Download
slide1 n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Powerpoint Templates PowerPoint Presentation
Download Presentation
Powerpoint Templates

Powerpoint Templates

148 Vues Download Presentation
Télécharger la présentation

Powerpoint Templates

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Kombinatorial DosenPembimbingGisoesiloAbudi Powerpoint Templates

  2. Pendahuluan Sebuahsandi-lewat (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakterbolehberupahurufatauangka. Berapabanyakkemungkinansandi-lewat yang dapatdibuat ? Penyelesaian abcdef aaaade a123fr … erhtgahn yutresik … ????

  3. Definisi Kombinatorialadalahcabangmatematikauntukmenghitungjumlahpenyusunanobjek-objektanpaharusmengenumerasisemuakemungkinansusunannya.

  4. KaidahDasarMenghitung • Kaidahperkalian (rule of product) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 danpercobaan 2: pqhasil • Kaidahpenjumlahan (rule of sum) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 ataupercobaan 2: p + qhasil

  5. Contoh 1. Ketuaangkatan MAT 2002 hanya 1 orang (priaatauwanita, tidakbisa gender). Jumlahpria MAT2002 = 65 orangdanjumlahwanita = 15 orang. Berapabanyakcaramemilihketuaangkatan? Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara. • Contoh 2. Duaorangperwakilan MAT2002 mendatangaiBapakDosenuntukprotesnilaiujian. Wakil yang dipilih 1 orangpriadan 1 orangwanita. Berapabanyakcaramemilih 2 orangwakiltesrebut? Penyelesaian: 65  15 = 975 cara.

  6. PerluasanKaidahDasarMenghitung Misalkanadanpercobaan, masing-masing dg pihasil 1. Kaidahperkalian (rule of product) p1p2 … pnhasil 2. Kaidahpenjumlahan (rule of sum) p1 + p2 + … + pnhasil

  7. Contoh. Bit binerhanya 0 dan 1. Berapabanyakstringbiner yang dapatdibentukjika: (a) panjangstring 5 bit (b) panjangstring 8 bit (= 1 byte) Penyelesaian: (a) 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah (b) 28 = 256 buah

  8. Contoh.Berapabanyakbilanganganjilantara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itusendiri) yang (a) semuaangkanyaberbeda (b) bolehadaangka yang berulang. Penyelesaian: (a) posisisatuan: 5 kemungkinanangka (1, 3, 5, 7, 9) posisiribuan: 8 kemungkinanangka posisiratusan: 8 kemungkinanangka posisipuluhan: 7 kemungkinanangka Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah. (b) posisisatuan: 5 kemungkinanangka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9); posisiribuan: 9 kemungkinanangka (1 sampai 9) posisiratusan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) posisipuluhan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

  9. Contoh. Sandi-lewat (password) sistemkomputerpanjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiapkarakterbolehberupahurufatauangka; hurufbesardanhurufkeciltidakdibedakan. Berapabanyaksandi-lewat yang dapatdibuat? Penyelesaian: Jumlahkarakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 karakter. Jumlahkemungkinansandi-lewatdenganpanjang 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336 Jumlahkemungkinansandi-lewatdenganpanjang 7 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096 umlahkemungkinansandi-lewatdenganpanjang 8 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456 Jumlahseluruhsandi-lewat (kaidahpenjumlahan) adalah   2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah.

  10. Latihan • (a) Berapabanyakbilangangenap 2-angka? (b) Berapabanyakbilanganganjil 2-angka dengansetiapangkaberbeda ? • Dari 100.000 buahbilanganbulatpositifpertama, berapabanyakbilangan yang mengandungtepat 1 buahangka 3, 1 buahangka 4, dan 1 buahangka 5 ?

  11. Tersedia 6 huruf: a, b, c, d, e, f. Berapajumlahpengurutan 3 hurufjika: (a) tidakadahuruf yang diulang; (b) bolehadahuruf yang berulang; (c) tidakbolehadahuruf yang diulang, tetapihurufeharusada; (d) bolehadahuruf yang berulang, hurufeharusada • Tentukanbanyakcarapengaturan agar 3 orangmahasiswaJurusanTeknikInformatika (IF), 4 orangmahasiswaTeknik Kimia (TK), 4 orangmahasiswaTeknikGeologi (GL), dan 2 orangmahasiswaFarmasi (FA) dapatdudukdalamsatubarissehinggamerekadaridepartemen yang samadudukberdampingan?

