doppia ma la corrente uguale) • Tuttavia per la potenza irradiata e la resistenza di radiazione occorre considerare che irradia solo in metà spazio

18. Monopolo in quarto d’onda su piano di massa • Quindi • L’altezza efficace è pari a quella del dipolo immagine

19. J r d r2 d 2dcos J Altezza efficace di un’antenna verticale in presenza del suolo • Consideriamo un’antenna con altezza efficace h in presenza di suolo perfettamente conduttore • Il campo totale sarà quello dovuto all’antenna più la sua immagine • La distanza del punto di osservazione dall’immagine r2 può essere approssimata (nel termine di fase) • mentre al denominatore r2 può essere approssimata con r • per cui, ricordando la definizione di altezza efficace

20. Altezza efficace di un’antenna verticale in presenza del suolo • Quindi l’altezza efficace complessiva è • per d=0 si riottiene che l’altezza efficace complessiva è doppia dell’antenna singola

21. I r J d r2 d 2dsin J Altezza efficace di un’antenna orizzontale in presenza del suolo • Consideriamo un’antenna con altezza efficace h orizzontale in presenza di suolo perfettamente conduttore • Il campo totale sarà quello dovuto all’antenna meno la sua immagine • La distanza del punto di osservazione dall’immagine r2 può essere approssimata (nel termine di fase) • quindi • Ovviamente se d=0, l’altezza è nulla (non irradia): la corrente è “cortocircuitata” dal piano conduttore

22. Altezza efficace di una spira elementare • Ricordiamo il campo elettrico • ovvero in campo lontano • Pertanto, confrontando con la definizione • l’altezza efficace risulta

23. Dipolo di lunghezza generica • Consideriamo un dipolo qualsiasi e sostituiamo l’espressione della corrente per calcolare il campo lontano • da cui • L’integrale lo possiamo calcolare usando l’espressione

24. Dipolo di lunghezza generica • Saltiamo un po’ di passaggi…e calcoliamo direttamente il diagramma di radiazione • che risulta (dopo un po’ di passaggi…)

25. Dipolo di lunghezza generica • Al crescere della lunghezza, cresce il numero di lobi, ed il massimo non è più per J=p/2

26. Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso • Il calcolo, anche approssimato, è molto complesso; ne diamo qui un breve resoconto • Abbiamo visto nella precedente lezione il concetto di “reazione” introdotto con il teorema di reciprocità, ed applicato alle antenne filiformi • dove a è b si riferivano a due antenne irradianti l’una alla presenza dell’altra • Consideriamo il caso di una sola antenna: quella che si ha è “auto-reazione” (reazione del proprio campo con la propria sorgente)

27. Soluzione approx soluzione Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso • ovvero • Questa è un’espressione “stazionaria” o “variazionale” • ovvero un errore di un certo ordine nell’incognita I si ripercuote in un errore di ordine maggiore in Zin • in pratica la soluzione è un minimo o un massimo (qui x potrebbe essere la corrente e p1(x) l’impedenza)

28. Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso • Allora: si inserisce una I (o una J) di tentativo • E si calcola Zin utilizzando per E il campo prodotto dall’antenna (inclusi i termini reattivi!) • Trovate i grafici risultanti in diversi testi (per es. R. Harrington, Time Harmonic Electromagnetic Fields, a p.352, al variare della lunghezza e della sezione)

29. Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso • A solo titolo di esempio: Parte reale • comportamento tipico delle antenne a banda stretta: frequenza di risonanza dove la parte reattiva si annulla Parte immaginaria • Del resto il dipolo è un esempio di antenna risonante

30. d 2L IA+ IT IA IA- IT IT IA IT + + + V V/2 V/2 V/2 V/2 + Dipolo Ripiegato • Due conduttori connessi alle estremità, con distanza d<<l • Si analizza considerando la sovrapposizione degli effetti: sovrapponiamo un “modo linea” con corrente di ritorno (caso dispari) ed un “modo antenna” (caso pari) +

31. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a onda progressiva • Ovviamente perché una implementazione dell’idea funzioni dovremo evitare che la corrente di “ritorno” cancelli completamente il campo prodotto dalla corrente di “andata” • Supponiamo di utilizzare una linea adattata come antenna • Accantoniamo momentaneamente il problema; la corrente ha la forma • Una corrente di tal genere, se distribuita su una antenna filiforme, produce un campo lontano pari a

32. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a onda progressiva • Risolviamo l’integrale • Per cui • ed il diagramma di radiazione banalmente

33. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a onda progressiva • Grafico per L=l

34. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a onda progressiva • Grafico per L=3l

35. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a onda progressiva • Grafico per L=5l

36. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a onda progressiva • Quel che succede è che all’aumentare della lunghezza, aumenta il numero di lobi secondari, ma quelli principali si schiacciano verso l’asse dell’antenna (orizzontale) • Un’antenna di questo che irradiasse lungo il suo asse si definisce “Endfire” • Per esempio l’antenna “rombica”: una linea di trasmissione divaricata a forma di rombo e terminata su un carico adattato • Come realizzarle? • le dimensioni sono scelte in modo che i campi associati ai lobi 1 e 2 (3’ e 4’) si sommino in fase, e i campi associati a 3 e 4 ( 1’ e 2’) si elidano, dando un puro comportamento endifire

37. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a Elica • Modo NORMALE: direzione di massimo ortogonale all’asse (broadside) • E’ una struttura con due modi di radiazione • Modo ASSIALE: direzione di massimo sull’asse (endfire)

38. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a Elica: Modo Normale • essendo C la circonferenza dell’elica • In particolare • Dimensioni piccole rispetto alla lunghezza d’onda • essendo n il numero di avvolgimenti dell’elica • In modo “normale” il comportamento è piuttosto simile ad un dipolo: comportamento a banda stretta • Per il calcolo: vista l’ipotesi sulle dimensioni, analizziamo un unico avvolgimento; il campo totale sarà la sovrapposizione di n avvolgimenti, ma per le dimensioni piccole, la distribuzione complessiva non cambia

39. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a Elica: Modo Normale • Spira (loop elementare) • Dipolo elementare • L’avvolgimento può essere trattato come sovrapposizione di: + Passo, quindi lunghezza del dipolo • Il diagramma di radiazione di entrambe le componenti è pari a quello del dipolo (sinJ)

40. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a Elica: Modo Normale • Le due componenti sono • Ortogonali tra loro • Sfasate di p/2 • Il campo sarà generalmente a polarizzazione ellittica • Il rapporto tra gli assi dell’ellisse è • La polarizzazione diventa circolare se gli assi sono uguali (quindi il rapporto=1)

41. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a Elica: Modo Normale • In particolare con un rapporto molto maggiore di 1 si ha una polarizzazione lineare verticale • Se si schiaccia molto l’ellisse, al limite riotteniamo una polarizzazione lineare • Molto usato nei telefonini • Il diagramma di radiazione è omnidirezionale come il dipolo • ma, a parità di efficienza di radiazione, le dimensioni sono molto contenute • Per esempio: eliche su piano di massa di dimensioni <l/8 (quindi “corte”) la resistenza di radiazione è • molto maggiore di un dipolo “corto”

42. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a Elica: Modo Assiale • La corrente non è più uniforme, ed i contributi si sommano a dare un comportamento endfire • Se le dimensioni sono grandi rispetto alla lunghezza d’onda, comportamento endfire • Banda larga e polarizzazione circolare • Valore ottimale dimensioni: • Resistenza di radiazione

43. Antenne filiformi a banda larga:Antenna a Elica: Modo Assiale • All’aumentare del numero di passi, il lobo diventa più stretto