  12. PrinsipInklusi-Eksklusi

  13. Permutasi • Bola • m k p • Kotak • Berapajumlahurutanberbeda yang mungkindibuatdaripenempatan bola kedalamkotak-kotaktersebut !

  14. Permutasi • k p mkp • M • p k mpk • m p kmp • K • p m kpm • m k pmk • P • k m pkm • Jumlahurutanberbeda yang dapatdibuat (3)(2)(1) = 3! = 6

  15. Definisi: Permutasiadalahjumlahurutanberbedadaripengaturanobjek-objek. • Permutasimerupakanbentukkhususaplikasikaidahperkalian. • Misalkanjumlahobjekadalahn, maka • urutanpertamadipilihdarinobjek, • urutankeduadipilihdarin – 1 objek, • urutanketigadipilihdarin – 2 objek, • … • urutanterakhirdipilihdari 1 objek yang tersisa. Menurutkaidahperkalian, permutasidarinobjekadalah n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!

  16. Contoh.Berapabanyak “kata” yang terbentukdarikata “HAPUS”? Penyelesaian: Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buahkata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buahkata • Contoh.Berapabanyakcaramengurutkannama 25 orangmahasiswa? Penyelesaian: P(25, 25) = 25!

  17. Permutasirdarinelemen • Adaenambuah bola yang berbedawarnanyadan 3 buahkotak. Masing-masingkotakhanyabolehdiisi 1 buah bola. Berapajumlahurutanberbeda yang mungkindibuatdaripenempatan bola kedalamkotak-kotaktersebut? • Bola • m k h p b c Kotak Penyelesaian: kotak 1 dapatdiisiolehsalahsatudari 6 bola (ada 6 pilihan); kotak 2 dapatdiisiolehsalahsatudari 5 bola (ada 5 pilihan); kotak 3 dapatdiisiolehsalahsatudari 4 bola (ada 4 pilihan). Jumlahurutanberbedadaripenempatan bola = (6)(5)(4) = 120

  18. Perampatan: Adanbuah bola yang berbedawarnanyadanrbuahkotak (rn), maka kotak ke-1 dapatdiisiolehsalahsatudarin bola  (adanpilihan) ; kotak ke-2 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 1) bola  (adan – 1 pilihan); kotak ke-3 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 2) bola  (adan – 2) pilihan; … kotakke-rdapatdiisiolehsalahsatudari (n – (r – 1) bola  (adan – r + 1 pilihan) Jumlahurutanberbedadaripenempatan bola adalah: n(n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))

  19. Definisi Permutasi r dari n elemenadalahjumlahkemungkinanurutan r buahelemen yang dipilihdari n buahelemen, dengan r ≤ n, yang dalamhalini, padasetiapkemungkinanurutantidakadaelemen yang sama. P(n, r) = n(n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1)) =

  20. Contoh Berapakahjumlahkemungkinanmembentuk 3 angkadari 5 angkaberikut : 1, 2, 3, 4, dan 5, jika : • Tidakbolehadapengulanganangka, dan • bolehadapengulanganangka • Penyelesaian. • Dengankaidahperkalian (5)(4)(3) = 120 buah • Denganrumuspermutasi P(5, 3) = 5! / (5 – 3)! = 120 buah • Tidakdapatdiselesaikandenganrumuspermutasi • dengankaidahperkalian (5)(5)(5) = 125 buah

  21. Contoh Kodebukudisebuahperpustakaanpanjangnya 7 karakter, terdiridari 4 hurufberbedadandiikutidengan 3 angka yang berbeda pula. Tentukanbanyaksusunan yang mungkindapatdibuat ! Penyelesaian P(26, 4) = 26! / (26 – 4)! = 358.800 P(10, 3) = 10! / (10 – 3)! = 720 Jadi P(26, 4) x P(10, 3) = 258.336.000

  22. Latihan • Sebuahmobilmempunyai 4 tempatduduk. Berapabanyakcara 3 orangdidudukkanjikadiandaikansatuorangharusdudukdikursisopir? • coba

  23. Kombinasi • Bentukkhususdaripermutasiadalahkombinasi. Jikapadapermutasiurutankemunculandiperhitungkan, makapadakombinasi, urutankemunculandiabaikan. • Misalkanada 2 buah bola yang warnanyasama 3 buahkotak. Setiapkotakhanyabolehberisi paling banyak 1 bola.

  24. Bilasekarangjumlah bola 10 danjumlahkotak 3, makajumlahcaramemasukkan bola kedalamkotakadalah … • Karenaada 3! Cara memasukkan bola yang warnanyasama. • Secaraumum, jumlahcaramemasukkan r buah bola yang berwarnasamakedalam n buahkotakadalah

  25. C(n, r) seringdibaca "ndiambilr", artinyarobjekdiambildarinbuahobjek. • Definisi.Kombinasirelemendarinelemen, atauC(n, r), adalahjumlahpemilihan yang tidakterurutrelemen yang diambildarinbuahelemen.

  26. InterpretasiKombinasi C(n, r) = banyaknyahimpunanbagian yang terdiridari r elemen yang dapatdibentukdengan n elemen. Misalkan A = {1, 2, 3} Jumlahhimpunanbagiandengan 2 elemen : {1, 2} = {2, 1} {1, 3} = {3, 1} 3 buah {2, 3} = {3, 2}

  27. C(n, r) = caramemilih r buahelemendari n buahelemen yang ada, tetapiurutanelemendidalamsusunanhasilpemilihantidakpenting. Contoh Berapabanyakcaramembentukpanitia (komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orangdarisebuahfraksidi DPR yang beranggotakan 25 orang ? Penyelesaian. Panitiaataukomiteadalahkelompok yang tidakterurut, artinyasetiapanggotadidalampanitiakedudukannyasama.

  28. Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, makaurutanpenempatanmasing-masingnyadidalampanitiatidakpenting (ABCDE samasajadengan ACBDE, ABDCE, danseterusnya) Banyaknyacaramemilihanggotapanitia yang terdiridari 5 oranganggotaadalah

  29. Contoh Diantara 10 orangmahasiswaMatematikaAngkatan 2002, berapabanyakcaramembentuksebuahperwakilanberanggotakan 5 orangsedemikiansehingga : Mahasiswabernama A selalutermasukdidalamnya Mahasiswabernama A tidaktermasukdidalamnya Mahasiswabernama A selalutermasukdidalamnya, tetapi B tidak Mahasiswabernama B selalutermasukdididalamnya, tetapi A idak Mahasiswabernama A dan B termasukdidalamnya Setidaknyasalahsatudarimahasiwa yang bernama A atau B termasukdidalamnya.

  30. Penyelesaian C(9, 4) = 126 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga A selalutermasukdidalamnya (b) C(9, 5) = 126 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga A tidaktermasukdidalamnya. (c) C(8, 4) = 70 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga A termasukdidalamnya, tetapi B tidak (d) C(8, 4) = 70 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga B termasukdidalamnya, tetapi A tidak

  31. Penyelesaian (e) C(8, 3) = 56 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga A dan B selalutermasukdidalamnya. (f) Jumlahcaramembentukperwakilansedemikiansehinggasetidaknyasalahsatudari A atau B termasukdidalamnya = (jumlahcaramembentukperwakilansehingga A termasukdidalamnya, B tidak) + (jumlahcaramembentukperwakilansehingga B termasukdidalamnya, A tidak) + (jumlahcaramembentukperwakilansehingga A dan B termasukdidalamnya). = 70 + 70 + 56 = 196 cara.

  32. Prinsipinklusi-eksklusi X = jumlahcaramembentukperwakilan yang menyertakan A Y = jumlahcaramembentukperwakilan yang meyertakan B X ∩ Y = jumlahcaramembentukperwakilan yang meyertakan A dan B, maka : |X| = C(9, 4) = 126; |Y| = C(9, 4) = 126; | X ∩ Y| = C(8, 3) = 56 |X Ụ Y| = |X| + |Y| - |X ∩ Y| = 126 + 126 – 56 = 196

  33. Latihan • Kursi-kursidisebuahbioskopdisusundalambaris-baris, satubarisberisi 10 buahkursi. Berapabanyakcaramendudukkan 6 orangpenontonpadasatubariskursi: (a) jikabioskopdalamkeadaanterang (b) jikabioskopdalamkeadaangelap 2. Berapabanyakcaramembentuksebuahpanitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilihdari 7 orangpriadan 5 orangwanita, jikadidalampanitiatersebut paling sedikitberanggotakan 2 orangwanita?

  34. Latihan • 3. Ada 5 orangmahasiswajurusanMatematikadan 7 orangmahasiswajurusanInformatika. Berapabanyakcaramembentukpanitia yang terdiridari 4 orangjika: (a) tidakadabatasanjurusan (b) semuaanggotapanitiaharusdarijurusanMatematika (c) semuaanggotapanitiaharusdarijurusanInformatika (d) semuaanggotapanitiaharusdarijurusan yang sama (e) 2 orangmahasiswa per jurusanharusmewakili.

  35. PermutasidanKombinasiBentukUmum • Misalkan : ada n buah bola yang tidakseluruhnyaberbedawarna (jadi, adabeberapa bola yang warnanyasama – indistinguishable) • n1 bola diantaranyaberwarna 1 • N2 bola diantaranyaberwarna 2 • . • . • . • nk bola diantaranyaberwarna k, dan n1 + n2 + … + nk = n • Berapajumlahcarapengaturan n buah bola kedalamkotak-kotaktersebut (tiapkotakmaks 1 buah bola)

  36. Jika n buah bola itukitaanggapberbedasemuanya, makajumlahcarapengaturan n buah bola kedalam n buahkotakadalah : • P(n, n) = n! • Dari pengaturan n buah bola itu, • Adan1 ! Cara memasukkan bola berwarna 1 • ada n2 ! Cara memasukkan bola berwarna 2 • . • . • . • adank ! Cara memasukkan bola berwarna k • Permutasi n buah bola yang mana n1diantaranyaberwarna 1, n2 bola berwarna 2, …, nk bola berwarna k adalah :

  37. Contoh • Berapabanyakkata yang dapatdibentukdenganmenggunakanhuruf-hurufdarikata “MISSISSIPPI” ! • Penyelesaian • S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I} • Huruf M = 1 buah (n1) • Huruf I = 4 buah (n2) • Huruf S = 4 buah (n3) • Huruf P = 2 buah (n4) • n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = |S|

  38. Cara 1 : • Jumlah string = P(11: 1,4,4,2} • = 34650 buah • Cara 2 : • Jumlah string = C(11, 1)C(10, 4)C(6, 4)C(2, 2) • = 34650 buah

  39. Contoh • Berapabanyakcaramembagikandelapanbuahmanggakepada 3 oranganak, bila Billy mendapatempatbuahmangga, danAndiserta Toni masing-masingmemperoleh 2 buahmangga. • Penyelesaian : • n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2 dan • n1 + n2 + n3 = 4 + 2 + 2 = 8 • Jumlahcaramembagiseluruhmanggaadalah • = 420 cara

  40. Contoh • 12 buahlampuberwarna (4 merah, 3 putih, dan 5 biru) dipasangpada 18 buahsoketdalamsebuahbaris (sisanya 6 buahsoketdibiarkankosong). Berapajumlahcarapengaturanlampu ? • Penyelesaian : • n = 18, n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 dan n4 = 6 (soketkosong) • Jumlahcarapengaturanlampuadalah • = .... cara

  41. Latihan • 100 orangmahasiswadikirimke 5 negara, masing-masingnegara 20 orangmahasiswa. Berapabanyakcarapengirimanmahasiswa? • Berapabanyakstring yang dapatdibentukdarihuruf-hurufkata “CONGRESS” sedemikiansehinggaduabuahhuruf “S” tidakterletakberdampingan?

  42. Latihan 3. Tentukanbanyaknyacara agar 4 bukumatematika, 3 bukusejarah, 3 bukukimia, dan 2 bukusosiologidapatdisusundalamsatubarissedemikiansehingga (untukmasing-masingsoal) (a) semuabuku yang topiknyasamaletaknyabersebelahan, (b) urutanbukudalamsusunanbebas.